第5章 平面問題有限元分析 等參單元課件

2022/11/5平面問題有限元分析-等參單元1第五章平面問題有限元分析

等參單元曹國華5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣5.3四節(jié)點矩形單元剛度矩陣5.4等參單元2022/11/2平面問題有限元分析-等參單元1第五章平面

雖然三角形單元具有很好的“適應(yīng)性”，幾乎任何復(fù)雜邊界的彈性體總可以劃分為三角形，并且三角形單元計算公式簡單，但精度較低。5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)三角形單元間雖然能夠保證位移連續(xù)，但應(yīng)力的精度較差，不能很好的反映彈性體內(nèi)應(yīng)力的準確分布規(guī)律。為了提高計算精度，準確反映彈性體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)，可以采用一些較精密的單元類型。

本節(jié)將介紹常用的矩形單元，它采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧螖?shù)更高的位移模式，因而可以更好地反映彈性體中的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。另外，對一些邊界比較規(guī)則且呈直線的平面結(jié)構(gòu)的分析，采用矩形單元較合適。這時單元總數(shù)可以減少，相應(yīng)的原始數(shù)據(jù)準備工作和單元特征計算工作均可節(jié)省。2022/11/52平面問題有限元分析-等參單元雖然三角形單元具有很好的“適應(yīng)性”，幾乎任何如圖所示的矩形單元，不失一般性，令矩形單元的長、寬分別為2a、2b。矩形單元有4個節(jié)點，共8個自由度，即共有8個節(jié)點位移，采用類似三角形單元的分析方法，同樣可以完成對矩形單元的力學(xué)特性分析。5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/53平面問題有限元分析-等參單元如圖所示的矩形單元，不失一般性，令矩形單元的長、這里引入一個局部坐標系、，這樣可以推出比較簡潔的結(jié)果。如圖所示，取矩形單元的形心o為局部坐標系的原點，和軸分別與整體坐標軸x和y平行，兩坐標系存在有以下的坐標變換關(guān)系式中：、——矩形形心處坐標。矩形形心處坐標以及矩形長、寬可由下式計算5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/54平面問題有限元分析-等參單元這里引入一個局部坐標系、，這樣可以推出比較5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)在局部坐標系中，節(jié)點i的坐標是，其值分別為±1。如節(jié)點1在局部坐標系下的坐標為（－1，－1）。2022/11/55平面問題有限元分析-等參單元5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-由于矩形有4個節(jié)點，共8個自由度，可以選擇有8個待定參數(shù)的位移模式，如下該函數(shù)稱為雙線性函數(shù)。將節(jié)點的局部坐標值代入上式，可列出四個節(jié)點處的位移分量，即兩組四元聯(lián)立方程，由此可求得位移模式中的8個未知參數(shù)1，2，…，85.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/56平面問題有限元分析-等參單元由于矩形有4個節(jié)點，共8個自由度，可以選擇有2022/11/57平面問題有限元分析-等參單元3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/27平面問題有限元分析-等參單元3(1,1)求出α1,α2,α3,α4；α

5,α

6,α7,α85.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/58平面問題有限元分析-等參單元求出α1,α2,α3,α4；α5,α6,α7式中：——矩形單元的形函數(shù)，i＝1，2，3，4；——形函數(shù)矩陣；——單元節(jié)點位移列陣，，i＝1，2，3，4。5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2022/11/59平面問題有限元分析-等參單元式中：——矩形單元的形函數(shù)，i＝1，2，3，4；——形（i＝1，2，3，4）形函數(shù)的表達式為5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2022/11/510平面問題有限元分析-等參單元（i＝1，2，3，4）形函數(shù)的表達式為5.1四節(jié)點矩形引入符號，，i＝1，2，3，4，則上式可以統(tǒng)一寫為可以看出，矩形單元的形函數(shù)具有和三角形單元形函數(shù)同樣的性質(zhì)，即：形函數(shù)在各單元節(jié)點上的值，具有“本點是1、它點為零”的性質(zhì)；在單元內(nèi)任意點上，四個形函數(shù)之和等于1；單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點坐標有關(guān)。有關(guān)證明過程比較簡單，請自行推導(dǎo)。5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/511平面問題有限元分析-等參單元引入符號，有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程求出單元內(nèi)任意點的應(yīng)變，將位移代入幾何方程，得式中的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣的子塊（i＝1，2，3，4）為5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/512平面問題有限元分析-等參單元有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程求出單元5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/513平面問題有限元分析-等參單元5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/213平面求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變代入物理方程，便可推導(dǎo)出以節(jié)點位移表示的應(yīng)力，如下式中，應(yīng)力矩陣為其子塊（i＝1，2，3，4）為5.2應(yīng)四節(jié)點矩形單元變與應(yīng)力矩陣2022/11/514平面問題有限元分析-等參單元求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變代入物理方程由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，四邊形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)切螁卧捎玫木€性位移模式增添了項（即相當(dāng)于xy項），把這種位移模式稱為雙線性模式。在這種模式下，單元內(nèi)的應(yīng)變分量將不再是常量，這一點可以從的表達式中看出。另外四邊形單元的位移模式中的與三角形單元相同，它反映了剛體位移和常應(yīng)變，而且在單元的邊界上(=±1或

