2022年秋高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.3等比數(shù)列5.3.1等比數(shù)列課件新人教B版選擇性必修第三冊

5.3.1等比數(shù)列第五章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達標課標要求1.理解等比數(shù)列的定義,并能利用定義判斷或證明一個數(shù)列是否為等比數(shù)列;2.掌握等比數(shù)列的通項公式和等比中項的概念;3.掌握等比數(shù)列的性質(zhì),并能利用其解決有關(guān)等比數(shù)列的問題;4.了解等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

等比數(shù)列的定義1.等比數(shù)列的概念一般地,如果數(shù)列{an}從

起,每一項與它的前一項之比都等于

,即

恒成立,則稱{an}為等比數(shù)列,其中q稱為等比數(shù)列的

.

2.等比數(shù)列的通項公式一般地,如果等比數(shù)列{an}的首項是a1,公比是q,那么其通項公式為

.

3.等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系第2項

同一個常數(shù)q公比an=a1qn-1名師點睛對等比數(shù)列的幾點說明(1)等比數(shù)列的每一項均不為0.(2)在等比數(shù)列{an}中,已知a1,n,q,an四個量中的三個,可以求得另一個量.(3)數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件是an=kqn,其中k,q都是不為0的常數(shù).過關(guān)自診1.已知在等比數(shù)列{an}中,,則a10=

.

2.在等比數(shù)列{an}中,你會用第m項am與公比q來表達{an}的通項公式嗎?提示

設(shè){an}的首項為a1,則am=a1qm-1,①an=a1qn-1,②3.下列數(shù)列中,哪些是等比數(shù)列?①-1,-2,-4,-8;③1,1,1,1.提示

①是首項為-1,公比為2的等比數(shù)列;②是首項為1,公比為-的等比數(shù)列;若常數(shù)列的各項不為零,則它也是等比數(shù)列,所以③是等比數(shù)列.

G2=xy過關(guān)自診A.1 B.-1 C.±1 D.2答案

C2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且an>0.若a5a7+2a6a8+a7a9=49,則a6+a8=

.

答案

7

解析∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,又an>0,∴a6+a8=7.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一等比數(shù)列的判定或證明規(guī)律方法

等比數(shù)列的判定方法(3)通項公式法:若數(shù)列的通項公式可寫成an=kqn(k,q均為不等于0的常數(shù),n∈N+),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.變式訓(xùn)練1下面四個數(shù)列:①1,1,2,4,8,16,32,64;③常數(shù)列a,a,…,a,…;其中一定是等比數(shù)列的是

.(填序號)

答案

④

解析

①不是等比數(shù)列;②不一定是等比數(shù)列,當{an}只有3項時,{an}是等比數(shù)列,當{an}的項數(shù)超過3項時,不一定;③不一定,若常數(shù)列是各項都為0的數(shù)列,它就不是等比數(shù)列,當常數(shù)列各項不為0時,是等比數(shù)列;④是等比數(shù)列.探究點二等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用【例2】

在等比數(shù)列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.(方法二)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.因為a3+a6=q(a2+a5),所以q=.由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.規(guī)律方法

等比數(shù)列基本運算的求解策略由等比數(shù)列的通項公式可知,若已知a1,q,n,an中的三個,便可通過建立方程或方程組求出另一個,這是解這類問題的基本思想方法.但對于具體問題,則應(yīng)具體觀察和分析,找到較為簡捷的解題方法,如整體思想、設(shè)而不求思想.同時還應(yīng)注意

的運用.變式探究將本例2(1)中的條件“a4=2,a7=8”改為“a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列”,結(jié)論又如何?探究點三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例3】

等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=18,則log3a1+log3a2+…+log3a10=(

)A.12 B.10 C.8 D.2+log35答案

B

解析

由題意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,得a5a6=a4a7=9,而log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·…·a10)=log3(a5a6)5=log395=log3310=10.規(guī)律方法

等比數(shù)列的主要性質(zhì)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,首項為a1,公比為q,則有如下結(jié)論:(1)兩個等比數(shù)列的積仍為等比數(shù)列;(2)在等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則有aman=apaq;若m+n=2k(m,n,k∈N+),則aman=;(3)數(shù)列{an}是有窮數(shù)列,則與首末兩項等距離的兩項的積相等,且等于首末兩項之積;(4)在等比數(shù)列{an}中,每隔k項取出一項,按原來的順序排列,所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列,公比為qk+1;(5)當m,n,p(m,n,p∈N+)成等差數(shù)列時,am,an,ap成等比數(shù)列.變式訓(xùn)練2已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=(

)答案

A

素養(yǎng)培優(yōu)an+1=pan+q(p≠1)型數(shù)列的構(gòu)造與證明【典例】

若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=3an+2,試說明數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式.解∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3an+3=3(an+1),則數(shù)列{an+1}是以a1+1=3為首項,3為公比的等比數(shù)列,∴an+1=3×3n-1=3n,∴an=3n-1.學(xué)以致用?隨堂檢測全達標1.給出下列說法:①若,則-a,b,-c成等比數(shù)列(abc≠0);②若b2=ac,則a,b,c成等比數(shù)列;③若an+1=anq(q為常數(shù)),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.其中一定正確的說法有(

)A.0個 B.1個

C.2個 D.3個答案

B解析

①顯然正確;②中當abc=0時不成立;③中當q=0時不成立.故選B.2.在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a5+a7=160,則a1=(

)A.0 B.1 C.2 D.4答案

C解析

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.∵a1+a3=10,a5+a7=160,∴a1=2.3.(2022四川峨眉第二中學(xué)高一期中)已知等比數(shù)列{an}中,a2,a9是方程x2-7x+10=0的兩根,則a4a7的值為(

)A.8 B.10 C.14 D.16答案

B解析

∵a2,a9是方程x2-7x+10=0的兩根,∴a2a9=10.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有a4a7=a2a9=10.故選B.4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=3Sn,則數(shù)列{an}的通項公式為

.

5.在兩數(shù)1,16之間插入3個數(shù),使這5個數(shù)成等比數(shù)列,則中間的數(shù)等于

.

答案

4

解析

設(shè)插入的三個數(shù)為a,b,c,則有b2=1×16=16.又b與1同號,∴b=4.6.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an+3.(1)求證: