重難點(diǎn)31 阿基米德三角形（舉一反三）（新高考專(zhuān)用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

重難點(diǎn)31阿基米德三角形【六大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1弦長(zhǎng)與弦所在方程問(wèn)題】 2【題型2定點(diǎn)問(wèn)題】 3【題型3切線(xiàn)垂直問(wèn)題】 4【題型4切線(xiàn)交點(diǎn)及其軌跡問(wèn)題】 5【題型5面積問(wèn)題】 7【題型6最值問(wèn)題】 81、阿基米德三角形阿基米德三角形是圓錐曲線(xiàn)的重要內(nèi)容，圓錐曲線(xiàn)是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，阿基米德三角形的考查頻率變高，在各類(lèi)題型中都有可能考查，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類(lèi)問(wèn)題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1阿基米德三角形】拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊AB上的中線(xiàn)MQ平行于拋物線(xiàn)的軸.性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)拋物線(xiàn)內(nèi)的定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線(xiàn)，該直線(xiàn)與以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行.性質(zhì)3若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊AB過(guò)定點(diǎn)(若直線(xiàn)l方程為：ax+by+c=0，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為.性質(zhì)4底邊AB為a的阿基米德三角形的面積最大值為.性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線(xiàn)，且阿基米德三角形的面積最小，最小值為p2.【題型1弦長(zhǎng)與弦所在方程問(wèn)題】【例1】（23-24高二下·河南開(kāi)封·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào)．拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)P，稱(chēng)△PAB為“阿基米德三角形”，當(dāng)線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；（2）△PAB為直角三角形，且PA⊥PB；（3）PF⊥AB．已知過(guò)拋物線(xiàn)x2=16y焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則直線(xiàn)AB的方程為（

）A．x+2y?8=0 B．x?2y+8=0C．x?4y+16=0 D．x+4y?16=0【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào)．拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)P，稱(chēng)三角形PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線(xiàn)C：x2=8y的焦點(diǎn)為F，過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線(xiàn)的方程為3x?3y+6=0，關(guān)于“阿基米德三角形”△PABA．AB=323C．PF⊥AB D．點(diǎn)P的坐標(biāo)為3【變式1-2】（23-24高二上·重慶·期末）阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).他研究拋物線(xiàn)的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩切線(xiàn)所圍成的三角形被稱(chēng)為“阿基米德三角形”．若拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)A,B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)P，則△PAB為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；（2）PA⊥PB；（3）PF⊥AB．若經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點(diǎn)P在直線(xiàn)x?y+6=0上，則直線(xiàn)AB的方程為（

