現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法課程02優(yōu)化設(shè)計(jì)6課件

§2.6多目標(biāo)優(yōu)化方法與離散變量?jī)?yōu)化問題

概述多目標(biāo)優(yōu)化方法離散變量的優(yōu)化問題實(shí)際的工程設(shè)計(jì)和產(chǎn)品設(shè)計(jì)問題通常有多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)，或者說有多個(gè)評(píng)判設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。為了使設(shè)計(jì)更加符合實(shí)際，要求同時(shí)考慮多個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，建立多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，這就是多目標(biāo)優(yōu)化問題。其數(shù)學(xué)模型為：一、概述在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多，目標(biāo)函數(shù)越多，設(shè)計(jì)的綜合效果越好，但問題的求解也越復(fù)雜。在多數(shù)情況下各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化又往往是相互矛盾的，不能期望他們同時(shí)達(dá)到最優(yōu)解，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生完全對(duì)立的情況，即一個(gè)目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)點(diǎn)，對(duì)另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)卻是劣點(diǎn)。幾個(gè)概念：若各個(gè)目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的同一點(diǎn)都取得極小值，則稱該點(diǎn)為完全最優(yōu)解；使至少一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)稱為劣解；除完全最優(yōu)解和劣解之外的所有解稱為有效解；多目標(biāo)的優(yōu)化實(shí)際上是根據(jù)重要性對(duì)各個(gè)目標(biāo)進(jìn)行量化，將不可比問題轉(zhuǎn)化為可比問題，以求取一個(gè)對(duì)每個(gè)目標(biāo)來說都相對(duì)最優(yōu)的有效解。分類與方法：根據(jù)處理各個(gè)目標(biāo)的不同方式分為兩類：一類是將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)問題求解；另一類則根據(jù)多個(gè)目標(biāo)構(gòu)造一個(gè)綜合的評(píng)價(jià)函數(shù)，然后以單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。常用的方法有：主要目標(biāo)法、統(tǒng)一目標(biāo)法（線性加權(quán)法或加權(quán)組合法、理想點(diǎn)法或目標(biāo)規(guī)劃法、功效系數(shù)法、乘除法）、協(xié)調(diào)曲線法和設(shè)計(jì)分析法。二、多目標(biāo)優(yōu)化方法統(tǒng)一目標(biāo)法主要目標(biāo)法協(xié)調(diào)曲線法

設(shè)計(jì)分析法(一)統(tǒng)一目標(biāo)法此法將各個(gè)目標(biāo)函數(shù)稱為分目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一到一個(gè)總的“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”中，即令

