基于高考全國(guó)卷的空間角和距離求解策略 課件

基于高考全國(guó)卷的空間角和距離求解策略揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高建國(guó)1.導(dǎo)語(yǔ)立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，承載著培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的育人功能。立體幾何的知識(shí)呈現(xiàn)是從認(rèn)識(shí)多面體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，聚焦點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，落腳在點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定、空間角與距離的計(jì)算以及表面積和體積的計(jì)算．1.1立體幾何學(xué)業(yè)水平一要求

內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系。

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生以長(zhǎng)方體為載體，認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證；了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法；運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。

1.2立體幾何學(xué)業(yè)水平二要求

能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，解決實(shí)際問(wèn)題成數(shù)學(xué)問(wèn)題；能夠針對(duì)運(yùn)算問(wèn)題，合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，運(yùn)算求解。

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生體會(huì)平面向量和空間向量的共性和差異，運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運(yùn)用向量方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，感悟向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具?？臻g角和距離是最基本的兩個(gè)幾何量,空間圖形中各元素間的位置關(guān)系都可以用這兩個(gè)幾何量來(lái)定量描述.因此,有關(guān)空間角和距離的計(jì)算,是立體幾何的一類重要問(wèn)題,是歷年來(lái)高考考查的重點(diǎn)。

1.3空間角和距離綜合法——作圖、證明、解三角形；

向量法——建系，求坐標(biāo)，向量運(yùn)算。綜合法——少算多想，直觀想象素養(yǎng)要求高；

向量法——多算少想，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求高。2.異面直線所成角

異面直線所成角是空間角中相對(duì)容易的一種類型，全國(guó)卷中異面直線所成角的考查不多見，難度中等。2.1異面直線所成角的求解方法方法綜合法平移法中位線平移法補(bǔ)形法向量法2.2解決關(guān)鍵——妙選點(diǎn)、作平（行）線平移法補(bǔ)形法補(bǔ)形法，則凸顯了對(duì)基本圖形的深刻理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想和意識(shí)。2.3教學(xué)啟示立體幾何的教學(xué)要以特殊模型為載體，注重核心素養(yǎng)的滲透，在直觀想象素養(yǎng)方面下功夫。通過(guò)多角度的變式探究，幫助學(xué)生體會(huì)并挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，強(qiáng)化幾何體的切割與補(bǔ)體思想，在切與補(bǔ)的過(guò)程中感悟幾何體間的邏輯聯(lián)系．2.線面角

線面角的難度介于異面直線所成角與二面角之間，全國(guó)卷中線面角的考查比較普遍。線面角的考查遵循了由“能力立意”轉(zhuǎn)為“素養(yǎng)立意”的大勢(shì)所趨，命題者正在不斷地探索試題如何體現(xiàn)“素養(yǎng)立意”2.1線面角的考查趨勢(shì)——從能力走向素養(yǎng)2.2線面角的求解方法線面角求法綜合法斜線與射影所成角點(diǎn)面距與斜線長(zhǎng)比值向量法研究方向向量與法向量所成角2.3線面角的求解注意點(diǎn)——兩條腿走路向量法綜合法2.4教學(xué)啟示以素養(yǎng)立意命制的題目,思維的含金量一定會(huì)更高一些,題目的入口也會(huì)更窄一些.高考命題的方向“多考一點(diǎn)想,少考一點(diǎn)算”。立體幾何綜合題“空間想象”是起點(diǎn),而“分析解決”是落腳點(diǎn).立幾教學(xué)時(shí)要關(guān)注兩點(diǎn):一是要發(fā)展幾何直觀與空間想象能力,建立數(shù)與形的聯(lián)系;二是能通過(guò)分析與想象,思考和解決具體問(wèn)題,在具體事物中感悟事物的本質(zhì).3.二面角全國(guó)卷中二面角的考查最為普遍，難度最大。二面角處理方法的不同，對(duì)應(yīng)邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的水平不盡相同．若用綜合法，則凸顯直觀想象素養(yǎng)；若用建立空間直角坐標(biāo)系的代數(shù)法，則凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，若兩者結(jié)合，則可以全面考察學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平．3.1二面角——向量法3.2二面角——綜合法3.3二面角——向量法與綜合法綜合3.4二面角教學(xué)的注意點(diǎn)二面角的考查經(jīng)典的體現(xiàn)了“考知識(shí)，重推理，注運(yùn)算，顯素養(yǎng)”的命題原則，全國(guó)卷中二面角的求法主要是向量法，但這并不意味著只需要一味的機(jī)械訓(xùn)練向量法，綜合法同等重要！用綜合法解決二面角問(wèn)題可以有效培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與邏輯推理能力，這對(duì)于解決立幾復(fù)雜問(wèn)題顯得尤為重要。要幫助學(xué)生多角度,多方位思考、訓(xùn)練。3.5二面角的復(fù)習(xí)策略1、滲透二面角綜合法的各種解決方法，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。三垂線法定義法射影面積法基向量法垂面法3.5二面角的復(fù)習(xí)策略2、重視向量法的過(guò)程性教學(xué)，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平。向量法的前提是求對(duì)坐標(biāo)向量法的核心價(jià)值是向量的運(yùn)算向量法的關(guān)鍵是要算對(duì)、快算，巧算3.5二面角的復(fù)習(xí)策略3、重視“基本圖形”的作用，循序漸進(jìn)地發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

重視基本圖形的作用，立足從“基本圖形”到“變式圖形”再到“綜合圖形”，尤其要特別關(guān)注長(zhǎng)方體這一最基本的立體圖形；重視“三種語(yǔ)言”—文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言之間的靈活轉(zhuǎn)換．文字語(yǔ)言有助于記憶，符號(hào)語(yǔ)言有助于推理過(guò)程的正確書寫，圖形語(yǔ)言有助于從復(fù)雜問(wèn)題情境中提取定理的基本模型，從而發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．4.距離空間距離包括點(diǎn)面距、線面距、面面距、異面直線間距離等問(wèn)題，全國(guó)卷主要考查點(diǎn)面距離的求法，考查形式主要是以求體積的形式考查，涉及距離求法時(shí)難度不大，但距離本身所在的題目難度有難有易。4.1直接考查距離的求法圖要自己畫4.1直接考查距離的求法定義法向量法還可以用等積法4.2距離的間接考法——求體積幾何體的高——點(diǎn)面距4.2距離的間接考法——求體積距離、體積、函數(shù)綜合，導(dǎo)數(shù)是重點(diǎn)4.3距離教學(xué)的注意點(diǎn)距離很多種，點(diǎn)面距是重點(diǎn)。定義法是距離最常見的求法（不是等積法）。向量法求距離不作要求，但可以適度補(bǔ)充。關(guān)注距離與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合多角度、多題型練習(xí)距離的求法。5總結(jié)

（1）立體幾何的教學(xué)是“全新的挑戰(zhàn)、難得的機(jī)遇”

不僅要關(guān)注平行與垂直的證明（水平一），更要關(guān)注角和距離的計(jì)算求解（水平二，面向高考）；

不僅要關(guān)注邏輯推理的教學(xué)，更要關(guān)注直觀想象（綜合法）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（向量法）等素養(yǎng)的培育；5總結(jié)

（2）空間角和距離的求法層次明顯，教學(xué)時(shí)需要分層，因人而異，因校而異，因文理科而異；

（3）角和距離的求法可以培養(yǎng)邏輯推理能力，可以發(fā)展空間想象力（空間觀念），同時(shí)更要認(rèn)識(shí)