A．x?y?2=0 B．x?2y?2=0C．x+y?2=0 D．x+2y?2=0【變式1-3】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）AB為拋物線(xiàn)x2=2pyp>0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2A．xB．底邊AB的直線(xiàn)方程為x0C．△AMB是直角三角形；D．△AMB面積的最小值為2p【題型2定點(diǎn)問(wèn)題】【例2】（23-24高二下·安徽·開(kāi)學(xué)考試）拋物線(xiàn)的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線(xiàn)所圍成的三角形被稱(chēng)為“阿基米德三角形”．對(duì)于拋物線(xiàn)C：y=ax2給出如下三個(gè)條件：①焦點(diǎn)為F0,12(1)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線(xiàn)C的方程；(2)已知△ABQ是（1）中拋物線(xiàn)的“阿基米德三角形”，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)C在弦AB兩端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q恰在此拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，試判斷直線(xiàn)AB是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2-1】（2024·湖南·三模）已知拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線(xiàn)與E交于A，B(1)求E的方程；(2)直線(xiàn)l:x=?4，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線(xiàn)PM,PN，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【變式2-2】（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓C過(guò)點(diǎn)P4,1，M2,3和N2,?1，且圓C與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)F(1)求圓C和拋物線(xiàn)E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線(xiàn)E的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)Q，試判斷直線(xiàn)QM與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)D是否為定點(diǎn)，如果是，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由．【變式2-3】（2024·遼寧·三模）設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為y2=4x，M為直線(xiàn)l:x=?m(m>0)上任意一點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)M作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B（(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為?1,32時(shí)，求過(guò)M，A，(2)求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)；(3)當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為直角三角形，若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，說(shuō)明理由；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型3切線(xiàn)垂直問(wèn)題】【例3】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知拋物線(xiàn)C的方程為x2=4y，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為0,?1，求切線(xiàn)PA,PB的方程；（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，求證：切線(xiàn)PA和PB互相垂直.【變式3-1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知P是拋物線(xiàn)C:y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB(1)若點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0，求此時(shí)拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)PA,PB的斜率分別為k1,k【變式3-2】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知拋物線(xiàn)C的方程為x2=4y，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)M是（1）求證：切線(xiàn)PA和PB互相垂直；（2）求證：直線(xiàn)PM與y軸平行；（3）求△PAB面積的最小值.【變式3-3】（23-24高三下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）已知橢圓C1:x23+y22=1，拋物線(xiàn)C2與橢圓C1有相同的焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C2的準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C2的兩條切線(xiàn)PA（1）求拋物線(xiàn)C2的方程及k（2）若直線(xiàn)AB交橢圓C1于C、D兩點(diǎn)，S1、S2分別是△PAB、△PCD【題型4切線(xiàn)交點(diǎn)及其軌跡問(wèn)題】【例4】（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)E：x2=2y，過(guò)點(diǎn)T1,1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)E交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)E在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)分別為l1和l2，已知l1與x軸交于點(diǎn)M，l2與x軸交于點(diǎn)N(1)證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上；(2)若△PMN面積為22，求點(diǎn)P(3)若P，M，N，T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【變式4-1】（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Px0,y0是拋物線(xiàn)y2=2pxp>0上任意一點(diǎn)，則在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為y0y=px+(1)當(dāng)a=6時(shí)，設(shè)這兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)（ⅰ）求證：由點(diǎn)A，B及拋物線(xiàn)C0的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡為一拋物線(xiàn)C（ⅱ）對(duì)C1再重復(fù)上述過(guò)程，又得一拋物線(xiàn)C2，以此類(lèi)推，設(shè)得到的拋物線(xiàn)序列為C1，C2，C3【變式4-2】（2024·廣西·二模）已知拋物線(xiàn)C:x2=y，過(guò)點(diǎn)E0,2作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)(1)證明：P在定直線(xiàn)上；(2)若F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，證明：∠PFA=∠PFB．【變式4-3】（2024·上?！と＃┮阎獟佄锞€(xiàn)Γ:x2=2y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)T1,1的直線(xiàn)l與Γ交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)Γ在點(diǎn)A、B處的切線(xiàn)分別為l1，l2，l1與x軸交于點(diǎn)M，l2與x(1)設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，求切線(xiàn)l1的斜率，并證明FM⊥(2)證明：點(diǎn)P必在直線(xiàn)y=x?1上；(3)若P、M、N、T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【題型5面積問(wèn)題】【例5】（23-24高三上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）我們把圓錐曲線(xiàn)的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形△PAB（P為兩切線(xiàn)的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線(xiàn)有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線(xiàn)l:y=kx?1與拋物線(xiàn)y2=4x交于A，B點(diǎn)，若AB=8，則拋物線(xiàn)的“阿基米德三角形”A．82 B．42 C．22【變式5-1】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F作拋物線(xiàn)的弦，與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l1，l2相交于點(diǎn)P，那么阿基米德三角形PAB滿(mǎn)足以下特性：①點(diǎn)P必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；②△PAB為直角三角形，且∠APB為直角；③PF⊥AB，已知P為拋物線(xiàn)y2=x的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，則阿基米德三角形A．12 B．14 C．2【變式5-2】（2024·河北秦皇島·二模）已知拋物線(xiàn)E：x2=2y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是x軸下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作E的兩條切線(xiàn)l1,l2，且(1)求證：F，P，M，N四點(diǎn)共圓；(2)過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線(xiàn)l，兩直線(xiàn)l1,l2分別交l于【變式5-3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知a=4,y,(1)求點(diǎn)Mx,y的軌跡Γ(2)由圓x2+y2=R2上任一點(diǎn)Nx0,y0處的切線(xiàn)方程為x0x+y0y=R2，類(lèi)比其推導(dǎo)思想可得拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)上任一點(diǎn)【題型6最值問(wèn)題】【例6】（23-24高三·云南昆明·階段練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作拋物線(xiàn)的弦，與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l1，l2相交于點(diǎn)P，△PAB又常被稱(chēng)作阿基米德三角形．△PABA．p23 B．p22 C．【變式6-1】（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）AB為拋物線(xiàn)x2=2pyp>0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2分別過(guò)A,BA．xB．底邊AB的直線(xiàn)方程為x0C．△AMB是直角三角形；D．△AMB面積的最小值為2p【變式6-2】（2024·云南曲靖·一模）已知斜率為1的直線(xiàn)l1交拋物線(xiàn)E:x2=2pyp>0于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB(1)求拋物線(xiàn)E的方程；(2)設(shè)拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l2與拋物線(xiàn)E交于M、N兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)M、N處作拋物線(xiàn)E的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)P，則△PMN的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)l【變式6-3】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0)，過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線(xiàn)l與C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l與y軸垂直時(shí)，OA⊥OB(1)求C的準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)若點(diǎn)A在第一象限，直線(xiàn)l的傾斜角為銳角，過(guò)點(diǎn)A作C的切線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)T，連接TB交C于另一點(diǎn)為D，直線(xiàn)AD與y軸交于點(diǎn)Q，求△APQ與△ADT面積之比的最大值.一、單選題1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓倠曲線(xiàn)中，稱(chēng)圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線(xiàn)C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，斜率為43的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn)，若△PMN為阿基米德三角形，則A．11 B．23 C．13 D．2．（2024·青海西寧·二模）拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線(xiàn)的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的斜率之積為定值．設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)，弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（A．p22 B．p2 C．23．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形，其中拋物線(xiàn)中的阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線(xiàn)的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線(xiàn)上．設(shè)拋物線(xiàn)y2=2pxp>0，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQA．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨著點(diǎn)A，B位置的變化，前三種情況都有可能4．（2024·河北·三模）拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線(xiàn)y2=4x，過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)的切線(xiàn)相交于點(diǎn)M，則下列說(shuō)法正確的是（A．M點(diǎn)必在直線(xiàn)x=?2上，且以AB為直徑的圓過(guò)M點(diǎn)B．M點(diǎn)必在直線(xiàn)x=?1上，但以ABC．M點(diǎn)必在直線(xiàn)x=?2上，但以AB為直徑的圓不過(guò)M點(diǎn)D．M點(diǎn)必在直線(xiàn)x=?1上，且以AB5．（23-24高三上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）我們把圓錐曲線(xiàn)的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形△PAB（P為兩切線(xiàn)的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線(xiàn)有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線(xiàn)l:y=kx?1與拋物線(xiàn)y2=4x交于A，B點(diǎn)，若AB=8，則拋物線(xiàn)的“阿基米德三角形”△PAB頂點(diǎn)A．±1 B．±2 C．±3 D．±6．（23-24高三·云南昆明·階段練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作拋物線(xiàn)的弦與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l1、l2相交于點(diǎn)P①P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；②AP⊥PB；③設(shè)Ax1,y1、Bx2④PF⊥AB；⑤PM平行于x軸.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)Γ:x2=8y的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)Γ在第一象限相切于點(diǎn)P，并且與直線(xiàn)y=?2和x軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)PF與拋物線(xiàn)Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為Q．過(guò)點(diǎn)B作BC//AF交PF于點(diǎn)C附加結(jié)論：拋物線(xiàn)上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為Ax1,y1，Bx2,y2，以A，B為切點(diǎn)的切線(xiàn)

