2007年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(全國卷ⅱ)及解析

2007年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國卷Ⅱ）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．3．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i，則z=（）A．﹣2+iB．﹣2﹣iC．2﹣iD．2+i4．（5分）以下四個(gè)數(shù)中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln5．（5分）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若=2，A．B．C．﹣D．﹣D．ln2=，則λ=（）6．（5分）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A．3B．2C．1D．9．（5分）把函數(shù)y=ex的圖象按向量=（2，3）平移，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，則f（x）=（）A．ex﹣3+2B．ex+3﹣2C．ex﹣2+3D．ex+2﹣310．（5分）從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（）A．40種B．60種C．100種D．120種11．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為（）A．B．C．D．12．（5分）設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若++=，則的值為（）A．3B．4C．6D．9二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．14．（5分）在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（1，2），若ξ在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在（0，2）內(nèi)取值的概率為．15．（5分）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為cm2．16．（5分）已知數(shù)列的通項(xiàng)an=﹣5n+2，其前n項(xiàng)和為Sn，則三、解答題（共6小題，滿分70分）=．17．（10分）在△ABC中，已知內(nèi)角A=，邊BC=2，設(shè)內(nèi)角B=x，周長為y（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；（2）求y的最大值．18．（12分）從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．（12分）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)（1）求證：EF∥平面SAD（2）設(shè)SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大?。?0．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線：x﹣y=4相切（1）求圓O的方程（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍．21．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈（0，1），an=（1）求{an}的通項(xiàng)公式；，n=2，3，4…（2）設(shè)，求證bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)．22．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣x（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線方程（2）設(shè)a＞0，如果過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：﹣a＜b＜f（a）2007年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國卷Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通過誘導(dǎo)公式得sin210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案為D2．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．【分析】畫出y=|sinx|的圖象即可得到答案．【解答】解：根據(jù)y=|sinx|的圖象，如圖，函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是故選C．，3．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足A．﹣2+iB．﹣2﹣iC．2﹣iD．2+i=i，則z=（）【分析】將復(fù)數(shù)z設(shè)a+bi，（a，b∈R），代入復(fù)數(shù)方程，利用復(fù)數(shù)相等的條件解出復(fù)數(shù)z．【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，（a，b∈R）滿足故選C．=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，4．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）以下四個(gè)數(shù)中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．lnD．ln2【分析】根據(jù)lnx是以e＞1為底的單調(diào)遞增的對數(shù)函數(shù)，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴l(xiāng)n（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，∴最大的數(shù)是ln2，故選D．5．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若=2，=，則λ=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】本題要求字母系數(shù)，辦法是把表示出來，表示時(shí)所用的基底要和題目中所給的一致，即用和表示，畫圖觀察，從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊走到終點(diǎn)，把求出的結(jié)果和給的條件比較，寫出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)∵=2，=，∴=，∴λ=，故選A．6．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】首先不等式的分母可化為（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3個(gè)一次因式構(gòu)成．要使得原不等式大于0，可等同于3個(gè)因式的乘積大于0，再可根據(jù)串線法直接求解．【解答】解：依題意，原不等式等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，可根據(jù)串線法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，故答案應(yīng)選B．