=±1)，位移是按線性變化的，顯然在兩個相鄰單元的公共邊界上，其位移是連續(xù)的。5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/515平面問題有限元分析-等參單元由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，四邊形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)蓡卧膽?yīng)力矩陣表達式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)力分量也都不是常量。正應(yīng)力、和剪應(yīng)力均沿、兩個方向線性變化，即沿x、y兩個方向線性變化。正因為如此，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點時，矩形單元的精度要比常應(yīng)變?nèi)切螁卧木雀?。但是，矩形單元也有一些明顯的缺點，矩形單元不能適應(yīng)斜交的邊界和曲線邊界，不便于對不同部位采用不同大小的單元，以便提高有限元分析計算的效率和精度。5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/516平面問題有限元分析-等參單元由單元的應(yīng)力矩陣表達式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)矩形單元剛度矩陣的推導(dǎo)過程與三節(jié)點三角形單元類似，即，由前文可知的推導(dǎo)過程與形函數(shù)的具體表達形式、節(jié)點個數(shù)均無關(guān)，該表達式具有普遍意義。若單元厚度t為常量，則可以進一步表示為將單元剛度矩陣寫成子塊的形式，如下5.3四節(jié)點矩形單元剛度矩陣2022/11/517平面問題有限元分析-等參單元矩形單元剛度矩陣的推導(dǎo)過程與三節(jié)點三角形單元類似，即上式中每一個子塊矩陣均為2行×2列，單元剛度矩陣中的子塊矩陣的表達式為