定理：點(diǎn)P的坐標(biāo)為x1推論：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線(xiàn)內(nèi)定點(diǎn)C0,mm>0，則另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為A．5?1 B．2+5 C．3+58．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線(xiàn)的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形.如圖，△PAB為阿基米德三角形.拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,（1）若弦AB過(guò)焦點(diǎn)，則△ABP為直角三角形且∠APB=90（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是x1（3）△PAB的邊AB所在的直線(xiàn)方程為x1（4）△PAB的邊AB上的中線(xiàn)與y軸平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）二、多選題9．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線(xiàn)C:x2=8y，阿基米德三角形PAB，弦AB過(guò)C的焦點(diǎn)F，其中點(diǎn)AA．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為?2 B．C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=?2C．若AF=8，則AB的斜率為3 D．△PAB10．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）過(guò)拋物線(xiàn)C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)l1，l2，設(shè)l1，l2的交點(diǎn)為M，稱(chēng)△A．△AMB是直角三角形B．頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)C．MF是△AMB的高線(xiàn)D．△AMB面積的最小值為211．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）拋物線(xiàn)的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)形成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)A,B是拋物線(xiàn)C:x2=4y上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以Ax1,y1,BA．xB．若x1=2，則AC．存在點(diǎn)P，使得PAD．△PAB面積的最小值為4三、填空題12．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形．設(shè)拋物線(xiàn)為y2=4x，弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為13．（24-25高二上·上?！卧獪y(cè)試）我們把圓錐曲線(xiàn)的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A、B處的兩條切線(xiàn)所圍成的△PAB（P為兩切線(xiàn)的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線(xiàn)有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線(xiàn)l：y=kx?1與拋物線(xiàn)y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，若AB=8，則拋物線(xiàn)的“阿基米德三角形”△PAB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為14．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）圓錐曲線(xiàn)C的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A，B的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)P所圍成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲線(xiàn)C的方程為x2=4y，弦AB過(guò)C的焦點(diǎn)F，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，則有x0=x1四、解答題15．（23-24高三上·河北衡水·階段練習(xí)）著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式S=abπ，（a,b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)）為后續(xù)微積分的開(kāi)拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：x2(1)求C的面積；(2)若直線(xiàn)l:x+2y?3=0交C于A,B兩點(diǎn)，求AB．16．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)外一點(diǎn)P作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，我們稱(chēng)△PAB為拋物線(xiàn)的阿基米德三角形，弦AB與拋物線(xiàn)所圍成的封閉圖形稱(chēng)為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點(diǎn)P是圓Q:x2+(y+5)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，△PAB是拋物線(xiàn)Γ:

(1)求拋物線(xiàn)Γ的方程；(2)利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；(3)設(shè)D是“圓邊形”的拋