高等數學課件第一章函數與極限

一、基本概念2024/3/10函數與極限21.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集2024/3/10函數與極限3數集分類:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集數集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2024/3/10函數與極限42.區(qū)間:是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,2024/3/10函數與極限5稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.2024/3/10函數與極限63.鄰域:2024/3/10函數與極限74.常量與變量:

在某過程中數值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.2024/3/10函數與極限85.絕對值:運算性質:絕對值不等式:2024/3/10函數與極限9因變量自變量數集D叫做這個函數的定義域二、函數概念2024/3/10函數與極限10自變量因變量對應法則f函數的兩要素:定義域與對應法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值.2024/3/10函數與極限11定義:如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數．2024/3/10函數與極限12(1)符號函數幾個特殊的函數舉例1-1xyo2024/3/10函數與極限13(2)取整函數y=[x][x]表示不超過的最大整數12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線2024/3/10函數與極限14有理數點無理數點?1xyo(3)狄利克雷函數2024/3/10函數與極限15(4)取最值函數yxoyxo2024/3/10函數與極限16在自變量的不同變化范圍中,

對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.2024/3/10函數與極限17例1脈沖發(fā)生器產生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數關系式.解單三角脈沖信號的電壓2024/3/10函數與極限182024/3/10函數與極限19例2解故三、函數的特性2024/3/10函數與極限20M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數的有界性:2024/3/10函數與極限212．函數的單調性:xyo2024/3/10函數與極限22xyo2024/3/10函數與極限233．函數的奇偶性:偶函數yxox-x2024/3/10函數與極限24奇函數yxox-x2024/3/10函數與極限254．函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.2024/3/10函數與極限26

直接函數與反函數的圖形關于直線對稱.四、反函數五、小結2024/3/10函數與極限27基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數的概念函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性.反函數2024/3/10函數與極限28思考題2024/3/10函數與極限29思考題解答設則故2024/3/10函數與極限30練習題2024/3/10函數與極限312024/3/10函數與極限32練習題答案一、基本初等函數2024/3/10函數與極限341.冪函數2024/3/10函數與極限352.指數函數2024/3/10函數與極限363.對數函數2024/3/10函數與極限374.三角函數正弦函數2024/3/10函數與極限38余弦函數2024/3/10函數與極限39正切函數2024/3/10函數與極限40余切函數2024/3/10函數與極限41正割函數2024/3/10函數與極限42余割函數2024/3/10函數與極限435.反三角函數2024/3/10函數與極限442024/3/10函數與極限452024/3/10函數與極限46

冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統(tǒng)稱為基本初等函數.二、復合函數初等函數2024/3/10函數與極限471.復合函數定義:2024/3/10函數與極限48注意:1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.2.初等函數

由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.2024/3/10函數與極限49例1解2024/3/10函數與極限50綜上所述三、雙曲函數與反雙曲函數2024/3/10函數與極限51奇函數.偶函數.1.雙曲函數2024/3/10函數與極限52奇函數,有界函數,2024/3/10函數與極限53雙曲函數常用公式2024/3/10函數與極限542.反雙曲函數奇函數,2024/3/10函數與極限552024/3/10函數與極限56奇函數,四、小結2024/3/10函數與極限57函數的分類:函數初等函數非初等函數(分段函數,有無窮多項等函數)代數函數超越函數有理函數無理函數有理整函數(多項式函數)有理分函數(分式函數)2024/3/10函數與極限58思考題2024/3/10函數與極限59思考題解答不能．2024/3/10函數與極限60一、填空題:練習題2024/3/10函數與極限612024/3/10函數與極限62練習題答案2024/3/10函數與極限63一、概念的引入2024/3/10函數與極限65“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：播放——劉徽2024/3/10函數與極限66正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2024/3/10函數與極限672、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數列的定義2024/3/10函數與極限68例如2024/3/10函數與極限69注意：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數2024/3/10函數與極限70播放三、數列的極限2024/3/10函數與極限71問題:當