（r、s＝1，2，3，4）將應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣子塊和彈性矩陣，代入上式，得5.3四節(jié)點矩形單元剛度矩陣2022/11/518平面問題有限元分析-等參單元上式中每一個子塊矩陣均為2行×2列，單元剛度矩陣式中：（r、s＝1，2，3，4）5.3四節(jié)點矩形單元剛度矩陣2022/11/519平面問題有限元分析-等參單元式中：（r、s＝1，2，3，4）5.3四節(jié)點矩形單元剛度例如圖所示，該模型中有兩個四邊形單元，彈性模量為＝210GPa，厚度為＝0.025m，泊松比＝0.3，＝1kN，求單元所受應(yīng)力。算例2022/11/520平面問題有限元分析-等參單元例如圖所示，該模型中有兩個四邊形單元解：單元①所對應(yīng)的節(jié)點為2、4、3、1，單元②所對應(yīng)的節(jié)點為4、6、5、3。在有限元分析過程中，首先求解單元①和②的剛度矩陣；然后組裝整體剛度矩陣，組裝的過程同三角形單元，此處不再給出；最后引入邊界條件（，＝0）并結(jié)合受力情況，求得整體節(jié)點位移列陣＝10-5×{0，0，0，0，0.1162，-0.1674，-0.1149，-0.1628，0.1514，-0.4707，-0.1568，-0.4978}T。算例2022/11/521平面問題有限元分析-等參單元解：單元①所對應(yīng)的節(jié)點為2、4、3、1，單元②所對應(yīng)的解：為了求解單元應(yīng)力，需要先求得每個單元所對應(yīng)的節(jié)點位移列陣，結(jié)合單元的節(jié)點編號，可從整體位移列陣中提取單元①和單元②的位移列陣，如下＝10-5×{0，0，-0.1149，-0.1628，0.1162，-0.1674，0，0}T＝10-5×{-0.1149，-0.1628，-0.1568，-0.4978，0.1514，-0.4707，0.1162，-0.1674}T算例注意：整體節(jié)點位移列陣是按照節(jié)點編號由小到大排列的，而單元位移列陣是按照單元節(jié)點編號排列的，如單元①所對應(yīng)的節(jié)點為2、4、3、1，則單元①的位移列陣中的前兩個數(shù)則表示節(jié)點2的x和y方向位移。2022/11/522平面問題有限元分析-等參單元解：為了求解單元應(yīng)力，需要先求得每個單元所對應(yīng)的節(jié)點位將單元①和單元②的位移列陣代入應(yīng)力矩陣，可求得單元①和單元②的應(yīng)力，如下算例2022/11/523平面問題有限元分析-等參單元將單元①和單元②的位移列陣代入應(yīng)力矩陣，可求得單元①和通過以上兩式便可以求得單元①和單元②內(nèi)任意點的應(yīng)力，以單元①為例，若取，，則表示單元①的13邊中點處的應(yīng)力；若取，，則表示24邊中點處的應(yīng)力。若計算單元形心處的應(yīng)力，則取，為通過分析結(jié)果可知，單元內(nèi)任意點的應(yīng)力是坐標的函數(shù)，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點時，矩形單元的精度顯然要高于常應(yīng)變?nèi)切螁卧木?。算?022/11/524平面問題有限元分析-等參單元通過以上兩式便可以求得單元①和單元②內(nèi)任意點等參元是目前大型有限元程序中應(yīng)用最廣泛的單元，它不僅能運用于各種曲線邊界，而且能夠構(gòu)造出高精度的位移函數(shù)，所以廣泛地在一維、二維和三維的各類問題中應(yīng)用。本章以平面問題為例介紹等參元的計算方法。地球表面上的一點可由畫在地球表面的經(jīng)線和緯線來確定，即線。此坐標稱自然坐標。其與直角坐標間的變換關(guān)系為自然坐標及其坐標變換oRzyx5.4等參單元2022/11/525平面問題有限元分析-等參單元等參元是目前大型有限元程序中應(yīng)用最廣泛的單元，二維單元的坐標變換(平面圖形變換)1）整體坐標和局部坐標2）變換函數(shù)－插值函數(shù)由坐標變換的性質(zhì)，如能找到將圖（b）中的正方形映射到（a）中的任意直邊四邊形的變換式，則該變換式就是單元局部坐標與整體坐標的變換式（變換函數(shù)），現(xiàn)取插值函數(shù)如下：坐標變換與等參元的概念3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)局部坐標/自然坐標式中5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點）整體坐標0xy3412圖（b）圖（a）2022/11/526平面問題有限元分析-等參單元二維單元的坐標變換(平面圖形變換)由坐標變換的形狀函數(shù)：5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點）2022/11/527平面問題有限元分析-等參單元形狀函數(shù)：5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點）202求出α1,α2,α3,α4；α

5,α

6,α7,α85.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/528平面問題有限元分析-等參單元求出α1,α2,α3,α4；α5,α6,α75.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)局部坐標/自然坐標整體坐標0xy34125.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-式（Δ）是形狀函數(shù)，與位移函數(shù)一樣，在i節(jié)點，Ni=1,在其它節(jié)點，Ni=0，該形狀函數(shù)與位移函數(shù)一樣求解。為簡便起見，將（Δ）式寫成如下通用公式5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點）2022/11/530平面問題有限元分析-等參單元式（Δ）是形狀函數(shù)，與位移函數(shù)一樣，在i節(jié)點，位移函數(shù)：5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點）2022/11/531平面問題有限元分析-等參單元位移函數(shù)：5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點）202坐標變換函數(shù)與位移函數(shù)采用相同的形狀函數(shù)5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點）對比節(jié)點位移個數(shù)與節(jié)點坐標個數(shù)一樣，在選取單元的位移函數(shù)時，可取單元的自然坐標作為自變量，取圖形（坐標）變換式的形狀函數(shù)為位移函數(shù)的形狀函數(shù)。2022/11/532平面問題有限元分析-等參單元坐標變換函數(shù)與位移函數(shù)采用相同的形狀函數(shù)5.4等參單元-任意像上述這樣，坐標變換與位移函數(shù)采用相同的節(jié)點，且取相同的插值函數(shù)（形狀函數(shù)）的變換叫做等參變換。這種單元叫等參元。在等參元的坐標變換中，局部坐標（自然坐標）中的正方形或立方體稱為母單元，而整體坐標內(nèi)曲邊形稱子單元。5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點）2022/11/533平面問題有限元分析-等參單元MATHCAD例子像上述這樣，坐標變換與位移函數(shù)采用相同的節(jié)點作業(yè)：

