2020屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 相似三角形定理與圓冪定理本章整合 課件

本章整合本章整合2020屆一輪復(fù)習(xí)人教A版相似三角形定理與圓冪定理本章整合課件專題一專題二專題三專題四專題五專題一

利用相似三角形證明等積線段或成比例線段利用相似三角形的性質(zhì)可以得到等積式或比例式是解決這類問題的基本方法.解決這類問題一般可分為三步:(1)把等積式化為比例式,從而確定相關(guān)的兩個(gè)三角形相似.(2)確定兩個(gè)相關(guān)的三角形的方法是:把比例式橫看或者豎看,將兩條線段中的相同字母消去一個(gè),由余下的字母組成三角形.(3)設(shè)法找到證明這兩個(gè)三角形相似的條件.專題一專題二專題三專題四專題五專題一利用相似三角形證明等積專題一專題二專題三專題四專題五提示由條件知AB∶AC=BD∶AD,轉(zhuǎn)化為證明BD∶AD=DF∶AF,即證△FAD∽△FDB.證明∵∠BAC=90°,∠ADB=90°,∴∠C=∠BAD,∴Rt△ADB∽R(shí)t△CAB.∴AB∶AC=BD∶AD.又E是AC的中點(diǎn),∴AE=DE=EC.∴∠DAE=∠ADE.∴∠BAD=∠CDE=∠BDF.又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.∴BD∶AD=DF∶AF,專題一專題二專題三專題四專題五提示由條件知AB∶AC=BD∶專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2

如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,BC邊的垂直平分線EM和AB,CA的延長(zhǎng)線分別交于D,E兩點(diǎn),連接AM.求證:AM2=DM·EM.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2如圖,在△ABC中,∠專題一專題二專題三專題四專題五證明∵∠BAC=90°,M是BC的中點(diǎn),∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.又∠BAM+∠MAC=90°,∴∠E=∠BAM.∵∠EMA=∠AMD,∴△AMD∽△EMA.專題一專題二專題三專題四專題五證明∵∠BAC=90°,M是B專題一專題二專題三專題四專題五專題二

利用相似三角形證明線段相等證明兩條線段相等,一般情況下,利用等角對(duì)等邊或全等三角形的性質(zhì)來解決.但有些證明兩條線段相等的幾何題利用前面的方法得不出來,或過程比較煩瑣,此時(shí)可以借助相似三角形的有關(guān)比例線段來解決.專題一專題二專題三專題四專題五專題二利用相似三角形證明線段專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用3

如圖,AD,CF是△ABC的兩條高,在AB上取一點(diǎn)P,使AP=AD,再從P點(diǎn)引BC的平行線與AC交于點(diǎn)Q.求證:PQ=CF.提示利用相似三角形的性質(zhì),并結(jié)合AP=AD進(jìn)行證明.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用3如圖,AD,CF是△A專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用4

如圖,△ABC為直角三角形,∠ABC=90°,以AB為邊向外作正方形ABDE,連接EC交AB于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ

∥BC交AC于點(diǎn)Q.求證:PQ=PB.提示要證明PQ=PB,直接證明不容易證,可以先證明有關(guān)的三角形相似得出比例式,再由等式的性質(zhì)證明其相等.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用4如圖,△ABC為直角三專題一專題二專題三專題四專題五證明∵PQ

∥BC,BC

∥AE,∴PQ

∥AE.

∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE.而由題意,知AE=DE,∴PQ=PB.專題一專題二專題三專題四專題五證明∵PQ∥BC,BC∥A專題一專題二專題三專題四專題五專題三

平行線分線段的規(guī)律性質(zhì)平行線分線段的相關(guān)定理即平行截割定理,其實(shí)質(zhì)是揭示一組平行線在與其相交的直線上截得的線段所呈現(xiàn)的規(guī)律.主要用來證明比例式成立,證明直線平行,計(jì)算線段的長(zhǎng)度,也可以作為計(jì)算某些圖形的周長(zhǎng)或面積的重要方法.專題一專題二專題三專題四專題五專題三平行線分線段的規(guī)律性質(zhì)專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用5

如圖,在△ABC中,M是AC邊的中點(diǎn),E是AB邊上的一點(diǎn),且AE=AB,連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證:BC=2CD.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用5如圖,在△ABC中,M專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用6

如圖,在△ABC中,DE∥BC,DH∥GC.求證:EG∥BH.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用6如圖,在△ABC中,D專題一專題二專題三專題四專題五專題四

與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證明圓中的角有四類:圓心角、圓周角、弦切角和弧所對(duì)的角,與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證明通常涉及這四類角,因此圓周角定理、圓心角定理和弦切角定理是解決此類問題的知識(shí)基礎(chǔ),通常利用圓周角、弦切角、圓心角與弧的關(guān)系來轉(zhuǎn)化,并借助圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑(獲得直角)來解決.專題一專題二專題三專題四專題五專題四與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證專題一專題二專題三專題四專題五

專題一專題二專題三專題四專題五

專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用8

如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使BD=DC,連接AC,AE,DE.求證:∠E=∠C.證明如圖,連接OD,因?yàn)锽D=DC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)D∥AC,于是∠ODB=∠C.因?yàn)镺B=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因?yàn)辄c(diǎn)A,E,B,D都在圓O上,且D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),所以∠E和∠B為同弧所對(duì)的圓周角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用8證明如圖,連接OD,因?qū)ｎ}一專題二專題三專題四專題五專題五

與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與證明在圓中,解決與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與證明問題時(shí),首先考慮相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長(zhǎng)定理,從而獲得成比例線段,然后結(jié)合射影定理、相似三角形進(jìn)行等比代換或等線代換加以證明,或列出方程解得線段的長(zhǎng).專題一專題二專題三專題四專題五專題五與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用9

如圖所示,過☉O外一點(diǎn)A作一條直線與☉O交于C,D兩點(diǎn),AB切☉O于點(diǎn)B,弦MN過CD的中點(diǎn)P.已知AC=4,AB=6,則MP·NP=

.