使多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題來求解。問題是：如何定義f(X)？這是這一方法的核心，多數(shù)情況下加權(quán)因子可以根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)值接給出，有時(shí)也可按下式計(jì)算得到加權(quán)因子。其中，是以第j項(xiàng)的分目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成的單目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)值。如何確定合理的加權(quán)因子?2.目標(biāo)規(guī)劃法或稱為理想點(diǎn)法先分別求出各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，然后根據(jù)多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)設(shè)計(jì)的總體要求，作適當(dāng)調(diào)整，制定出理想的最優(yōu)值構(gòu)造如下評(píng)價(jià)函數(shù)和單目標(biāo)優(yōu)化問題：此問題的最優(yōu)解是一個(gè)最接近完全最優(yōu)解的有效解，故稱這種方法為求解多目標(biāo)問題的理想點(diǎn)法。尋求一個(gè)最接近完全最優(yōu)解的有效解。顯然，此問題的最優(yōu)解既考慮了目標(biāo)函數(shù)的重要性，又最接近完全最優(yōu)解，因此，它是多目標(biāo)優(yōu)化問題的一個(gè)更加理想、更加切合實(shí)際的相對(duì)最優(yōu)解。3.功效系數(shù)法每個(gè)分目標(biāo)函數(shù)都可以用各個(gè)功效系數(shù)來表示該項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的好壞，規(guī)定：表示第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)的效果最好表示第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)的效果最差。那么，多目標(biāo)問題的一個(gè)設(shè)計(jì)方案的好壞程度可以用各功效系數(shù)的平均值加以評(píng)定，即總的功效系數(shù)，即表示該設(shè)計(jì)方案的好壞，顯然，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案應(yīng)是這樣，當(dāng)時(shí)表示取得最理想的設(shè)計(jì)方案，反之，表示這種設(shè)計(jì)方案不可行，也表明必有某項(xiàng)分目標(biāo)系數(shù)的。如何求？一般第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)上的功效系數(shù)值可以由以下線性插值關(guān)系得到：其中和分別表示第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值。此法雖計(jì)算較繁，但較為有效，比較直觀，調(diào)整容易，不論各分目標(biāo)的量級(jí)及量綱如何，最終都轉(zhuǎn)化為0-1間的數(shù)值，且一旦有一分目標(biāo)函數(shù)值不理想（）時(shí)，其總功效系數(shù)必為零，表明設(shè)計(jì)方案不可接受，須重新調(diào)整約束條件或各分目標(biāo)函數(shù)的臨界值；另外，這種方法易于處理有的目標(biāo)函數(shù)既不是愈大愈好，也不是愈小愈好的情況。4.乘除法此法是將多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化問題中的全部q個(gè)目標(biāo)分為：目標(biāo)函數(shù)值愈小愈好的所謂費(fèi)用類（如材料、工時(shí)、成本和重量等）。目標(biāo)函數(shù)值愈大愈好的所謂效益類(如產(chǎn)量、產(chǎn)值、利潤(rùn)和效益等)。(二)主要目標(biāo)法針對(duì)在多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化問題中，往往各目標(biāo)函數(shù)的重要程度是不一樣的。針對(duì)這樣一種實(shí)際情況，首先應(yīng)考慮主要目標(biāo)，同時(shí)兼顧次要目標(biāo)。設(shè)計(jì)時(shí)先將全部目標(biāo)函數(shù)按其重要程度進(jìn)行排列，最重要的排在最前面。

然后依次求各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)值，這時(shí)其他目標(biāo)函數(shù)則根據(jù)初步設(shè)計(jì)的考慮，給予適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)值的估計(jì)值(估計(jì)出最大值和最小值，在求得實(shí)際最優(yōu)值后應(yīng)以實(shí)際最優(yōu)值進(jìn)行替換)。這樣就可使多目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)化問題，轉(zhuǎn)換成一些單目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)化問題，尋求整個(gè)設(shè)計(jì)可以接受的相對(duì)最優(yōu)解。(三)協(xié)調(diào)曲線法（圖解法）此法是在整個(gè)設(shè)計(jì)空間，根據(jù)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的等值線以及約束面在設(shè)計(jì)空間的協(xié)調(diào)關(guān)系，來尋求多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)設(shè)計(jì)的最優(yōu)方案。主要用于求解簡(jiǎn)單的多目標(biāo)優(yōu)化問題。(四)設(shè)計(jì)分析法用本法求解：?jiǎn)栴}時(shí)，先求出每一個(gè)（單）目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)解，再相互制約地對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行分析、協(xié)調(diào)、修改，把各個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)調(diào)整到要求值上，并得到最理想的協(xié)調(diào)關(guān)系。盡管許多離散優(yōu)化問題可以先按連續(xù)變量?jī)?yōu)化問題求解得到連續(xù)最優(yōu)解，再進(jìn)行離散化處理得到離散解，但有些問題，則需要直接求解離散最優(yōu)解。直接求解離散優(yōu)化問題的解法就是離散優(yōu)化方法。由于離散變量不具備連續(xù)、可微等一系列解析性質(zhì)，因此幾乎所有連續(xù)變量?jī)?yōu)化方法對(duì)于求解離散變量?jī)?yōu)化問題都不適用，目前，對(duì)離散變量?jī)?yōu)化方法的研究在理論上和程序上仍不成熟，下面介紹離散變量?jī)?yōu)化問題的基本概念和一般解法。(二)離散變量?jī)?yōu)化問題的最優(yōu)解數(shù)學(xué)模型：其中I為離散數(shù)列集合?？梢?，離散變量?jī)?yōu)化問題的求解，就是在滿足所有約束條件的離散點(diǎn)的集合中尋求使目標(biāo)函數(shù)極小化的離散最優(yōu)點(diǎn)。由于設(shè)計(jì)變量不連續(xù)，所有滿足約束條件的點(diǎn)只能構(gòu)成可行集，記作I，不滿足約束條件的點(diǎn)構(gòu)成非可行集，記作。1.窮舉法對(duì)某些實(shí)際問題，如果它的每個(gè)變量都是離散變量，且其離散點(diǎn)數(shù)是有限的，可以考慮采用窮舉法，即計(jì)算各離散變量取值的所有組合的目標(biāo)函數(shù)值，然后通過比較這些函數(shù)值來尋找最優(yōu)點(diǎn)。這種方法適用于變量取值組合數(shù)有限的情況。2.曲線擬合技術(shù)所謂曲線擬合，就是根據(jù)離散量的點(diǎn)列圖，選定一種曲線去擬合那些離散點(diǎn)，從而獲得可以描述該點(diǎn)列離散規(guī)律的近似函數(shù)表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型。針對(duì)這一數(shù)學(xué)模型就可以近似認(rèn)為變量是連續(xù)的，可以用前述的優(yōu)化方法編寫優(yōu)化程序及進(jìn)行計(jì)算來求優(yōu)，建立近似函數(shù)表示式常用的方法是：

