北師大版高中數學必修4第一章周期現象課件

1.4.2

正弦函數、余弦函數的性質(一)第一章

§1.4

三角函數的圖象與性質1.4.2正弦函數、余弦函數的性質(一)第一章§1.4學習目標1.了解周期函數、周期、最小正周期的定義.2.會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函數y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會判斷簡單三角函數的奇偶性.學習目標題型探究問題導學內容索引當堂訓練題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學問題導學思考1

知識點一函數的周期性如果函數f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期嗎？答案答案不一定.必須滿足當x取定義域內的每一個值時，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以說3是f(x)的周期.思考2

所有的函數都具有周期性嗎？答案不是.只有同時符合周期函數定義中的兩個條件的函數才具有周期性.思考1知識點一函數的周期性如果函數f(x)滿足f(x＋3思考3

周期函數都有最小正周期嗎？答案答案周期函數不一定存在最小正周期.例如，對于常數函數f(x)＝c(c為常數，x∈R)，所有非零實數T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數函數沒有最小正周期.思考3周期函數都有最小正周期嗎？答案答案周期函數不一定存函數的周期性(1)對于函數f(x)，如果存在一個

，使得當x取定義域內的______值時，都有

，那么函數f(x)就叫做周期函數，

叫做這個函數的周期.(2)如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個

，那么這個最小正數叫做f(x)的

.梳理非零常數T每一個f(x＋T)＝f(x)非零常數T最小的正數最小正周期函數的周期性梳理非零常數T每一個f(x＋T)＝f(x)非零常思考1

知識點二正弦函數、余弦函數的周期性證明函數y＝sinx和y＝cosx都是周期函數.答案答案∵sin(x＋2π)＝sinx，cos(x＋2π)＝cosx，∴y＝sinx和y＝cosx都是周期函數，且2π就是它們的一個周期.思考1知識點二正弦函數、余弦函數的周期性證明函數y＝si思考2

證明函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函數.答案由誘導公式一知，對任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，同理，函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)也是周期函數.答案思考2證明函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝梳理由sin(x＋2kπ)＝

，cos(x＋2kπ)＝

(k∈Z)知，y＝sinx與y＝cosx都是

函數，

都是它們的周期，且它們的最小正周期都是

.sinxcosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π梳理由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2思考知識點三正弦函數、余弦函數的奇偶性對于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，這說明正弦函數、余弦函數具備怎樣的性質？答案答案

奇偶性.思考知識點三正弦函數、余弦函數的奇偶性對于x∈R，sin(梳理(1)對于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函數y＝sinx是

函數，正弦曲線關于

對稱.(2)對于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函數y＝cosx是

函數，余弦曲線關于

對稱.原點奇偶y軸梳理(1)對于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－s題型探究題型探究解答類型一三角函數的周期性例1求下列函數的最小正周期.(1)y＝sin(2x＋

)(x∈R)；解答類型一三角函數的周期性例1求下列函數的最小正周期.函數f(x)＝sinz的最小正周期是2π，即變量z只要且至少要增加到z＋2π，函數f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重復取得.函數f(x)＝sinz的最小正周期是2π，(2)y＝|sinx|(x∈R).解因為y＝|sinx|其圖象如圖所示，所以該函數的最小正周期為π.解答(2)y＝|sinx|(x∈R).解因為y＝|sinx反思與感悟對于形如函數y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時的最小正周期的求法常直接利用T＝

