2025屆山西省呂梁市高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題含解析

2025屆山西省呂梁市高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（）A.虛軸長為4 B.焦距為C.焦點到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為2．若，，，則a，b，c與1的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.3．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側(cè)面所在的平面上運動，則下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線②若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓③若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓④若點P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.44．展開式中第3項的二項式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.5．圓心在直線上，且過點，并與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.6．某地政府為落實疫情防控常態(tài)化，不定時從當?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測．把這批公務(wù)員按001到780進行編號，若018號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5227．已知拋物線上一點到焦點的距離為3，準線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.8．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．已知是數(shù)列的前項和，，則數(shù)列是（）A.公比為3的等比數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為的等比數(shù)列 D.既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列10．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或11．小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績?nèi)缦卤硭?，設(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環(huán)）910579小張得分（環(huán)）67557A. B.C. D.12．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，若過原點傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C的方程為：，F(xiàn)為拋物線C的焦點，傾斜角為的直線過點F交拋物線C于A、B兩點，則線段AB的長為________14．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是____________15．已知不等式有且只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的范圍為___________16．若圓被直線平分，則值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線，圓.（1）證明：直線l與圓C相交；（2）設(shè)l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點．過MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值20．（12分）如圖，P為圓上一動點，點A坐標為，線段AP的垂直平分線交直線BP于點Q（1）求點Q的軌跡E的方程；（2）過點A的直線l交E于C，D兩點，若△BCD內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.21．（12分）已知橢圓C：短軸長為2，且點在C上（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)、為橢圓的左、右焦點，過的直線l交橢圓C與A、B兩點，若的面積是，求直線l的方程22．（10分）已知函數(shù)，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當時，若函數(shù)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線中，焦點在軸上，，，，所以虛軸長為6，故A錯誤；焦距為，故B錯誤；漸近線方程為，故D正確；焦點到漸近線的距離為，故C錯誤；故選：D.2、C【解析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并求其導數(shù)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關(guān)系.【詳解】令，則當時，，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.3、C【解析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點P總滿足，又，，，可得對角面，因此點P的軌跡是直線，故①正確若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是以點B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確點P到直線AB的距離PB與到點C的距離PC之和為1，又，則動點P的軌跡是線段BC，因此③不正確點P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點C的距離）相等，則動點P的軌跡是以線段BC的中點為頂點，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個故選:C4、A【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式中第3項，所以展開式中第3項的二項式系數(shù)為.故選：A.5、A【解析】設(shè)圓的圓心，表示出半徑，再由圓心到切線距離等于半徑即可列出方程求得參數(shù)及圓的方程.【詳解】∵圓的圓心在直線上，∴設(shè)圓心為(a，－a)，∵圓過，∴半徑r＝，又∵圓與相切，∴半徑r＝，則，解得a＝2，故圓心為(2，－2)，半徑為，故方程為.故選：A.6、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點，寫出組數(shù)與對應(yīng)抽取編號的關(guān)系式，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，則需要分為組，每組人；設(shè)第組抽取的編號為，故可設(shè)，又第一組抽中號，故可得，解得故，當時，.故選：.7、C【解析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準線方程，則可求出準線l與兩條漸近線的交點分別為，然后由題意可得，進而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準線，由拋物線定義知，解得，則準線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準線l與兩條漸近線的交點分別為，原點為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C8、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當空間直角坐標系，故選：B9、D【解析】由得，然后利用與的關(guān)系即可求出【詳解】因為，所以所以當時，時，所以故數(shù)列既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列故選：D【點睛】要注意由求要分兩步：1.時，2.時.10、C【解析】點關(guān)于軸的對稱點為，由反射光線的性質(zhì)，可設(shè)反射光線所在直線的方程為：，再利用直線與圓相切，可知圓心到直線的距離等于半徑，由此即可求出結(jié)果【詳解】點關(guān)于軸的對稱點為，設(shè)反射光線所在直線的方程為：，化為因為反射光線與圓相切，所以圓心到直線的距離，可得，所以或故選：C11、C【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和，方差分別為和.可知故選：C12、C【解析】根據(jù)雙曲線和直線的對稱性，結(jié)合矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為F2，過原點傾斜角為的直線為，設(shè)M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對稱性可知：M、N兩點關(guān)于原點對稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因為，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質(zhì)可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：利用矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點坐標，準線方程，再求出點A，B的橫坐標和即可計算作答.【詳解】拋物線C：焦點，準線方程為，依題意，直線l的方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，則，于是得，所以線段AB的長為8.故答案為：814、【解析】去絕對值分別列出每個象限解析式，數(shù)形結(jié)合利用距離求解范圍.【詳解】當，表示橢圓第一象限部分；當，表示雙曲線第四象限部分；當，表示雙曲線第二象限部分；當，不表示任何圖形；以及兩點，作出大致圖象如圖：曲線上的點到的距離為，根據(jù)雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是，與距離為2，曲線二四象限上的點到的距離為小于且無限接近2，考慮曲線第一象限的任意點設(shè)為到的距離，當時取等號，所以，則的取值范圍是故答案為：15、【解析】參變分離后研究函數(shù)單調(diào)性及極值，結(jié)合與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值大小關(guān)系求出實數(shù)a的范圍.【詳解】整理為：，即函數(shù)在上方及線上存在兩個整數(shù)點，，故顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值為：，，，，顯然有，要恰有兩個整數(shù)點，則為0和1，此時，解得：，如圖故答案為：16、；【解析】求出圓的圓心坐標，代入直線方程求解即可【詳解】解：的圓心圓被直線平分，可知直線經(jīng)過圓的圓心，可得解得；故答案為：1【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）點Q恒在直線上，理由見解析.【解析】（1）求出直線過定點，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設(shè)出點，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.【小問1詳解】證明：直線過定點，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；【小問2詳解】圓的圓心為，設(shè)點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：【小問3詳解】設(shè)點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當m變化時，點Q恒在直線上.【點睛】本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據(jù)四點共圓，直徑的端點坐標，求出此圓的方程，與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關(guān)鍵.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標以及平面的一個法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點，連接，，因為是邊長為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因為面面，面面，，面，所以平面，因為面，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，由，可得，令，則，所以，因為，所以，因為面，所以平面.【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點O，則平面ABC，可得，由條件可得，以O(shè)坐標原點，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為M，N分別為AB，AP的中點，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因為平面平面，所以【小問2詳解】因為平面平面ABC，取BC中點O，連接PO，AO，因為是等邊三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，可得：，，，，，所以，，，設(shè)平面PAC的法向量為，則,則，令，得，，所以，所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為20、（1）（2）【解析】（1）連接，由，利用橢圓的定義求解；（2）設(shè)點，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，利用等面積法求解.【小問1詳解】解：連接，由題意知：，，即的軌跡為橢圓，其中，，，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】設(shè)點，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，消去整理得，顯然成立，故，，由橢圓定義得的周長為，則的面積，又由，得，從而得，即，整理得，解得，故，故直線的方程為.21、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)短軸長求出b，根據(jù)M在C上求出a；(2)根據(jù)題意設(shè)直線l為，與橢圓方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)＝即可求出m的值.【小問1詳解】∵短軸長為2，∴，∴，又∵點在C上，∴，∴，∴橢圓C的標準方程為；【小問2詳解】由(1)知，∵當直線l斜率為0時，不符合題意，∴設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立，消x得：，∵，∴設(shè)，，則，∵