采用MATHCAD求解如圖所示，該模型中有兩個四邊形單元，彈性模量為＝210GPa，厚度為＝0.025m，泊松比＝0.3，＝1kN，求單元所受應(yīng)力。2022/11/534平面問題有限元分析-等參單元作業(yè)：采用MATHCAD求解如圖所示，2022/11/5平面問題有限元分析-等參單元35第五章平面問題有限元分析

等參單元曹國華5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣5.3四節(jié)點矩形單元剛度矩陣5.4等參單元2022/11/2平面問題有限元分析-等參單元1第五章平面

雖然三角形單元具有很好的“適應(yīng)性”，幾乎任何復(fù)雜邊界的彈性體總可以劃分為三角形，并且三角形單元計算公式簡單，但精度較低。5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)三角形單元間雖然能夠保證位移連續(xù)，但應(yīng)力的精度較差，不能很好的反映彈性體內(nèi)應(yīng)力的準確分布規(guī)律。為了提高計算精度，準確反映彈性體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)，可以采用一些較精密的單元類型。

本節(jié)將介紹常用的矩形單元，它采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧螖?shù)更高的位移模式，因而可以更好地反映彈性體中的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。另外，對一些邊界比較規(guī)則且呈直線的平面結(jié)構(gòu)的分析，采用矩形單元較合適。這時單元總數(shù)可以減少，相應(yīng)的原始數(shù)據(jù)準備工作和單元特征計算工作均可節(jié)省。2022/11/536平面問題有限元分析-等參單元雖然三角形單元具有很好的“適應(yīng)性”，幾乎任何如圖所示的矩形單元，不失一般性，令矩形單元的長、寬分別為2a、2b。矩形單元有4個節(jié)點，共8個自由度，即共有8個節(jié)點位移，采用類似三角形單元的分析方法，同樣可以完成對矩形單元的力學(xué)特性分析。5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/537平面問題有限元分析-等參單元如圖所示的矩形單元，不失一般性，令矩形單元的長、這里引入一個局部坐標系、，這樣可以推出比較簡潔的結(jié)果。如圖所示，取矩形單元的形心o為局部坐標系的原點，和軸分別與整體坐標軸x和y平行，兩坐標系存在有以下的坐標變換關(guān)系式中：、——矩形形心處坐標。矩形形心處坐標以及矩形長、寬可由下式計算5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/538平面問題有限元分析-等參單元這里引入一個局部坐標系、，這樣可以推出比較5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)在局部坐標系中，節(jié)點i的坐標是，其值分別為±1。如節(jié)點1在局部坐標系下的坐標為（－1，－1）。2022/11/539平面問題有限元分析-等參單元5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-由于矩形有4個節(jié)點，共8個自由度，可以選擇有8個待定參數(shù)的位移模式，如下該函數(shù)稱為雙線性函數(shù)。將節(jié)點的局部坐標值代入上式，可列出四個節(jié)點處的位移分量，即兩組四元聯(lián)立方程，由此可求得位移模式中的8個未知參數(shù)1，2，…，85.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/540平面問題有限元分析-等參單元由于矩形有4個節(jié)點，共8個自由度，可以選擇有2022/11/541平面問題有限元分析-等參單元3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/27平面問題有限元分析-等參單元3(1,1)求出α1,α2,α3,α4；α