可化為7．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)正三棱柱及線面角的定義知，取A1C1的中點(diǎn)D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中點(diǎn)D1，連接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，則∠B1AD1是AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，∴，故選A．8．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）已知曲線A．3B．2C．1D．的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）【分析】根據(jù)斜率，對已知函數(shù)求導(dǎo)，解出橫坐標(biāo)，要注意自變量的取值區(qū)間．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（x0，y0）∵曲線∴y′=的一條切線的斜率為，﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合題意），即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3故選A．9．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）把函數(shù)y=ex的圖象按向量=（2，3）平移，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，則f（x）=（）A．ex﹣3+2B．ex+3﹣2C．ex﹣2+3D．ex+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是將函數(shù)的圖象向右平移h個(gè)單位，再向上平移k個(gè)單位．【解答】解：把函數(shù)y=ex的圖象按向量=（2，3）平移，即向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后得到y(tǒng)=f（x）的圖象，∴f（x）=ex﹣2+3，故選C．10．（5分）（2009?湖北）從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（）A．40種B．60種C．100種D．120種【分析】分2步進(jìn)行，首先從5人中抽出兩人在星期五參加活動(dòng)，再從剩下的3人中，抽取兩人安排在星期六、星期日參加活動(dòng)，分別計(jì)算其情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，首先從5人中抽出兩人在星期五參加活動(dòng)，有C52種情況，再從剩下的3人中，抽取兩人安排在星期六、星期日參加活動(dòng)，有A32種情況，則由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的選派方法共有C52A32=60種，故選B．11．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為（）的左、右焦點(diǎn)．若雙曲線上存在點(diǎn)A，A．B．C．D．【分析】由題設(shè)條件設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出雙曲線的離心率．【解答】解：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）雙曲線中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴離心率故選B．，12．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若，則的值為（）++=A．3B．4C．6D．9【分析】先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再依據(jù)案．=0，判斷點(diǎn)F是△ABC重心，進(jìn)而可求x1+x2+x3的值．最后根據(jù)拋物線的定義求得答【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），準(zhǔn)線方程：x=﹣1∵=，∴點(diǎn)F是△ABC重心則x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故選C二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為﹣42．【分析】將問題轉(zhuǎn)化成的常數(shù)項(xiàng)及含x﹣2的項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，﹣2求出常數(shù)項(xiàng)及含x﹣2的項(xiàng)，進(jìn)而相加可得答案．【解答】解：先求的展開式中常數(shù)項(xiàng)以及含x﹣2的項(xiàng)；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C84，含x﹣2的項(xiàng)為C85（﹣1）5x﹣2∴的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C84﹣2C85=﹣42故答案為﹣4214．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（1，2），若ξ在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.8．【分析】根據(jù)ξ服從正態(tài)分布N（1，2），得到正態(tài)分布圖象的對稱軸為x=1，根據(jù)在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，根據(jù)根據(jù)隨機(jī)變量ξ在（1，2）內(nèi)取值的概率與ξ在（0，1）內(nèi)取值的概率相同，得到隨機(jī)變量ξ在（0，2）內(nèi)取值的概率．【解答】解：∵測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（1，2），∴正態(tài)分布圖象的對稱軸為x=1，在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，∴隨機(jī)變量ξ在（1，2）內(nèi)取值的概率與ξ在（0，1）內(nèi)取值的概率相同，也為0.4，∴隨機(jī)變量ξ在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.8．故答案為：0.815．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為2+4cm2．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是棱柱的體積與表面積計(jì)算，由一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長為1cm，我們根據(jù)球的直徑等于棱柱的對角線長，我們可以求出棱柱的各棱的長度，進(jìn)而得到其表面積．【解答】解：由一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．正四棱柱的對角線的長為球的直徑，現(xiàn)正四棱柱底面邊長為1cm，設(shè)正四棱柱的高為h，∴2R=2=解得h=，，那么該棱柱的表面積為2+4cm2．故答案為：2+416．（5分）（2007?全國卷Ⅱ）已知數(shù)列的通項(xiàng)an=﹣5n+2，其前n項(xiàng)和為Sn，則=．【分析】由通項(xiàng)公式知該數(shù)列是等差數(shù)列，先求出首項(xiàng)和公差，然后求出其前n項(xiàng)和，由此能得到的值．