來求解，對于y＝|Asinωx|的周期情況常結合圖象法來求解.反思與感悟對于形如函數y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時的解答跟蹤訓練1求下列函數的周期.(2)y＝|cos2x|.解答跟蹤訓練1求下列函數的周期.(2)y＝|cos2x|例2判斷下列函數的奇偶性.類型二三角函數的奇偶性解答∴f(x)是偶函數.例2判斷下列函數的奇偶性.類型二三角函數的奇偶性解答∴f(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；解答∴f(x)的定義域關于原點對稱.又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x).∴f(x)為奇函數.(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不關于原點對稱，∴該函數是非奇非偶函數.解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不反思與感悟判斷函數奇偶性應把握好兩個關鍵點：關鍵點一：看函數的定義域是否關于原點對稱；關鍵點二：看f(x)與f(－x)的關系.對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷.反思與感悟判斷函數奇偶性應把握好兩個關鍵點：解答跟蹤訓練2判斷下列函數的奇偶性.解f(x)＝sin2x＋x2sinx，∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函數.解答跟蹤訓練2判斷下列函數的奇偶性.解f(x)＝sin解答∴f(x)既是奇函數又是偶函數.解答∴f(x)既是奇函數又是偶函數.類型三三角函數的奇偶性與周期性的綜合應用解答解∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函數，類型三三角函數的奇偶性與周期性的綜合應用解答解∵f(x)反思與感悟解決此類問題的關鍵是運用函數的周期性和奇偶性，把自變量x的值轉化到可求值區(qū)間內.反思與感悟解決此類問題的關鍵是運用函數的周期性和奇偶性，把自解答解答解答類型四函數周期性的綜合應用解答類型四函數周期性的綜合應用∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.同理，可得每連續(xù)六項的和均為0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)反思與感悟當函數值的出現具有一定的周期性時，可以首先研究它在一個周期內的函數值的變化情況，再給予推廣求值.反思與感悟當函數值的出現具有一定的周期性時，可以首先研究它在跟蹤訓練4設函數f(x)＝

，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝

.0答案解析∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)跟蹤訓練4設函數f(x)＝，則f(1當堂訓練當堂訓練答案23451√答案23451√2.下列函數中最小正周期為π的偶函數是答案23451√2.下列函數中最小正周期為π的偶函數是答案23451√答案23451解析√答案23451解析√23451∴f(x)＝－cos2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)是最小正周期為π的偶函數.23451∴f(x)＝－cos2x.4.函數y＝sin(ωx＋

)的最小正周期為2，則ω的值為

.答案23451解析±π4.函數y＝sin(ωx＋)的最小正周期為2，則ω的值23451答案解析23451答案解析規(guī)律與方法1.求函數的最小正周期的常用方法：(1)定義法，即觀察出周期，再用定義來驗證；也可由函數所具有的某些性質推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)圖象法，即作出y＝f(x)的圖象，觀察圖象可求出T，如y＝|sinx|.(3)結論法，一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ為常數，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝

.規(guī)律與方法1.求函數的最小正周期的常用方法：2.判斷函數的奇偶性，必須堅持“定義域優(yōu)先”的原則，準確求函數定義域和將式子合理變形是解決此類問題的關鍵.如果定義域關于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關系，從而判斷奇偶性.2.判斷函數的奇偶性，必須堅持“定義域優(yōu)先”的原則，準確求函本課結束本課結束1.4.2

正弦函數、余弦函數的性質(一)第一章

§1.4

三角函數的圖象與性質1.4.2正弦函數、余弦函數的性質(一)第一章§1.4學習目標1.了解周期函數、周期、最小正周期的定義.2.會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函數y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會判斷簡單三角函數的奇偶性.學習目標題型探究問題導學內容索引當堂訓練題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學問題導學思考1

知識點一函數的周期性如果函數f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期嗎？答案答案不一定.必須滿足當x取定義域內的每一個值時，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以說3是f(x)的周期.思考2

所有的函數都具有周期性嗎？答案不是.只有同時符合周期函數定義中的兩個條件的函數才具有周期性.思考1知識點一函數的周期性如果函數f(x)滿足f(x＋3思考3

周期函數都有最小正周期嗎？答案答案周期函數不一定存在最小正周期.例如，對于常數函數f(x)＝c(c為常數，x∈R)，所有非零實數T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數函數沒有最小正周期.思考3周期函數都有最小正周期嗎？答案答案周期函數不一定存函數的周期性(1)對于函數f(x)，如果存在一個