(1)平均法假定在一組測(cè)量分析所得的離散值中，相對(duì)于一定的公稱值，正負(fù)偏差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，那么在以這些公稱值構(gòu)造的代表線上，所有偏差代數(shù)和為零。故可用該代表線來表示這些離散數(shù)值的規(guī)律。(2)最小二乘法：擬合方程。這兩種方法只能用于一元函數(shù)的擬合，對(duì)于多元函數(shù)，則必須采用回歸分析方法獲得多元線性回歸方程或多元非線性回歸方程，用以逼近多維離散量的分布狀態(tài)。3.實(shí)用優(yōu)化參數(shù)處理在處理離散型變量時(shí)，較實(shí)用的處理方法是：考慮有關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)及規(guī)范：凡是與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)、部頒標(biāo)準(zhǔn)或設(shè)計(jì)規(guī)范有關(guān)的參數(shù)，都應(yīng)參照相應(yīng)數(shù)值進(jìn)行修正，如滾珠直徑、彈簧直徑等，一般略大于優(yōu)化參數(shù)值?？紤]實(shí)際允許偏差處理時(shí)，要考慮設(shè)計(jì)參數(shù)規(guī)定的允差(及公差)，如配合尺寸孔徑或軸徑，在將優(yōu)化所得的尺寸進(jìn)行修正時(shí)，都應(yīng)考慮配合種類及等級(jí)精度。4.離散懲罰函數(shù)法針對(duì)變量的離散型約束條件，可以建立如下形式的懲罰項(xiàng)：其中I為離散變量的下標(biāo)集為一正指數(shù)，是與相鄰的兩個(gè)離散點(diǎn)，罰因子為一遞增的正數(shù)序列，即可以看出，當(dāng)時(shí)，，懲罰項(xiàng)等于零；當(dāng)時(shí)，，懲罰項(xiàng)也等于零；當(dāng)時(shí)，，懲罰項(xiàng)大于零。這就說明，懲罰項(xiàng)對(duì)離散點(diǎn)不懲罰，而對(duì)離散點(diǎn)之外的所有點(diǎn)都加以懲罰。離散懲罰項(xiàng)分析：按上面的懲罰項(xiàng)建立懲罰函數(shù)，則相應(yīng)的離散變量?jī)?yōu)化問題變?yōu)椋?/p>