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:2024/3/10函數與極限722024/3/10函數與極限73如果數列沒有極限,就說數列是發(fā)散的.注意：2024/3/10函數與極限74幾何解釋:其中2024/3/10函數與極限75數列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：2024/3/10函數與極限76例2證所以,說明:常數列的極限等于同一常數.小結:用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.2024/3/10函數與極限77例3證2024/3/10函數與極限78例4證四、數列極限的性質2024/3/10函數與極限791.有界性例如,有界無界2024/3/10函數與極限80定理1收斂的數列必定有界.證由定義,注意：有界性是數列收斂的必要條件.推論無界數列必定發(fā)散.2024/3/10函數與極限812.唯一性定理2每個收斂的數列只有一個極限.證由定義,故收斂數列極限唯一.2024/3/10函數與極限82例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內.3.(收斂數列與其子數列間的關系)如果數列收斂于a，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是a2024/3/10函數與極限83五.小結2024/3/10函數與極限84數列:研究其變化規(guī)律;數列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數列的性質:有界性唯一性.2024/3/10函數與極限85思考題證明要使只要使從而由得取當時，必有成立2024/3/10函數與極限86思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大”的值2024/3/10函數與極限87從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為2024/3/10函數與極限88練習題2024/3/10函數與極限89“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入三、數列的極限2024/3/10函數與極限902024/3/10函數與極限91三、數列的極限2024/3/10函數與極限92三、數列的極限2024/3/10函數與極限93三、數列的極限2024/3/10函數與極限94三、數列的極限2024/3/10函數與極限95三、數列的極限2024/3/10函數與極限96三、數列的極限2024/3/10函數與極限97三、數列的極限2024/3/10函數與極限98三、數列的極限2024/3/10函數與極限99三、數列的極限2024/3/10函數與極限100三、數列的極限2024/3/10函數與極限101三、數列的極限2024/3/10函數與極限102三、數列的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限104播放2024/3/10函數與極限105通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.2024/3/10函數與極限1062024/3/10函數與極限1072.另兩種情形:2024/3/10函數與極限1083.幾何解釋:2024/3/10函數與極限109例1證二、自變量趨向有限值時函數的極限2024/3/10函數與極限1102024/3/10函數與極限1112024/3/10函數與極限1122.幾何解釋:注意：2024/3/10函數與極限113例2證例3證2024/3/10函數與極限114例4證函數在點x=1處沒有定義.2024/3/10函數與極限115例5證2024/3/10函數與極限1163.單側極限:例如,2024/3/10函數與極限117左極限右極限2024/3/10函數與極限118左右極限存在但不相等,例6證三、函數極限的性質2024/3/10函數與極限1191.有界性2.唯一性2024/3/10函數與極限120推論3.不等式性質定理(保序性)2024/3/10函數與極限121定理(保號性)推論2024/3/10函數與極限1224.子列收斂性(函數極限與數列極限的關系)定義定理2024/3/10函數與極限123證2024/3/10函數與極限124例如,函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.2024/3/10函數與極限125例7證2024/3/10函數與極限126二者不相等,四、小結2024/3/10函數與極限127函數極限的統(tǒng)一定義(見下表)2024/3/10函數與極限128過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后2024/3/10函數與極限129思考題2024/3/10函數與極限130思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.131可編輯132可編輯2024/3/10函數與極限133一、填空題:練習題2024/3/10函數與極限1342024/3/10函數與極限135練習題答案2024/3/10函數與極限136一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限137一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限138一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限139一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限140一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限141一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限142一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限143一、自變量趨向無窮大時函數的極限2024/3/10函數與極限144一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、無窮小2024/3/10函數與極限1461.定義:極限為零的變量稱為無窮小.2024/3/10函數與極限147例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數.2024/3/10函數與極限1482.無窮小與函數極限的關系:證必要性充分性2024/3/10函數與極限149意義1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質:定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.證2024/3/10函數與極限150注意

無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.2024/3/10函數與極限151定理3有界函數與無窮小的乘積是無窮小.證2024/3/10函數與極限152推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大2024/3/10函數與極限153絕對值無限增大的變量稱為無窮大.2024/3/10函數與極限154特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.2024/3/10函數與極限155不是無窮大．無界，2024/3/10函數與極限156證三、無窮小與無窮大的關系2024/3/10函數與極限157定理4在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.證2024/3/10函數與極限158意義

