2023屆遼寧省遼陽縣數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析_第1頁
2023屆遼寧省遼陽縣數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析_第2頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢2.為了加強“精準(zhǔn)扶貧”,實現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”,某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個貧困縣的調(diào)研工作,每個縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.643.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,則的值為()A. B. C. D.5.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,其中左視圖中三角形為等腰直角三角形,則該幾何體外接球的體積是()A. B.C. D.6.已知三棱柱的所有棱長均相等,側(cè)棱平面,過作平面與平行,設(shè)平面與平面的交線為,記直線與直線所成銳角分別為,則這三個角的大小關(guān)系為()A. B.C. D.7.是正四面體的面內(nèi)一動點,為棱中點,記與平面成角為定值,若點的軌跡為一段拋物線,則()A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.9.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度10.等比數(shù)列若則()A.±6 B.6 C.-6 D.11.在三棱錐中,,,,,點到底面的距離為2,則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.12.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點,是它們的一個公共點,且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.14.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)15.如圖,已知,,為的中點,為以為直徑的圓上一動點,則的最小值是_____.16.在的二項展開式中,x的系數(shù)為________.(用數(shù)值作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的右頂點為,點在軸上,線段與橢圓的交點在第一象限,過點的直線與橢圓相切,且直線交軸于.設(shè)過點且平行于直線的直線交軸于點.(Ⅰ)當(dāng)為線段的中點時,求直線的方程;(Ⅱ)記的面積為,的面積為,求的最小值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點.(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.(l)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:(2)若直線與曲線C相交于A,B兩點,且.求直線的方程.20.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點為,過點的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請問的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由.21.(12分)如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動點,且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.22.(10分)已知拋物線E:y2=2px(p>0),焦點F到準(zhǔn)線的距離為3,拋物線E上的兩個動點A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.線段AB的垂直平分線與x軸交于點C.(1)求拋物線E的方程;(2)求△ABC面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān),故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個,故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力.2、B【解析】

根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當(dāng)按照進行分配時,則有種不同的方案;當(dāng)按照進行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化,還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想,屬于中檔題.3、D【解析】

,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因為x,,當(dāng)時,不妨取,,故時,不成立,當(dāng)時,不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D【點睛】本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.4、C【解析】

求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

作出三視圖所表示幾何體的直觀圖,可得直觀圖為直三棱柱,并且底面為等腰直角三角形,即可求得外接球的半徑,即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖,上下底面為腰長為的等腰直角三角形,三棱柱的高為4,其外接球半徑為,所以體積為.故選:C【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意球心的確定.6、B【解析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖,,設(shè)為的中點,為的中點,由圖可知過且與平行的平面為平面,所以直線即為直線,由題易知,的補角,分別為,設(shè)三棱柱的棱長為2,在中,,;在中,,;在中,,,.故選:B【點睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算,考查了學(xué)生的作圖,用圖能力,體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).7、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長為,建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點的坐標(biāo),求出面的法向量,設(shè)的坐標(biāo),求出向量,求出線面所成角的正弦值,再由角的范圍,結(jié)合為定值,得出為定值,且的軌跡為一段拋物線,所以求出坐標(biāo)的關(guān)系,進而求出正切值.【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長為,設(shè)為的中點,以為坐標(biāo)原點,以為軸,以為軸,過垂直于面的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則可得,,取的三等分點、如圖,則,,,,所以、、、、,由題意設(shè),,和都是等邊三角形,為的中點,,,,平面,為平面的一個法向量,因為與平面所成角為定值,則,由題意可得,因為的軌跡為一段拋物線且為定值,則也為定值,,可得,此時,則,.故選:B.【點睛】考查線面所成的角的求法,及正切值為定值時的情況,屬于中等題.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線對稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.9、D【解析】

通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.10、B【解析】

根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解,由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知,,所以,而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同,所以,故選:B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應(yīng)用,注意項的符號特征,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定,由此可知為三棱錐外接球的球心,在中,可以算出的一個表達(dá)式,在中,可以計算出的一個表達(dá)式,根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑,進而求出球的表面積.【詳解】取中點,由,可知:,為三棱錐外接球球心,過作平面,交平面于,連接交于,連接,,,,,,為的中點由球的性質(zhì)可知:平面,,且.設(shè),,,,在中,,即,解得:,三棱錐的外接球的半徑為:,三棱錐外接球的表面積為.故選:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題,求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.12、C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡,結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的半實軸長為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、40【解析】

