利用導(dǎo)數(shù)證明不等式-專題匯編

導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型分類精選利用導(dǎo)數(shù)證明不等式不等式的證明問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點,傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強,多數(shù)學(xué)生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導(dǎo)數(shù),這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對這一問題沒有展開研究,使得學(xué)生對這一簡便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學(xué)生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的基本思路，并通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡單的不等式。通過作輔助函數(shù)并對輔助函數(shù)求導(dǎo)來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)Ｆ（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結(jié)為：Ｆ（x）≧0(a≦x≦b),這等價于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.對Ｆ（x）求導(dǎo)，確定F＇(x)在所考慮的區(qū)間上的符號，從而確定Ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)（主要是單調(diào)性），如象例３F＇(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算Ｆ＇＇（x）,直到符號能夠確定為止．注意：作輔助函數(shù)Ｆ(x)不同，確定F＇(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù)要不拘一格，可對原題作適當變更．不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來源對原不等式的不同同解變形．一般來說:輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:(1)由欲證形式構(gòu)造“形似”函數(shù)。例如：構(gòu)造出(2)對含兩個變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四則運算的形式，再將其中一個變量改為x，移項使等式一端為0，則另一端即為所求作的輔助函數(shù)F（x）例如：兩邊可取對數(shù)，變?yōu)榍笞C：令一．構(gòu)造形似函數(shù)型1．對證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如Ｆ（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)型并通過一階求導(dǎo)達到證明目的的不等式。例1．求證下列不等式（1）（相減）（2）（相除兩邊同除以x得）（3）（4）已知：，求證；（換元：設(shè)）（5）已知函數(shù)，，證明：鞏固練習(xí)：1.證明時，不等式2.，證明：3.時，求證：綜合應(yīng)用4.例：（理做）設(shè)a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2alnx＋1.例2.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解：、（2009全國卷Ⅱ理）(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且（I）求的取值范圍，并討論II）證明：的單調(diào)性；例3：（1）已知：，求證；（2）已知：，求證：。解：(2012山東理科22題本小題滿分13分)已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意.[來源:解：2012天津理科（21）（本小題滿分14分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱．證明當x>1時，f(x)>g(x)；(Ⅲ)如果解：且證明．（Ⅱ）證明：（Ⅲ)證明：（1）導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型分類精選利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（教師版）不等式的證明問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點,傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強,多數(shù)學(xué)生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導(dǎo)數(shù),這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對這一問題沒有展開研究,使得學(xué)生對這一簡便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學(xué)生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的基本思路，并通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡單的不等式。（一）．通過作輔助函數(shù)并對輔助函數(shù)求導(dǎo)來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)Ｆ（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結(jié)為：Ｆ（x）≧0(a≦x≦b),這等價于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.對Ｆ（x）求導(dǎo)，確定F＇(x)在所考慮的區(qū)間上的符號，從而確定Ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)（主要是單調(diào)性），如象例３F＇(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算Ｆ＇＇（x）,直到符號能夠確定為止．注意：作輔助函數(shù)Ｆ(x)不同，確定F＇(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù)要不拘一格，可對原題作適當變更（或換元）．不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來源對原不等式的不同同解變形．一般來說:輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:(3)由欲證形式構(gòu)造“形似”函數(shù)；構(gòu)造出(4)對含兩個變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四則運算的形式，再將其中一個變量改為x，移項使等式一端為0，則另一端即為所求作的輔助函數(shù)F（x）例如：兩邊可取對數(shù)，變?yōu)榍笞C：令一．構(gòu)造形似函數(shù)型1．