關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.四、小結2024/3/10函數與極限1591、主要內容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄祷煜?，零是唯一的無窮小的數；（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.2024/3/10函數與極限160思考題2024/3/10函數與極限161思考題解答不能保證.例有2024/3/10函數與極限162一、填空題:練習題2024/3/10函數與極限1632024/3/10函數與極限164練習題答案一、極限運算法則2024/3/10函數與極限166定理證由無窮小運算法則,得2024/3/10函數與極限1672024/3/10函數與極限168推論1常數因子可以提到極限記號外面.推論2有界，二、求極限方法舉例2024/3/10函數與極限169例1解2024/3/10函數與極限170小結:2024/3/10函數與極限171解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例22024/3/10函數與極限172解例3(消去零因子法)2024/3/10函數與極限173例4解(無窮小因子分出法)2024/3/10函數與極限174小結:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.2024/3/10函數與極限175例5解先變形再求極限.2024/3/10函數與極限176例6解2024/3/10函數與極限177例7解左右極限存在且相等,三、小結2024/3/10函數與極限1781.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.2024/3/10函數與極限179思考題

在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？2024/3/10函數與極限180思考題解答沒有極限．假設有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設錯誤．2024/3/10函數與極限181一、填空題:練習題2024/3/10函數與極限182二、求下列各極限:2024/3/10函數與極限1832024/3/10函數與極限184練習題答案一、無窮小的比較2024/3/10函數與極限186例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限2024/3/10函數與極限187定義:2024/3/10函數與極限188例1解例2解2024/3/10函數與極限189常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數的近似表達式:例如,二、等價無窮小替換2024/3/10函數與極限190定理(等價無窮小替換定理)證2024/3/10函數與極限191例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換.注意2024/3/10函數與極限192例4解解錯2024/3/10函數與極限193例5解三、小結2024/3/10函數與極限1941.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.2024/3/10函數與極限195思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？2024/3/10函數與極限196思考題解答不能．例當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當時2024/3/10函數與極限197練習題2024/3/10函數與極限1982024/3/10函數與極限1992024/3/10函數與極限200練習題答案2024/3/10函數與極限201一、函數的連續(xù)性2024/3/10函數與極限2031.函數的增量2024/3/10函數與極限2042.連續(xù)的定義2024/3/10函數與極限2052024/3/10函數與極限206例1證由定義2知2024/3/10函數與極限2073.單側連續(xù)定理2024/3/10函數與極限208例2解右連續(xù)但不左連續(xù),2024/3/10函數與極限2094.連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數,叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數,或者說函數在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,2024/3/10函數與極限210例3證二、函數的間斷點2024/3/10函數與極限2112024/3/10函數與極限2121.跳躍間斷點例4解2024/3/10函數與極限2132.可去間斷點例52024/3/10函數與極限214解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.2024/3/10函數與極限215如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點2024/3/10函數與極限2163.第二類間斷點例6解2024/3/10函數與極限217例7解注意不要以為函數的間斷點只是個別的幾個點.2024/3/10函數與極限218狄利克雷函數在定義域R內每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.★★2024/3/10函數與極限219在定義域R內每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).★判斷下列間斷點類型:2024/3/10函數與極限220例8解三、小結2024/3/10函數與極限2211.函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數;第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)2024/3/10函數與極限222可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx2024/3/10函數與極限223思考題2024/3/10函數與極限224思考題解答且2024/3/10函數與極限225但反之不成立.例但2024/3/10函數與極限226練習題2024/3/10函數與極限2272024/3/10函數與極限228練習題答案2024/3/10函數與極限229一、四則運算的連續(xù)性2024/3/10函數與極限231定理1例如,二、反函數與復合函數的連續(xù)性2024/3/10函數與極限232定理2嚴格單調的連續(xù)函數必有嚴格單調的連續(xù)反函數.例如,反三角函數在其定義域內皆連續(xù).2024/3/10函數與極限233定理3證2024/3/10函數與極限234將上兩步合起來:2024/3/10函數與極限235意義1.極限符號可以與函數符號互換;例1解2024/3/10函數與極限236例2解同理可得2024/3/10函數與極限237定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,三、初等函數的連續(xù)性2024/3/10函數與極限238三角函數及反三角函數在它們的定義域內是連續(xù)的.★★★2024/3/10函數與極限239定理5基本初等函數在定義域內是連續(xù)的.★(均在其定義域內連續(xù))定理6一切初等