5,α

6,α7,α85.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/542平面問題有限元分析-等參單元求出α1,α2,α3,α4；α5,α6,α7式中：——矩形單元的形函數(shù)，i＝1，2，3，4；——形函數(shù)矩陣；——單元節(jié)點位移列陣，，i＝1，2，3，4。5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2022/11/543平面問題有限元分析-等參單元式中：——矩形單元的形函數(shù)，i＝1，2，3，4；——形（i＝1，2，3，4）形函數(shù)的表達式為5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2022/11/544平面問題有限元分析-等參單元（i＝1，2，3，4）形函數(shù)的表達式為5.1四節(jié)點矩形引入符號，，i＝1，2，3，4，則上式可以統(tǒng)一寫為可以看出，矩形單元的形函數(shù)具有和三角形單元形函數(shù)同樣的性質(zhì)，即：形函數(shù)在各單元節(jié)點上的值，具有“本點是1、它點為零”的性質(zhì)；在單元內(nèi)任意點上，四個形函數(shù)之和等于1；單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點坐標有關(guān)。有關(guān)證明過程比較簡單，請自行推導(dǎo)。5.1四節(jié)點矩形單元位移函數(shù)2022/11/545平面問題有限元分析-等參單元引入符號，有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程求出單元內(nèi)任意點的應(yīng)變，將位移代入幾何方程，得式中的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣的子塊（i＝1，2，3，4）為5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/546平面問題有限元分析-等參單元有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程求出單元5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/547平面問題有限元分析-等參單元5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/213平面求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變代入物理方程，便可推導(dǎo)出以節(jié)點位移表示的應(yīng)力，如下式中，應(yīng)力矩陣為其子塊（i＝1，2，3，4）為5.2應(yīng)四節(jié)點矩形單元變與應(yīng)力矩陣2022/11/548平面問題有限元分析-等參單元求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變代入物理方程由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，四邊形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)切螁卧捎玫木€性位移模式增添了項（即相當(dāng)于xy項），把這種位移模式稱為雙線性模式。在這種模式下，單元內(nèi)的應(yīng)變分量將不再是常量，這一點可以從的表達式中看出。另外四邊形單元的位移模式中的與三角形單元相同，它反映了剛體位移和常應(yīng)變，而且在單元的邊界上(=±1或

=±1)，位移是按線性變化的，顯然在兩個相鄰單元的公共邊界上，其位移是連續(xù)的。5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/549平面問題有限元分析-等參單元由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，四邊形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)蓡卧膽?yīng)力矩陣表達式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)力分量也都不是常量。正應(yīng)力、和剪應(yīng)力均沿、兩個方向線性變化，即沿x、y兩個方向線性變化。正因為如此，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點時，矩形單元的精度要比常應(yīng)變?nèi)切螁卧木雀?。但是，矩形單元也有一些明顯的缺點，矩形單元不能適應(yīng)斜交的邊界和曲線邊界，不便于對不同部位采用不同大小的單元，以便提高有限元分析計算的效率和精度。5.2四節(jié)點矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/550平面問題有限元分析-等參單元由單元的應(yīng)力矩陣表達式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)矩形單元剛度矩陣的推導(dǎo)過程與三節(jié)點三角形單元類似，即，由前文可知的推導(dǎo)過程與形函數(shù)的具體表達形式、節(jié)點個數(shù)均無關(guān)，該表達式具有普遍意義。若單元厚度t為常量，則可以進一步表示為將單元剛度矩陣寫成子塊的形式，如下5.3四節(jié)點矩形單元剛度矩陣2022/11/551平面問題有限元分析-等參單元矩形單元剛度矩陣的推導(dǎo)過程與三節(jié)點三角形單元類似，即上式中每一個子塊矩陣均為2行×2列，單元剛度矩陣中的子塊矩陣的表達式為

