2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)124二面角課件新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

1.2.4

二面角1.2.4二面角核心素養(yǎng)

1.掌握二面角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解二面角的平面角的含義.(直觀想象、邏輯推理)3.會(huì)用向量法解決二面角的計(jì)算問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)核心素養(yǎng)1.掌握二面角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)思維脈絡(luò)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面的交角(二面角的平面角)為23°26'.黃道面與天球相交的大圓稱為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶,太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個(gè)星座,稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點(diǎn)起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、獅子座、雙子座等等,這便是星座的由來.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”,黃道激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1.二面角及其度量

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1.二面角及其度量激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA與平面BCDA所成二面角的大小為

.

答案:45°微思考兩個(gè)平面相交時(shí),它們所成角的取值范圍是什么?提示:(0°,90°]激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.用空間向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個(gè)法向量,設(shè)α1與α2所成角的大小為θ,則有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特別地,sinθ=sin<n1,n2>.(2)設(shè)二面角α-l-β為θ,平面α,β的法向量分別為n1,n2,激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.用空間向量求二面角的大小激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

利用公式cos<n1,n2>=(n1,n2分別為兩平面的法向量)進(jìn)行求解,注意<n1,n2>與二面角大小的關(guān)系,是相等還是互補(bǔ),需結(jié)合圖形進(jìn)行判斷.如圖(2)(4)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的補(bǔ)角;如圖(1)(3)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析利用公式cos<n1,n2>=激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷(1)二面角的大小就是該二面角兩個(gè)半平面的法向量的夾角.(

)(2)若二面角兩個(gè)半平面的法向量的夾角為120°,則該二面角的大小等于60°或120°.(

)答案:(1)×

(2)√激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的角的余弦值為(

)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥解析:答案:B激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥解析:答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測二面角的平面角問題例1如圖所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,從而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂線定理作出二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測二面角的平面角問題探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:∵PC⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC,交線為AC.作BD⊥AC于D點(diǎn),據(jù)面面垂直性質(zhì)定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E點(diǎn),連接BE,據(jù)三垂線定理,則BE⊥PA,從而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.設(shè)PC=a,依題意知△ABC是邊長為a的正三角形,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:∵PC⊥平面ABC,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法來求解.2.二面角的定義求法主要有:(1)由定義作出二面角的平面角;(2)利用三垂線定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,則垂面與二面角兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.本題解法使用了三垂探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1

如圖,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解:設(shè)平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面PAOB.又∵OA?平面PAOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四邊形PAOB中,∠AOB=120°,∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用空間向量求二面角例2如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用空間向量求二面角探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以O(shè)O1⊥AC,OO1⊥BD,因?yàn)锳C∩BD=O,所以O(shè)1O⊥底面ABCD.(2)解:因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等,所以四邊形ABCD為菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以O(shè)B,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2,因?yàn)椤螩BA=60°,所以O(shè)B=,OC=1,所以O(shè)(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2),平面CB1D的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛CC1A探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

利用向量方法求二面角的大小時(shí),多采用求法向量的方法,即求出兩個(gè)面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時(shí),要注意結(jié)合圖形觀察分析,確定二面角是銳二面角還是鈍二面角,不能將兩個(gè)法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用向量方法求二面角的探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

如果本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究如果本例條件不變,求二探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖所示,在幾何體S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD與平面SAB所成角的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖所示,在幾何體S-探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖,過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E,以D為原點(diǎn),以DC,DE,DA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,∴點(diǎn)S到y(tǒng)軸的距離為1,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖,過點(diǎn)D作DC的垂線交S探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測用逆向思維解決二面角問題案例

如圖,已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中點(diǎn),證明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值為,求四面體ADPQ的體積.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測用逆向思維解決二面角問題探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:由題設(shè)知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測歸納提升此類問題屬于結(jié)論探索類問題.解決此類問題要注意分析題目的整體結(jié)構(gòu),在此基礎(chǔ)上建立空間直角坐標(biāo)系,引入?yún)?shù),將所求問題先轉(zhuǎn)化為一個(gè)含參數(shù)的方程問題,參數(shù)確定后其他問題就迎刃而解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測歸納提升此類問題屬于結(jié)論探索類問探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.已知平面α內(nèi)有一個(gè)以AB為直徑的圓,PA⊥α,點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A,B),點(diǎn)D,E分別是點(diǎn)A在PC,PB上的射影,則(