改變罰因子并對(duì)此式不斷求解，便可得到罰函數(shù)的離散型極小點(diǎn)序列，當(dāng)時(shí)，該極小點(diǎn)序列逼近原離散變量?jī)?yōu)化問題的離散最優(yōu)解。例：求解離散變量?jī)?yōu)化問題解：先解除離散型約束條件，取初始點(diǎn)用內(nèi)點(diǎn)法求解連續(xù)最優(yōu)解得到再用離散懲罰函數(shù)法求解，得到離散最優(yōu)解：此離散最優(yōu)解在可行域內(nèi)，而且此解與連續(xù)最優(yōu)解離散化后得到的解完全相同。離散化后即近似取整，四、優(yōu)化結(jié)果分析優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算完成后，需對(duì)計(jì)算的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行仔細(xì)的分析、檢查其合理性，發(fā)現(xiàn)和改正一切可能的錯(cuò)誤，以便得到一個(gè)符合工程實(shí)際的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。對(duì)于優(yōu)化結(jié)果給出的設(shè)計(jì)變量值，需要檢查他們的合理性和可行性。利用約束函數(shù)值可以檢查計(jì)算結(jié)果是否合理。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際工程設(shè)計(jì)問題來說，最優(yōu)解往往位于一個(gè)或幾個(gè)不等式約束面上，這是最優(yōu)解所在約束面，其約束函數(shù)值應(yīng)該等于或接近于零；若不然，應(yīng)考慮數(shù)學(xué)模型或最優(yōu)化過程是否有誤，若有誤，可改變初始點(diǎn)或最優(yōu)化方法重新進(jìn)行計(jì)算。另外，經(jīng)優(yōu)化所得的結(jié)果一般只能認(rèn)為是局部最優(yōu)解，并不一定是全局最優(yōu)解，尤其是多目標(biāo)問題，為了使結(jié)果接近全局最優(yōu)解，通常是多選幾個(gè)初始點(diǎn)進(jìn)行試算，或選用不同的優(yōu)化方法進(jìn)行試算，從所得各個(gè)最優(yōu)解中篩選出最佳的結(jié)果來作為最優(yōu)解。有時(shí)，還需對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行必要的處理，如工程設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量，并非都是連續(xù)性的，往往是在一個(gè)問題中既有連續(xù)性的（如齒寬）又有整數(shù)性的（如齒數(shù)），也有離散性的（如模數(shù)），對(duì)于設(shè)計(jì)變量全為整數(shù)型的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題，可用整數(shù)規(guī)劃方法求解。而對(duì)于具有上述混合型設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，有時(shí)則可將全部設(shè)計(jì)變量都假定為連續(xù)性的，在取得最優(yōu)解后，在進(jìn)行必要的處理，將求得的原為整數(shù)型和離散型的設(shè)計(jì)變量的非整數(shù)值和非應(yīng)有的離散值，調(diào)整到離他最近的整數(shù)值和離散值（只允許向可行域內(nèi)調(diào)整）。【本節(jié)思考題】1.各種多目標(biāo)優(yōu)化方法分別是如何處理多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的？2.各種多目標(biāo)優(yōu)化方法的使用有什么原則？

本章小節(jié)1.優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型：設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間目標(biāo)函數(shù)與約束條件（什么是起作用約束）

可行域與等值線優(yōu)化問題的圖解法優(yōu)化問題的最優(yōu)解要么是一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，要么是目標(biāo)函數(shù)等值線在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個(gè)交點(diǎn)。2.優(yōu)化設(shè)計(jì)的極值條件與數(shù)值迭代法梯度優(yōu)化問題的極值條件、k-t條件數(shù)值迭代法的基本思想與基本迭代公式數(shù)值迭代的終止準(zhǔn)則

點(diǎn)距準(zhǔn)則值差準(zhǔn)則梯度準(zhǔn)則3.一維搜索方法一維搜索的數(shù)學(xué)形式與幾何意義單峰區(qū)間的定義與特點(diǎn)尋找單峰區(qū)間的進(jìn)退法區(qū)間消去法

黃金分割法內(nèi)分點(diǎn)計(jì)算公式和區(qū)間縮減原則、迭代步驟二次插值法：基本思想與區(qū)間縮減原則4.無約束優(yōu)化方法梯度法：基本思想、搜索方向確定、迭代步驟牛頓法：牛頓方向、基本牛頓法和阻尼牛頓法的迭代步驟變尺度法：基本思想、搜索方向確定