，使得當x取定義域內的______值時，都有

，那么函數f(x)就叫做周期函數，

叫做這個函數的周期.(2)如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個

，那么這個最小正數叫做f(x)的

.梳理非零常數T每一個f(x＋T)＝f(x)非零常數T最小的正數最小正周期函數的周期性梳理非零常數T每一個f(x＋T)＝f(x)非零常思考1

知識點二正弦函數、余弦函數的周期性證明函數y＝sinx和y＝cosx都是周期函數.答案答案∵sin(x＋2π)＝sinx，cos(x＋2π)＝cosx，∴y＝sinx和y＝cosx都是周期函數，且2π就是它們的一個周期.思考1知識點二正弦函數、余弦函數的周期性證明函數y＝si思考2

證明函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函數.答案由誘導公式一知，對任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，同理，函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)也是周期函數.答案思考2證明函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝梳理由sin(x＋2kπ)＝

，cos(x＋2kπ)＝

(k∈Z)知，y＝sinx與y＝cosx都是

函數，

都是它們的周期，且它們的最小正周期都是

.sinxcosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π梳理由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2思考知識點三正弦函數、余弦函數的奇偶性對于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，這說明正弦函數、余弦函數具備怎樣的性質？答案答案

奇偶性.思考知識點三正弦函數、余弦函數的奇偶性對于x∈R，sin(梳理(1)對于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函數y＝sinx是

函數，正弦曲線關于

對稱.(2)對于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函數y＝cosx是

函數，余弦曲線關于

對稱.原點奇偶y軸梳理(1)對于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－s題型探究題型探究解答類型一三角函數的周期性例1求下列函數的最小正周期.(1)y＝sin(2x＋

)(x∈R)；解答類型一三角函數的周期性例1求下列函數的最小正周期.函數f(x)＝sinz的最小正周期是2π，即變量z只要且至少要增加到z＋2π，函數f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重復取得.函數f(x)＝sinz的最小正周期是2π，(2)y＝|sinx|(x∈R).解因為y＝|sinx|其圖象如圖所示，所以該函數的最小正周期為π.解答(2)y＝|sinx|(x∈R).解因為y＝|sinx反思與感悟對于形如函數y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時的最小正周期的求法常直接利用T＝

來求解，對于y＝|Asinωx|的周期情況常結合圖象法來求解.反思與感悟對于形如函數y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時的解答跟蹤訓練1求下列函數的周期.(2)y＝|cos2x|.解答跟蹤訓練1求下列函數的周期.(2)y＝|cos2x|例2判斷下列函數的奇偶性.類型二三角函數的奇偶性解答∴f(x)是偶函數.例2判斷下列函數的奇偶性.類型二三角函數的奇偶性解答∴f(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；解答∴f(x)的定義域關于原點對稱.又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x).∴f(x)為奇函數.(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不關于原點對稱，∴該函數是非奇非偶函數.解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不反思與感悟判斷函數奇偶性應把握好兩個關鍵點：關鍵點一：看函數的定義域是否關于原點對稱；關鍵點二：看f(x)與f(－x)的關系.對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷.反思與感悟判斷函數奇偶性應把握好兩個關鍵點：解答跟蹤訓練2判斷下列函數的奇偶性.解f(x)＝sin2x＋x2sinx，∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函數.解答跟蹤訓練2判斷下列函數的奇偶性.解f(x)＝sin解答∴f(x)既是奇函數又是偶函數.解答∴f(x)既是奇函數又是偶函數.類型三三角函數的奇偶性與周期性的綜合應用解答解∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函數，類型三三角函數的奇偶性與周期性的綜合應用解答解∵f(x)反思與感悟解決此類問題的關鍵是運用函數的周期性和奇偶性，把自變量x的值轉化到可求值區(qū)間內.反思與感悟解決此類問題的關鍵是運用函數的周期性和奇偶性，把自解答解答解答類型四函數周期性的綜合應用解答類型四函數周期性的綜合應用∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.同理，可得每連續(xù)六項的和均為0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)反思與感悟當函數值的出現具有一定的周期性時，可以首先研究它在一個周期內的函數值的變化情況，再給予推廣求值.反思與感悟當函數值的出現具有一定的周期性時，可以首先研究它在跟蹤訓練4設函數f(x)＝

，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝

.0答案解析∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(