)A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.已知平面α內(nèi)有一個(gè)以AB為直探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為(

)A.45°

B.135°C.45°或135°

D.90°答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已知兩平面的法向量分別為m=探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD.SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD與平面SAB所成角的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.在底面為直角梯形的四棱錐S-1.2.4

二面角1.2.4二面角核心素養(yǎng)

1.掌握二面角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解二面角的平面角的含義.(直觀想象、邏輯推理)3.會(huì)用向量法解決二面角的計(jì)算問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)核心素養(yǎng)1.掌握二面角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)思維脈絡(luò)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面的交角(二面角的平面角)為23°26'.黃道面與天球相交的大圓稱為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶,太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個(gè)星座,稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點(diǎn)起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、獅子座、雙子座等等,這便是星座的由來.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”,黃道激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1.二面角及其度量

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1.二面角及其度量激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA與平面BCDA所成二面角的大小為

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答案:45°微思考兩個(gè)平面相交時(shí),它們所成角的取值范圍是什么?提示:(0°,90°]激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.用空間向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個(gè)法向量,設(shè)α1與α2所成角的大小為θ,則有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特別地,sinθ=sin<n1,n2>.(2)設(shè)二面角α-l-β為θ,平面α,β的法向量分別為n1,n2,激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.用空間向量求二面角的大小激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

利用公式cos<n1,n2>=(n1,n2分別為兩平面的法向量)進(jìn)行求解,注意<n1,n2>與二面角大小的關(guān)系,是相等還是互補(bǔ),需結(jié)合圖形進(jìn)行判斷.如圖(2)(4)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的補(bǔ)角;如圖(1)(3)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析利用公式cos<n1,n2>=激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷(1)二面角的大小就是該二面角兩個(gè)半平面的法向量的夾角.(

)(2)若二面角兩個(gè)半平面的法向量的夾角為120°,則該二面角的大小等于60°或120°.(

)答案:(1)×

(2)√激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的角的余弦值為(

)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥解析:答案:B激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥解析:答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測二面角的平面角問題例1如圖所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,從而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂線定理作出二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測二面角的平面角問題探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:∵PC⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC,交線為AC.作BD⊥AC于D點(diǎn),據(jù)面面垂直性質(zhì)定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E點(diǎn),連接BE,據(jù)三垂線定理,則BE⊥PA,從而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.設(shè)PC=a,依題意知△ABC是邊長為a的正三角形,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:∵PC⊥平面ABC,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法來求解.2.二面角的定義求法主要有:(1)由定義作出二面角的平面角;(2)利用三垂線定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,則垂面與二面角兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.本題解法使用了三垂探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1

如圖,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解:設(shè)平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面PAOB.又∵OA?平面PAOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四邊形PAOB中,∠AOB=120°,∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用空間向量求二面角例2如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用空間向量求二面角探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以O(shè)O1⊥AC,OO1⊥BD,因?yàn)锳C∩BD=O,所以O(shè)1O⊥底面ABCD.(2)解:因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等,所以四邊形ABCD為菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以O(shè)B,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2,因?yàn)椤螩BA=60°,所以O(shè)B=,OC=1,所以O(shè)(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2),平面CB1D的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛CC1A探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

利用向量方法求二面角的大小時(shí),多采用求法向量的方法,即求出兩個(gè)面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時(shí),要注意結(jié)合圖形觀察分析,確定二面角是銳二面角還是鈍二面角,不能將兩個(gè)法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用向量方法求二面角的探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

如果本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究如果本例條件不變,求二探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖所示,在幾何體S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD與平面SAB所成角的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖所示,在幾何體S-探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖,過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E,以D為原點(diǎn),以DC,DE,DA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,∴點(diǎn)S到y(tǒng)軸的距離為1,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖,過點(diǎn)D作DC的垂線交S探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測用逆向思維解決二面角問題案例

如圖,已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中點(diǎn),證明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值為,求四面體ADPQ的體積.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測用逆向思維解決二面角問題探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:由題設(shè)知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以