（r、s＝1，2，3，4）將應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣子塊和彈性矩陣，代入上式，得5.3四節(jié)點矩形單元剛度矩陣2022/11/552平面問題有限元分析-等參單元上式中每一個子塊矩陣均為2行×2列，單元剛度矩陣式中：（r、s＝1，2，3，4）5.3四節(jié)點矩形單元剛度矩陣2022/11/553平面問題有限元分析-等參單元式中：（r、s＝1，2，3，4）5.3四節(jié)點矩形單元剛度例如圖所示，該模型中有兩個四邊形單元，彈性模量為＝210GPa，厚度為＝0.025m，泊松比＝0.3，＝1kN，求單元所受應(yīng)力。算例2022/11/554平面問題有限元分析-等參單元例如圖所示，該模型中有兩個四邊形單元解：單元①所對應(yīng)的節(jié)點為2、4、3、1，單元②所對應(yīng)的節(jié)點為4、6、5、3。在有限元分析過程中，首先求解單元①和②的剛度矩陣；然后組裝整體剛度矩陣，組裝的過程同三角形單元，此處不再給出；最后引入邊界條件（，＝0）并結(jié)合受力情況，求得整體節(jié)點位移列陣＝10-5×{0，0，0，0，0.1162，-0.1674，-0.1149，-0.1628，0.1514，-0.4707，-0.1568，-0.4978}T。算例2022/11/555平面問題有限元分析-等參單元解：單元①所對應(yīng)的節(jié)點為2、4、3、1，單元②所對應(yīng)的解：為了求解單元應(yīng)力，需要先求得每個單元所對應(yīng)的節(jié)點位移列陣，結(jié)合單元的節(jié)點編號，可從整體位移列陣中提取單元①和單元②的位移列陣，如下＝10-5×{0，0，-0.1149，-0.1628，0.1162，-0.1674，0，0}T＝10-5×{-0.1149，-0.1628，-0.1568，-0.4978，0.1514，-0.4707，0.1162，-0.1674}T算例注意：整體節(jié)點位移列陣是按照節(jié)點編號由小到大排列的，而單元位移列陣是按照單元節(jié)點編號排列的，如單元①所對應(yīng)的節(jié)點為2、4、3、1，則單元①的位移列陣中的前兩個數(shù)則表示節(jié)點2的x和y方向位移。2022/11/556平面問題有限元分析-等參單元解：為了求解單元應(yīng)力，需要先求得每個單元所對應(yīng)的節(jié)點位將單元①和單元②的位移列陣代入應(yīng)力矩陣，可求得單元①和單元②的應(yīng)力，如下算例2022/11/557平面問題有限元分析-等參單元將單元①和單元②的位移列陣代入應(yīng)力矩陣，可求得單元①和通過以上兩式便可以求得單元①和單元②內(nèi)任意點的應(yīng)力，以單元①為例，若取，，則表示單元①的13邊中點處的應(yīng)力；若取，，則表示24邊中點處的應(yīng)力。若計算單元形心處的應(yīng)力，則取，為通過分析結(jié)果可知，單元內(nèi)任意點的應(yīng)力是坐標的函數(shù)，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點時，矩形單元的精度顯然要高于常應(yīng)變?nèi)切螁卧木取Ｋ憷?022/11/558平面問題有限元分析-等參單元通過以上兩式便可以求得單元①和單元②內(nèi)任意點等參元是目前大型有限元程序中應(yīng)用最廣泛的單元，它不僅能運用于各種曲線邊界，而且能夠構(gòu)造出高精度的位移函數(shù)，所以廣泛地在一維、二維和三維的各類問題中應(yīng)用。本章以平面問題為例介紹等參元的計算方法。地球表面上的一點可由畫在地球表面的經(jīng)線和緯線來確定，即線。此坐標稱自然坐標。其與直角坐標間的變換關(guān)系為自然坐標及其坐標變換oRzyx5.4等參單元2022/11/559平面問題有限元分析-等參單元等參元是目前大型有限元程序中應(yīng)用最廣泛的單元，二維單元的坐標變換(平面圖形變換)1）整體坐標和局部坐標2）變換函數(shù)－插值函數(shù)由坐標變換的性質(zhì)，如能找到將圖（b）中的正方形映射到（a）中的任意直邊四邊形的變換式，則該變換式就是單元局部坐標與整體坐標的變換式（變換函數(shù)），現(xiàn)取插值函數(shù)如下：坐標變換與等參元的概念3(1,1)2(1,-1)1(