2013-2014第二學期數理金融期末試卷

頁腳內容頁腳內容1413—14學年第二學期《數理金融學》期末考試試題（A）注意事項：1.適用班級：11數學與應用數學本1.本2,2013數學（升本）2.本試卷共1頁.滿分100分.3.考試時間120分鐘.4.考試方式：閉卷一、選擇題（每小題3分，共15分）1.某證券組合由X、Y、Z三種證券組成，它們的預期收益率分別為10%、16%、20%它們在組合中的比例分別為30%、30%、40%，則該證券組合的預期收益率為A15.3%B15.8%C14.7%D15.0%2．無風險收益率和市場期望收益率分別是0?06和0?12?根據CAPM模型，貝塔值為1?2的證券X的期望收益率為A0?06B0?144C0?12D0?1323．無風險收益率為0?07，市場期望收益率為0?15?證券X的預期收益率為0?12,貝塔值為1?3?那么你應該A買入X,因為它被高估了；B賣空X，因為它被高估了C賣空X,因為它被低估了；D買入X,因為它被低估了4?一個看跌期權在下面哪種情況下不會被執(zhí)行？A執(zhí)行價格比股票價格高；B執(zhí)行價格比股票價格低C執(zhí)行價格與股票價格相等；D看跌期權的價格高于看漲期權的價格5?假定IBM公司的股價是每股95美元?一張IBM公司4月份看漲期權的執(zhí)行價格為100美元，期權價格為5美元?忽略委托傭金，看漲期權的持有者將獲得一筆利潤，如果股價—A漲到104美元B跌到90美元C漲到107美元D跌到96美元二、填空題（每小題3分，共15分）1?風險厭惡型投資者的效用函數為2?設一投資者的效用函數為U（X）=-e-ax,則其絕對風險厭惡函數A（x）=3?均值-方差投資組合選擇模型是由提出的.4?可以在到期日前任何一天行使的期權稱之為5?考察下列兩項投資選擇：（1）風險資產組合40%的概率獲得15%的收益，60%的概率獲得5%的收益；（2）銀行存款收益率為6%;則風險投資的風險溢價是三、分析題（每小題15分，共30分）1?設某人面臨兩種工作，需要從中選擇出一種,其收入RR都是不確定的?第一種工作是在12私營公司里搞推銷，薪金較高?如果干得好，每月可掙得2000元；干得一般，每月就只能掙得1000元?假定他掙得2000元和掙得1000元的概率各為1/2?第二種工作是在國營商店當售貨員，每月工資1510元?但在國營商店營業(yè)狀況極差的情況下，每月就只能得到510元的基本工資收入?不過，一般情況下國營商店營業(yè)狀況不會極差，出現營業(yè)狀況極差情況的可能性只有1%,因此第二種工作獲得月收入1510元的可能性為99%?假設該人是風險厭惡者，這個人會選擇哪一種工作呢？請說明理由.2?經濟系統(tǒng)中有一只無風險資產與2只風險資產X,X?無風險利率為r，無風險收益為12R二1+r，風險資產X,X在時間0的價格分12別為v二v二1，在時期1有3個可能的狀態(tài)，12它們的收益矩陣為：Z=[312;224]t，試求正狀態(tài)定價向量、等價概率分布，并討論相應的套利機會.四、計算題（共15分）某個股票現價為40美元.已知在1個月后，股票價格為42美元或38美元?無風險年利率為12%（連續(xù)復利）?請用無套利原理說明，（1）執(zhí)行價格為39美元的1個月后到期的歐式看漲期權的價值為多少？（2）執(zhí)行價格為39美元的1個月后到期的歐式看跌期權的價值為多少？（3）驗證歐式看漲期權、看跌期權之間的平價關系.五、綜合題（共25分）假設你的初始財富稟賦為單位資金1,將全部用于投資風險資產，證券市場上有n種風險資產可供你選擇，風險資產的收益率為隨機向量X二（X,X,…,X）T,其期望收益率向量為12n卩二（卩，卩，…，卩）T，假設你是風險厭惡者,12n期望收益率水平為rp,目標是構建一投資組合w實現風險最小化，現在請利用所學知識，完成如下任務：（1）建立一個投資組合優(yōu)化數學模型；（2）求解最優(yōu)組合W；（3）求解最小化風險p2的數學表達式；（4）假設市場上只有3種風險資產可以供你選擇進行投資，其期望收益率向量為m=E（X）=（2,1,3）t，協(xié)方差矩陣為工=[100；020;004]，你的期望收益率為rp=2,請求解你此時的最優(yōu)投資組合W及面臨的風險p2?13—14學年第二學期《數理金融學》期末考試試題（B）注意事項：1.適用班級：11數學與應用數學本1、本2,13數學升本1、2。本試卷共1頁，滿分100分?？荚嚂r間120分鐘?？荚嚪绞剑骸伴]卷”。一、選擇題（每小題3分，共15分）1?公平賭博是指—_。A風險厭惡者不會參與。B是沒有風險溢價的風險投資。C是無風險投資。DA與B均正確。2?根據一種無風險資產和N種有風險資產作出的資本市場線是。A連接無風險利率和風險資產組合最小方差兩點的線。B連接無風險利率和有效邊界上預期收益最高的風險資產組合的線。C通過無風險利率那點和風險資產組合有效邊界相切的線。D通過無風險利率的水平線。3．投資分散化加強時，資產組合的方差會接近。A0B市場組合的方差C1D無窮大4．一張股票的看漲期權的持有者將會承受的最大損失等于。A看漲期權價格B市值減去看漲期權合約的價格C執(zhí)行價格減去市值D股價5?考察下列兩項投資選擇（1）風險資產組合40%的概率獲得15%的收益，60%的概率獲得5%的收益；（2）銀行存款利率6%的年收益。假若你投資100000美元于風險資產組合，則你的預期收益是。A40000美元B2500美元C9000美元D3000美元二、填空題（每小題3分，共15分）1?設h是一賭博，在未來有兩種可能的狀態(tài)或結果h,h，其中h發(fā)生的概率為p，h發(fā)生1212TOC\o"1-5"\h\z的概率為1p，則h是公平賭博的數學表達式為。2?“均值-方差”有效資產組合是這樣一個資產組合，對確定的方差具有，同時對確定的期望收益率水平有。3.證券市場線是指對任意資產組合XM,p由點所形成的軌跡?證券市場線方程為。4?設w=（w,w鬃w）t為一資產組合，若w滿12n足，則稱之為套利資產組合。5.如果無風險利率r=6%,E（X）=14%,E（X）=18%,則XfMpp的b=。三、簡答題（每小題10分，共20分）1?考慮3個資產A、B以及c。它們具有如下的風險特征：它們年收益率的標準差為50％，0值分別為0、1?5以及-1?5。另外，市場年組合收益率的均值為rM=12%，標準差為b二20%，無風險利率為4%。由CAPM公式，M計算這三個資產的風險溢價是多少?2?假設有兩種風險資產A和B。資產A：期望收益率r=10%，收益率方差b2二16%；AA資產B：期望收益率r二6%3%，收益率方差Bb2二4%。你愿意持有哪一種資產？請說明理B由。四、應用題（共15分）設企業(yè)I在0期將發(fā)行100股股票，企業(yè)在1期的價值為隨機變量V（1）。企業(yè)的資金都是通過發(fā)行這些股票而籌措的，以致于股票持有者有資格獲得V（1）=完全的收益流?最后I給出的有關數據是：|$1000p=l/4V（1）=1I|$800p=3/4cov（X,X）=0.045，1MJvar(X)=0.30r=0.10，E(X)=0.20。MM試用資本資產定價方程或風險自行調節(jié)定價公式求出該股票在0期的合理價值。五、計算題（第1題20分，第2題15分，共35分）1?某個股票現價為50美元。已知在兩個月后，股票價格為53美元或48美元。無風險年利率為10%（連續(xù)復利）。請用無套利原理說明，（1）執(zhí)行價格為49美元的2個月后到期的歐式看漲期權的價值為多少？（2）執(zhí)行價格為49美元的2個月后到期的歐式看跌期權的價值為多少？（3）驗證歐式看漲期權、看跌期權之間平價關系。2?某個股票現價為50美元。有連續(xù)2個周期，每個周期為3個月，在每個周期內的單步二叉樹的股價或者上漲6%或者下跌5%。利率為5%（連續(xù)復利）。求執(zhí)行價格為51美元，有效期為6個月的歐式看跌期權的價值為多少？2013-2014學年第二學期課程考試《數理金融學》試卷（A卷）參考答案及評分標準命題教師：熊洪斌考試班級：11應數本1、2，13數學（升本）1、2一、選擇題（每小題3分，共15分）