對證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如Ｆ（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)型并通過一階求導(dǎo)達到證明目的的不等式。例1．求證下列不等式（1）（相減）（2）（相除）（3）（4）已知：（5）已知函數(shù)，求證；（換元：設(shè)），，證明：解：證：設(shè)（1）∴∴為上∴恒成立設(shè)∴在上∴恒成立（2）（相除）令解（2）原式∴∴∴在上是減函數(shù)。又∴（3）解：（3）令∴∴在上是增函數(shù)。（4）已知：解：（4）令，求證；（換元：設(shè)），由x>0，∴t>1，（巧點：巧在換元，降低了做題難度）原不等式等價于令f(t)=t-1-lnt，∵當時，有，∴函數(shù)f(t)在遞增∴f(t)>f(1)即t-1<lnt另令，則有∴g(t)在上遞增，∴g(t)>g(1)=0∴綜上得例5已知函數(shù)證：函數(shù)，，證明：＝的定義域為．－1＝－當x∈（－1，0）時，＞0，當x∈（0，＋∞）時，＜0，因此，當時，≤，即≤0∴．令則＝．∴當x∈（－1，0）時，＜0，當x∈（0，＋∞）時，＞0．∴當時，≥，即≥0，∴．綜上可知，當時，有．鞏固練習(xí)：1.證明時，不等式2.，證明：3.時，求證：2．對證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如Ｆ（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)，并通過一階或二階、三階求導(dǎo)達到證明目的的不等式。例3使用了二階求導(dǎo)的方法判出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性后再去證明不等式，也凸顯判斷函數(shù)零點的作用。例3.當證:令而時,證明:,則,當時,因為在同一坐標系中畫出，的圖像可知，∴在上遞減,即∴f(x)<f(0)=0,從而原不等式得證.Ex:證明:當時,解:注意x=1時,原不等式”=”成立,而,從而在(0,1)遞減設(shè)：F(x)=,則F(1)=0∴F(x)=且，,在上是增函數(shù)。從而根據(jù)F(1)=0推出與同號，∴方法二解：欲證當時,即證設(shè)時,，即證時，>0注意到時，則時，是減函數(shù)是增函數(shù)是減函數(shù)時是減函數(shù)是增函數(shù)∴時是增函數(shù)∴∴時，二．作輔助函數(shù)型：對含有兩個變量的不等式，可構(gòu)造出以其中一個變量為為自變量的用上述方法證明不等式。函數(shù)，再采使使用用了使用例2.已知：a、b為實數(shù)，且b＞a＞e,其中e為自然對數(shù)的底，求證：ab＞ba.證法一：∵b＞a＞e,∴要證ab＞ba,只要證blna＞alnb,設(shè)f(x)=xlna－alnx(x＞e),則f′(x)=lna－.∵x＞a＞e,∴l(xiāng)na＞1,且＜1,∴f′(x)＞0.∴函數(shù)f(x)=xlna－alnx在(e,+∞)上是增函數(shù)，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.證法二：要證ab＞ba,只要證blna＞alnb(e＜a＜b,即證,設(shè)f(x)=(x＞e)，則f′(x)=＜0,∴函數(shù)f(x)在(e,+∞)上是減函數(shù)，又∵e＜a＜b,∴f(a)＞f(b),即Ex:若,∴ab＞ba.,證明:解：要證：,需證：設(shè),，則需證因為∵時，?！嘣谏显谏鲜窃龊瘮?shù)∴∴在上成立練習(xí)證明(1)(2)思考：(3),證明,并指出”=”成立的條件綜合運用典例精講例1.（理做）設(shè)a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2alnx＋1.解：（Ⅰ）根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．（Ⅱ）證明：由知，的極小值．于是由上表知，對一切，恒有．從而當所以當時，恒有時，，故在內(nèi)單調(diào)增加．，即．(利用單調(diào)性證明不等式）故當時，恒有．例2.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g(解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(-1,∞),)<(b-a)ln2.，令，解得：x=0，,在（-1，0）上是增函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)當-1<x<0時,當x>0時,，當x=0時，f(x)取得最大值，f(x)≤f(0)又f(0)=0，f(x)最大值是0(II)證法一：（綜合法）由(I)的結(jié)論知，由題設(shè)0<a<b,得a-b<0,因此，所以又（這一隱性條件的挖掘很重要，一是看學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力，二是看學(xué)生的分析能力，據(jù)需取舍。）(1)(使用了放縮法，放縮的目的要明確。)綜上(II)證法二：作輔助函數(shù)法(構(gòu)造新函數(shù)法)：解：，則，又設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.構(gòu)造輔助函數(shù)：設(shè)則，，當0<x<a時，因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù)當x>a時，因此F(x)在(a,+∞)上為增函數(shù)從而，當x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)因為F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即設(shè),則當x>0時,,因此G(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，因為G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即例3.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)（I）求的取值范圍，并討論有兩個極值點，且的單調(diào)性；（II）證明：解:（I）令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得x⑴當時，在內(nèi)為增函數(shù)；⑵當時，在內(nèi)為減函數(shù)；o-1x⑶當時，在內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I），（學(xué)習(xí)難點，也是考試的區(qū)分點）y設(shè)則，⑴當⑵當時，在在單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減。故．例4.（1）已知：（2）已知：，求證；，求證：。解：（1）令，由x>0，∴t>1，（巧點：巧在換元，降低了做題難度）原不等式等價于令f(t)=t-1-lnt，∵當時，有，∴函數(shù)f(t)在遞增∴f(t)>f(1)即t-1<lnt另令，則有∴g(t)在∴上遞增，∴g(t)>g(1)=0綜上得（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得…即：高考新動態(tài)例1.已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意.[來源:解：(I)，由已知，，∴.(II)由(I)知，.設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，由知，當時，從而，當時，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知，當時，≤0＜1+，故只需證明在