康托爾的集合論公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

康托爾與集合論演講者：蔣晨杰

PPT制作：于祥雨組員：蔣晨杰吳連帥張開云于祥雨主要內(nèi)容介紹集合論誕生歷程三次數(shù)學(xué)危機(jī)集合論趨于完善啟發(fā)介紹格奧爾格·康托爾格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3-1918.1.6）德國數(shù)學(xué)家，19世紀(jì)數(shù)學(xué)偉大成就之一——集合論創(chuàng)建人。生于俄國圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)?？低袪栂群缶蛯W(xué)于蘇黎世大學(xué)、哥廷根大學(xué)、法蘭克福大學(xué)和柏林大學(xué)，主要學(xué)習(xí)哲學(xué)、數(shù)學(xué)和物理。個人事跡康托爾，1862年入蘇黎世大學(xué)學(xué)工,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)和神學(xué)，受教于庫默爾（Kummer，ErnstEduard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，KarlTheodorWilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克羅內(nèi)克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下以處理普通整系數(shù)不定方程ax2+by2+cz2=0求解問題論文獲博士學(xué)位。畢業(yè)后受魏爾斯特拉斯直接影響，由數(shù)論轉(zhuǎn)向嚴(yán)格分析理論研究，很快嶄露頭角。他在哈雷大學(xué)任教（1869-1913）早期證實(shí)了復(fù)合變量函數(shù)三角級數(shù)展開唯一性，繼而用有理數(shù)列極限定義無理數(shù)。1872年成為該校副教授，1879年任教授。因?yàn)閷W(xué)術(shù)觀點(diǎn)上受到沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥，雖在1887年恢復(fù)了健康，繼續(xù)工作，但晚年一直病魔纏身。191月6日在德國哈雷（Halle）-維滕貝格大學(xué)從屬精神病院逝世?？低袪柵d趣廣泛，極有個性，終生信仰宗教。早期在數(shù)學(xué)方面興趣是數(shù)論，1870年開始研究三角級數(shù)并由此造成19世紀(jì)末、20世紀(jì)初最偉大數(shù)學(xué)成就——集合論和超窮數(shù)理論建立。除此之外，他還努力探討在新理論創(chuàng)建過程中所包括數(shù)理哲學(xué)問題.1888-1893年康托爾任柏林?jǐn)?shù)學(xué)會第一任會長，1890年領(lǐng)導(dǎo)創(chuàng)建德國數(shù)學(xué)家聯(lián)合會并任首屆主席。集合論誕生歷程