1.凹函數（或u〃（x）＜0）；2.a；3.馬科維茨;4.美式期權；5.3%.三、分析題（每小題15分，共30分）1?解：首先計算這兩種工作的預期月收入ER1和ER：2ER=0.5x2000+0.5x1000=1500（元）（2分）1ER=0.99x1510+0.01x510=1500（元）（2分）2可見，兩種工作月收入的期望值都為1500元，即ER二ER12再計算這兩種工作月收入的方差Q2和Q2:12g2=0.5x（2000-1500）2+0.5x（1000-1500）2=250000（3分）G2=0.99x（1510-1500）2+0.01x（510-1500）2=9900（3分）所以，兩種工作的標準差分別為g=500，1g=30“1?g〉g說明，第一種工作雖然收212入可高達2000元，但風險大（即方差大）；第二種工作雖然收入最高只有1510元，但風險?。捶讲钚。?（2分）ER二ERg〉g，由于該人是風險厭惡者,1212所以他會選擇第二種工作.（3分）1232.解：令正狀態(tài)定價向量j=（j,j,j）T（1分）123則：即：3則：即：ZTj（1,1>,aji

i=113+J+2=1!2+2/+4/=1十12杠1+j2+j3=1/R3分）1分）解得233?（3分）3分）1分）解得2341Rj=（j1,j2,j3了萬晶j=（j1,j2,j3了萬晶-＞（1分）當2vRv—時j＞0（i=1,2,3），市場無套利,3i因而存在等價概率分布律.（2分）等價概率分布律為：（3分）