先求出的展開式的通項,再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開式的通項為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開式中含x3y3的項為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為:40【點睛】本題主要考查二項式定理求指定項的系數(shù),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】由題意得,二項式展開式的通項為,令,則,所以得系數(shù)為.15、【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo),進而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示:則點,,,設(shè)點,所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因為,所以的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.16、-40【解析】

由題意,可先由公式得出二項展開式的通項,再令10-3r=1,得r=3即可得出x項的系數(shù)【詳解】的二項展開式的通項公式為,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二項展開式中x項的系數(shù)為.故答案為:-40.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的方程為(Ⅱ)【解析】

(1)設(shè)點,利用中點坐標(biāo)公式表示點B,并代入橢圓方程解得,從而求出直線的方程;(2)設(shè)直線的方程為:,表示點,然后聯(lián)立方程,利用相切得出,然后求出切點,再設(shè)出設(shè)直線的方程,求出點,利用兩點坐標(biāo),求出直線的方程,從而求出,最后利用以上已求點的坐標(biāo)表示面積,根據(jù)基本不等式求最值即可.【詳解】解:(Ⅰ)由橢圓,可得:由題意:設(shè)點,當(dāng)為的中點時,可得:代入橢圓方程,可得:所以:所以.故直線的方程為.(Ⅱ)由題意,直線的斜率存在且不為0,故設(shè)直線的方程為:令,得:,所以:.聯(lián)立:,消,整理得:.因為直線與橢圓相切,所以.即.設(shè),則,,所以.又直線直線,所以設(shè)直線的方程為:.令,得,所以:.因為,所以直線的方程為:.令,得,所以:.所以.又因為..所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立)所以.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線方程以及求橢圓中的最值問題,最值問題一般是把目標(biāo)式求出,結(jié)合目標(biāo)式特點選用合適的方法求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),本題利用了基本不等式求最小值的方法,運算量較大,屬于難題.18、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)取的中點,連接,易得,進而可證明四邊形為平行四邊形,即,從而可證明平面;(2)取中點,中點,連接,易證平面,平面,從而可知兩兩垂直,以點為坐標(biāo)原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,進而求出平面的法向量,及平面的法向量為,由,可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:如圖1,取的中點,連接.,,,,且,四邊形為平行四邊形,.又平面,平面,平面.(2)如圖2,取中點,中點,連接.,,平面平面,平面平面,平面,平面,兩兩垂直.以點為坐標(biāo)原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由,可得,在等腰梯形中,,易知,.則,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得.設(shè)平面的法向量為,則,取,得.因為,,,所以,所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的求法,利用空間向量法是解決本題的較好方法,屬于中檔題.19、(1)見解析(2)【解析】

(1)將消去參數(shù)t可得直線的普通方程,利用x=ρcosθ,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程.(2)利用直線被圓截得的弦長公式計算可得答案.【詳解】(1)由消去參數(shù)t得(),由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為:(2)由得,圓心為(1,0),半徑為2,圓心到直線的距離為,∴,即,整理得,∵,∴,,,所以直線l的方程為:.【點睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化,考查直線被圓截得的弦長公式的應(yīng)用,考查分析能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)是,【解析】

(1)根據(jù)及可得,再將點代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直線、、的斜率、、分別用表示,利用可求出,從而可確定點恒在一條直線上,結(jié)合圖形即可求出的面積.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為,所以,即,又,所以,①因為點在橢圓上,所以,②由①②解得,所以橢圓C的方程為.(1)可知,,可設(shè)所在直線的方程為,由,得,設(shè),,,則,,設(shè)直線、、的斜率分別為、、,因為三點共線,所以,即,所以,又,因為直線、、的斜率成等差數(shù)列,所以,即,化簡得,即點恒在一條直線上,又因為直線方程為,且,所以是定值.【點睛】本題主要考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題,屬于中檔題.21、(1)見解析;(II).【解析】

試題分析:(1)取中點,連結(jié),以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明為直角三角形;(2)設(shè),由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.試題解析:(I)取中點,連結(jié),依題意可知均為正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因為,所以,即,從而為直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,由可得點的坐標(biāo)所以,設(shè)平面的法向量為,則,即解得,令,得,顯然平面的一個法向量為,依題意,解得或(舍去),所以,當(dāng)時,二面角的余弦值為.法二:由(I)可知平面,所以,所以為二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,當(dāng)時,二面角的余弦值為.22、(1)y2=6x(2).【解析】

(1)根據(jù)拋物線定義,寫出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,列方程即可得解;(2)根據(jù)中點坐標(biāo)表示出|AB|和點到直線的距離,得出面積,利用均值不等式求解最大值.【詳解】(1)拋物線E/r/

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