集合論研究開端：十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到處理后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)動。正是在這場運(yùn)動中，康托爾開始探討了前人從未碰過實(shí)數(shù)點(diǎn)集。1874年，德國數(shù)學(xué)家康托爾在著名《克雷爾數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合論第一章革命性文章。從1874年到1884年，康托爾一系列關(guān)于集合文章，奠定了集合論基礎(chǔ)。他對集合所下定義是：把若干確定、有區(qū)分（不論是詳細(xì)或抽象）事物合并起來，看作一個整體，其中各事物稱為該集合元素。格奧爾格·康托爾集合是數(shù)學(xué)一個基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個極其獨(dú)特地位，其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)全部領(lǐng)域。假如把當(dāng)代數(shù)學(xué)比作一座無比輝煌大廈，那么能夠說集合論正是組成這座大廈基石，由此可見它在數(shù)學(xué)中主要性。其創(chuàng)始人康托爾也以其集合論成就被譽(yù)為對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深學(xué)者之一。集合集合論受排擠如同每一個新事物出現(xiàn)一樣，集合論一經(jīng)問世就遭到許多數(shù)學(xué)家及其它學(xué)者激烈反對。當(dāng)初權(quán)威數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecker)非常敵視康托爾集合論思想，時間達(dá)整整十年之久，法國數(shù)學(xué)大家龐加萊(Poincare)則預(yù)測后一代人將把集合論看成一個疾病。在猛烈攻擊下與過分用腦思索中，康托爾本人一度成為這一激烈論爭犧牲品，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神瓦解。然而烏云遮不住太陽，經(jīng)歷二十余年后，集合論最終取得了世界公認(rèn)?？肆_內(nèi)克AND龐加萊克羅內(nèi)克，德國數(shù)學(xué)家。對代數(shù)和代數(shù)數(shù)論，尤其是橢圓函數(shù)理論有突出貢獻(xiàn)。他主要貢獻(xiàn)在于努力統(tǒng)一數(shù)論、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)研究。克羅內(nèi)克數(shù)學(xué)觀對后世有極大影響。亨利·龐加萊，法國數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家。他被公認(rèn)是19世紀(jì)后四分之一和二十世紀(jì)初領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家，是對于數(shù)學(xué)和它應(yīng)用含有全方面知識最終一個人。二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們贊同。數(shù)學(xué)家們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，只要借助集合論概念，便能夠建造起整個數(shù)學(xué)大廈。在19第二次國際數(shù)學(xué)大會上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣告“……數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。我們能夠說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)到達(dá)了絕正確嚴(yán)格?！比欢@種自得情緒并沒能連續(xù)多久。英國哲學(xué)家羅素(Russell)就很懷疑數(shù)學(xué)這種嚴(yán)密性，他經(jīng)過三年苦思冥想，于19找到了一個能證實(shí)自己觀點(diǎn)簡單明確“羅素悖論”。很快，集合論是有漏洞消息快速就傳遍了數(shù)學(xué)界。集合論漏洞羅素羅素（Russell），英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家，無神論或者不可知論者，也是上世紀(jì)西方最著名、影響最大學(xué)者和和平主義社會活動家之一，1950年諾貝爾文學(xué)獎得主，同時被認(rèn)為是與弗雷格、維特根斯坦和懷特海一同創(chuàng)建了分析哲學(xué)。羅素悖論羅素悖論還有一些較為通俗版本，如剪發(fā)師悖論。在某個城市中有一位剪發(fā)師，他廣告詞是這么寫：“本人剪發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城全部不給自己刮臉人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示赤誠歡迎！”來找他刮臉人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉人?？墒?，有一天，這位剪發(fā)師從鏡子里看見自己胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？假如他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉人”，他就要給自己刮臉，而假如他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉人”，他就不該給自己刮臉。剪發(fā)師悖論號稱“天衣無縫”、“絕對嚴(yán)密”數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中。從此整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)被動搖了，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。剪發(fā)師悖論三次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：無理數(shù)發(fā)覺——第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。希帕索斯提出一個問題：邊長為1正方形其對角線長度是多少？他造成了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)誕生。掀起當(dāng)初數(shù)學(xué)界上一場巨大風(fēng)暴。直接動搖畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)無窮小量取值大小——源于微積分工具使用。微積分在很多疑難問題利用中及其簡單，不過不論是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)建微積分理論都不是嚴(yán)格。對于無窮小量是不是0看法引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第二次危機(jī)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 悖論產(chǎn)生。在康托爾集合論被公認(rèn)沒多久，19，一個震驚數(shù)學(xué)界消息傳出：集合論存在漏洞。這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出著名羅素悖論。公理化集合論誕生危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到處理危機(jī)工作中去。19，德國數(shù)學(xué)家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化方法來消除悖論。他認(rèn)為悖論出現(xiàn)是因?yàn)榭低袪枦]有把集合概念加以限制，康托爾對集合定義是含混．策梅羅希望簡練公理能使集合定義及其含有性質(zhì)更為顯然。策梅羅公理化集合論以后演變成ZF或ZFS公理系統(tǒng)。從此原本直觀集合概念被建立在嚴(yán)格公理基礎(chǔ)之上，從而防止了悖論出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展第二個階段：公理化集合論。與此相對應(yīng)，在19以前由康托爾創(chuàng)建集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論嚴(yán)格處理。它保留了樸素集合論有價值結(jié)果并消除了其可能存在悖論，因而較圓滿地處理了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。公理化集合論建立，標(biāo)志著著名數(shù)