P(i)十R42—吁R4護P(i)十R42—吁R4護-C0=1.((4分)[q?3在其他情形都會存在套利機會.(1分)(1-q)?0]1.8二8B1.782(美1.01四、計算題(共15分)(2)執(zhí)行價格K=39美元的看跌期權的二叉樹模型為：qZS二42S二40”u,r二12%,t二1/1201-q]S二38fd

qZC=0u1-q]C二1d所以看跌期權的價格為：第1步：從股票二叉圖得到風險中性概率q.由無套利原理知：e0.12,1/12?4042q+38(1-q)

10.4P0=Hi[q?0⑴q)?1]市B0396(美4分)從40?(10.01)=42q+38(1-q)我們得到2.4=42q-38q=4q所以q=0.6(3分)第2步：對衍生產品價值C和C求平均.ud(1)執(zhí)行價格為39美元的1個月后到期的歐式看漲期權的二叉樹模型為：CqZCu=3看漲期01-q]C二0d權的價格為：

(3)P+S=C+Ke-rT，P+S二0.396+40二40.396,C+Ke-rT二1.782(4分)五、綜合題(共25分)解：⑴對一定期望收益率r,選擇資產組合p使其總風險最小的數學模型為：11mms2=wt2p2s.tE(X)=mr妝rpp1T?w15分)2）應用標準的拉格朗日乘數法求解：s2=w*Tw*=—(r-—)2+—(2分)Dpcc令L(w,九,九)=iw》w十九(r-w'.p)十九(1-1w)1221p2(2分)24）由題意知，其中l(wèi)和l為待定參數，最優(yōu)解應滿足的一12階條件為：輊犏0犏犏犏020，所以，a00-1=犏0輊犏000.5

犏臌00000.251分)m=E(X)=(2,1,3)T工=aw-l?ml?10;勺WT12—=r-wt?m0;勺lp1工=1-1T?w0;勺l2(2分)邋27a=mT-1m=6.25=,b=mr411=7,D=ac-b2=544c=1Ta4分)=2得最優(yōu)解：w*=a-1(l?ml?1).12(2分)rc-l=-p——1D=5,l52a-r———p—D(2分)令邋?a=mT-1m,b=mT-11=1T-1m,c=1Ta-11,D=ac-b2rc-ba-rbl=—p,l=p—1D2D2分）最小方差資產組合方差為：1

w*=^邋.5，(1分)1?m-1?11(3,1,1y=(0.6,0.2,0.2)s2=w*Tawp=D(rp-—13)2+—=—cc52分)66分)2013?2014學年第二學期課程考試《數理金融學》試卷（B卷）參考答案及評分標準命題教師：熊洪斌

我們有r-r=0x0.08=0_AFr-r=1.5x0.08=12%_BFr—r=-1.5x0.08=-12%CF考試班級：11考試班級：11應數本1、2，13數學（升本）1、2二.填空題（每小題3分，共15分）2.解：因為r=10%,r=6%；ABs2=16%,s2=4%;（2分）AB令rr分別表示資產A,B的單位風險回報,AB則6%q=32%10%=6%q=32%4%BsB6分)E(E(XI)=r+EXM&Fcov(%1，XM)

ME(h)=ph+(1一p)h=012最大期望收益率，最小的方差.TOC\o"1-5"\h\z(b,E(X))；MpPE(X)-r=b(E(X)-r).pMpM1t?w0,1=(1,1鬃1)Tn1.5三、簡答題(每小題10分，共20分)1.解答：首先，市場組合的風險溢價是r-r=0.12-0.04=8%，(4分)MF

由^<rn可知，資產B每單位風險獲得的回AB報大于資產A每單位風險所獲得的回報，因此,更愿意持有資產B.（2分）四、應用題（共15分）解：應用證券市場線方程3分)

=0.10+氣瀘?°-0450.15=0.10+氣瀘?°-0450.15即普通股所需的收益率為15%，這就意味著市場將以15%的貼現E[V(1)]，以確定股票在I0期的市場價格，于是我們有13E[V(1)]=—?1000?800850$I44(4分)P=E(V,(1))/100=8.50?73901+r1.15■?(6分)五、計算題(第1題20分，第2題15分，共35分)1.解：股票的價格二叉樹模型為：qZS二53S二50勺u,r二10%,t=1/601-q]S二48fd(2分)第1步：從股票二叉圖得到風險中性概率q?由無套利原理知：e0.11/6?5053q+48(1-q)從50?(11/60)=53q+48(1-q)我們得到17/6=53q-48q=5q所以q=3.4/6(3分)第2步：對衍生產品價值C和C求平均?ud(1)執(zhí)行價格為49美元的2個月后到期的歐式看漲期權的二叉樹模型為：qZC二4Cu01-q]C=0d看漲期權的價格為：C0=爲⑷？4⑴q)?0]61/60136佟B竺=