《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題答案

《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題解答一、填空題1f(X)=100(x2-x22+(1-

)2的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一步迭1 1代的搜索方向?yàn)閇-47,-50]T。2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長(zhǎng)。kk3、當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。kk4、應(yīng)用進(jìn)退法來(lái)確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高－低－高 趨勢(shì)。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問(wèn)題，稱(chēng)為 n 維優(yōu)化問(wèn)題。16、函數(shù)

XTHXBTXC的梯度為HX+B。27Gn×nnd0，d1，滿(mǎn)足(d0)TGd1=0，則d0、d1之間存在共軛關(guān)系。8、 設(shè)計(jì)變量 、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件 是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對(duì)于無(wú)約束二元函數(shù) f(x,x1 2

)，若在x0

(x ,x10

)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是，充分條件是 ( 正定 。10、 庫(kù)恩-塔克 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11f(x)x210x36[a,b]，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為[-2.36 10] 。12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk=H1g

，其計(jì)算量大，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn)附近位置。14、將函數(shù)f(X)=x2+x2-xx-10x-4x+60 表示成1XTHXBTXC 的形式1 2 12 1 2 2。15H，向量d1，向量d2d1THd2=0，向量d1d2H共軛。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最優(yōu)步長(zhǎng)。18、與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值（下降）的方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值（化為零）的方向。19、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a

,b,a

b計(jì)算出f

fb

，則縮短后的搜索區(qū)間為（ab）

1 1 1 1 1 11120、由于確定（搜索方向）和最佳步長(zhǎng)的方法不一致，派生出不同的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題數(shù)值求解方法。1（消元法（拉格朗日法）。2、優(yōu)化問(wèn)題中的二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變（小）。3、優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)位（可行域內(nèi)）內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。4、方向?qū)?shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的（變化率）5n（n)個(gè)。6（邊界）或等式約束曲面。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法C、牛頓型法D、DFP法2、對(duì)于約束問(wèn)題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷X為 。D內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)；外點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問(wèn)題。A無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題B只含有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題只含有等式的優(yōu)化問(wèn)題含有不等式和等式約束的優(yōu)化問(wèn)題

[1,為 ，

2

51[ , 224、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為[ab]，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1、b1a1<b1D。A B [b1，b][a1，b][a，b1]5、D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計(jì)變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長(zhǎng)6xk+1=kkk▽f(kC。A.Hk之間有簡(jiǎn)單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對(duì)稱(chēng)正定7fXAA、最速上升方向CD、下降方向8、下面四種無(wú)約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒(méi)有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A梯度法B牛頓法CD 坐標(biāo)輪換法9fXRfXRG(X)RB。正定半正定負(fù)定半負(fù)定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D，假設(shè)要求在區(qū)間[a，b]插入兩點(diǎn)α1、α2，且α1<α2。AB、α1=b-λ（b-a）C、α1=a+λ（b-a）D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ)方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值B方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值C方向。AB、下降C、不變D12、二維目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小點(diǎn)就是B。A、等值線族的一個(gè)共同中心B0C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為B向量。相切正交成銳角共軛14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是A。A可用來(lái)求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)三、問(wèn)答題（看講義）1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理?區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來(lái)確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法?（2）、插值法：沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來(lái)函數(shù)的近似值。這種方法稱(chēng)為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問(wèn)題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過(guò)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合?最優(yōu)解3、試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過(guò)反復(fù)迭代計(jì)算求得最佳步長(zhǎng)因子的近似值4、試述求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡(jiǎn)單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。?5、寫(xiě)出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)值迭代公式，并說(shuō)明公式中各變量的意義，并說(shuō)明迭代公式的意義。6、什么是共軛方向？滿(mǎn)足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5x

2+0.5x2-xx-2x

的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=[-2，4]T,選ε=0.2迭代一步）。

1 2 12 1解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù) ,計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的梯度向量值梯度法的搜索方向?yàn)? 因此在迭代點(diǎn)x(0)的搜索方向[12，－6]T在此方向上新的迭代點(diǎn)為：==令，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)新的迭代點(diǎn)為當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f(X)=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=[2,1]T。解1：（注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。）牛頓法的搜索方向?yàn)榈奶荻认蛄俊⒑Ｉ仃嚰捌淠婢仃嚥挥盟阉?，?dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。

,因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=[1,2]T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算頓法的搜索方向?yàn)?因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：初始點(diǎn)梯度向量：海色矩陣：海色矩陣逆矩陣：當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋海叫碌牡c(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上：=＝ ＝令，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)新的迭代點(diǎn)為當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第二迭代步：因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。3、設(shè)有函數(shù)f(X)=x

2+2x2-2xx-4x

，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。1 2 12 1解：首先利用極值必要條件找出可能的極值點(diǎn)：令＝求得 ,是可能的極值點(diǎn)。利用充分條件正定（或負(fù)定）確認(rèn)極值點(diǎn)。因此 正定,是極小點(diǎn)，極值為f(X*)=-84、求目標(biāo)函數(shù)f(X)=x12+x1x2+2x22+4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、試證明函數(shù)f(X)=2x12+5x22+x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值。解：必要條件：將點(diǎn)[1，1，-2]T帶入上式，可得充分條件正定。

＝40因此函數(shù)在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問(wèn)題minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2s.t. g2(X)=－x1－2x2＋4≥0g3(X)=x1≥0g4(X)=x2≥0XKuhn-Tucker條件成立。Xg1(X)＝0g2(X)g3(X)g4(X)因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。＝＝ ,求解線性組合系數(shù)得到 均大于0XKuhn-Tucker條件成立7、設(shè)非線性規(guī)劃問(wèn)題K-TX*0解法同上

為其約束最優(yōu)點(diǎn)。8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=x1+x2，受約束于：g1(X)=-x12+x2≥0g2(X)=x1≥0寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為其中：r(1)>r(2)>r(3)…>r(k)…>0 是一個(gè)遞減的正值數(shù)列r(k)＝Cr(k-1)， 0＜C＜1因此罰函數(shù)為：9f(X)=(x1-1)2+(x2+2)2g2(X)=2-x1-x2≥0g3(X)=x1≥0g4(X)=x2≥0試寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上106mx一個(gè)無(wú)蓋的箱子，問(wèn)如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫(xiě)出這一