【解答】解：∵數(shù)列的通項(xiàng)an=﹣5n+2，∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．∴其前n項(xiàng)和為Sn，則=﹣．故答案為：﹣．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2007?全國卷Ⅱ）在△ABC中，已知內(nèi)角A=，邊BC=2，設(shè)內(nèi)角B=x，周長為y（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；（2）求y的最大值．【分析】（1）由內(nèi)角A=，邊BC=2，設(shè)內(nèi)角B=x，周長為y，我們結(jié)合三角形的性質(zhì)，△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，△ABC的周長y=AB+BC+AC，我們可以結(jié)合正弦定理求出函數(shù)的解析式，及自變量的取值范圍．（2）要求三角函數(shù)的最值，我們要利用輔助角公式，將函數(shù)的解析式，化為正弦型函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的最值的求法進(jìn)行求解．【解答】解：（1）△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，由得．應(yīng)用正弦定理，知，．因?yàn)閥=AB+BC+AC，所以（2）∵=，，所以，當(dāng)，即時(shí)，y取得最大值．18．（12分）（2007?全國卷Ⅱ）從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P（B）．【分析】（1）有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品包括無二等品和恰有一件是二等品兩種情況，設(shè)出概率，列出等式，解出結(jié)果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品的對立事件是沒有二等品，用組合數(shù)列出結(jié)果．【解答】解：（1）記A0表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，A1表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”．則A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）記B0表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，則．若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．19．（12分）（2007?全國卷Ⅱ）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)（1）求證：EF∥平面SAD（2）設(shè)SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大?。痉治觥糠ㄒ唬海?）作FG∥DC交SD于點(diǎn)G，則G為SD的中點(diǎn)．要證EF∥平面SAD，只需證明EF平行平面SAD內(nèi)的直線AG即可．（2）取AG中點(diǎn)H，連接DH，說明∠DMH為二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大?。ǘ航⒖臻g直角坐標(biāo)系，平面SAD即可證明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本題．【解答】解：法一：（1）作FG∥DC交SD于點(diǎn)G，則G為SD的中點(diǎn)．連接故，又，為平行四邊形．EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨設(shè)DC=2，則SD=4，DG=2，△ADG為等腰直角三角形．取AG中點(diǎn)H，連接DH，則DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中點(diǎn)M，連接MH，則HM⊥EF．連接DM，則DM⊥EF．故∠DMH為二面角A﹣EF﹣D的平面角．所以二面角A﹣EF﹣D的大小為．法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．設(shè)A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中點(diǎn)，則．平面SAD，EF?平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨設(shè)A（1，0，0），則B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中點(diǎn)，，，又，，所以向量和的夾角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小為．20．（12分）（2007?全國卷Ⅱ）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線：x﹣y=4相切（1）求圓O的方程（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍．【分析】首先分析到題目（1）中圓是圓心在原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，由切線可直接求得半徑，即得到圓的方程．對于（2）根據(jù)圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，列出方程，再根據(jù)點(diǎn)P在圓內(nèi)求出取值范圍．【解答】解：（1）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線的距離，即．得圓O的方程為x2+y2=4．（2）不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，得，兩邊平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化簡整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故由此得y2＜1．所以的取值范圍為[﹣2，0）．21．（12分）（2007?全國卷Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)．【分析】（1）由題條件知，所以{1﹣an}是首項(xiàng)為1﹣a1，公比為的等比數(shù)列，由此可知（2）方法一：由題設(shè)條件知，故bn＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）=由此可知bn＜bn+1，n為正整數(shù)．方法二：由題設(shè)條件知，所以．由此可知bn＜bn+1，n為正整數(shù)．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣an}是首項(xiàng)為1﹣a1，公比為（2）方法一：的等比數(shù)列，得由（1）可知，故bn＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）==又由（1）知an＞0且an≠1，故bn+12﹣bn2＞0，因此bn＜bn+1，n為正整數(shù)．方法二：由（1）可知，因?yàn)?，所以．由an≠1可得，即兩邊開平方得．即bn＜bn+1，n為正整數(shù)．22．（12分）（2007?全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=x3﹣x（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線方程（2）設(shè)a＞0，如果過點(diǎn)（a，/