專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用9如圖所示,過☉O外一點(diǎn)專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用10

在兩圓公共弦AB上,任取一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作直線交一圓于點(diǎn)C,D,交另一圓于點(diǎn)E,F.求證:CG·ED=EG·CF.提示簡(jiǎn)單型的比例線段問題,主要是證明兩個(gè)三角形相似.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用10在兩圓公共弦AB上,專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五234156789101.(湖北高考)如圖,圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為點(diǎn)D,點(diǎn)D在半徑OC上的射影為點(diǎn)E.若AB=3AD,則

的值為

.

234156789101.23415678910

解析:

設(shè)AD=2,則AB=6,于是BD=4,OD=1.如圖,由射影定理得CD2=AD·BD=8,答案:823415678910解析:設(shè)AD=2,則AB=6,234156789102.(陜西高考)如圖,弦AB與CD相交于☉O內(nèi)一點(diǎn)E,過E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,已知PD=2DA=2,則PE=

.

解析:∠C與∠A在同一個(gè)☉O中,所對(duì)的弧都是

,則∠C=∠A.又PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A=∠PED.又∠P=∠P,∴PE2=PA·PD.又PD=2DA=2,234156789102.(陜西高考)如圖,弦AB與CD相交234156789103.(北京高考)如圖,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB與圓O相交于點(diǎn)D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,則PD=

,AB=

.

解析:設(shè)PD=9k,則DB=16k(k>0).由切割線定理可得PA2=PD·PB,234156789103.(北京高考)如圖,AB為圓O的直徑234156789104.(湖南高考)如圖,在半徑為

的☉O中,弦AB,CD相交于點(diǎn)P,PA=PB=2,PD=1,則圓心O到弦CD的距離為

.

234156789104.(湖南高考)23415678910解析:如圖,取CD中點(diǎn)E,連接OE,OC.由圓內(nèi)相交弦定理知PD·PC=PA·PB,所以PC=4,CD=5,23415678910解析:如圖,取CD中點(diǎn)E,連接OE,O234156789105.(天津高考)如圖,△ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦,且BD∥AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.若AB=AC,AE=6,BD=5,則線段CF的長(zhǎng)為

.

234156789105.(天津高考)如圖,△ABC為圓的內(nèi)23415678910解析:∵AE為圓的切線,∴由切割線定理,得AE2=EB·ED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.∵∠EAB為弦切角,且AB=AC,∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC,∴四邊形EBCA為平行四邊形.∴BC=AE=6,AC=EB=4.由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,23415678910解析:∵AE為圓的切線,∴由切割線定理234156789106.(重慶高考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,過C作△ABC的外接圓的切線CD,BD⊥CD,BD與外接圓交于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)為

.

解析:在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=20,可得BC=10.由弦切角定理,可得∠BCD=∠A=60°.在Rt△BCD中,可求得CD=5,BD=15.又由切割線定理,可得CD2=DE·DB,可求得DE=5.答案:5234156789106.(重慶高考)如圖,在△ABC中,∠234156789107.(廣東高考)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C在圓O上.延長(zhǎng)BC到D使BC=CD,過C作圓O的切線交AD于E.若AB=6,ED=2,則BC=

.

234156789107.23415678910解析:如圖,連接OC.∵AB為圓O的直徑,∴AC⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.又CE為圓O的切線,則OC⊥CE.∵∠ACE為弦切角,∴∠ACE=∠B.∴∠ACE+∠CAD=90°.∴CE⊥AD.又AC⊥CD,∴CD2=ED·AD=2×6=12,23415678910解析:如圖,連接OC.∵AB為圓O的直234156789108.(課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考)如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四點(diǎn)共圓.(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;(2)若DB=BE=EA,求過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.234156789108.(課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考)如圖,CD為△A23415678910(1)證明因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因?yàn)锽,E,F,C四點(diǎn)共圓,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.23415678910(1)證明因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切23415678910(2)解:如圖,連接CE.因?yàn)椤螩BE=90°,所以過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE.由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為

.23415678910(2)解:如圖,連接CE.因?yàn)椤螩BE234156789109.(遼寧高考)如圖,AB為☉O的直徑,直線CD與☉O相切于點(diǎn)E,AD垂直CD于點(diǎn)D,BC垂直CD于點(diǎn)C,EF垂直AB于點(diǎn)F,連接AE,BE.證明:(1)∠FEB=∠CEB;(2)EF2=AD·BC.234156789109.(遼寧高考)23415678910證明(1)由直線CD與☉O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB為☉O的直徑,得AE⊥EB,從而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共邊,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.類似可證:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以EF2=AD·BC.23415678910證明(1)由直線CD與☉O相切,得∠C本章整合本章整合2020屆一輪復(fù)習(xí)人教A版相似三角形定理與圓冪定理本章整合課件專題一專題二專題三專題四專題五專題一

利用相似三角形證明等積線段或成比例線段利用相似三角形的性質(zhì)可以得到等積式或比例式是解決這類問題的基本方法.解決這類問題一般可分為三步:(1)把等積式化為比例式,從而確定相關(guān)的兩個(gè)三角形相似.(2)確定兩個(gè)相關(guān)的三角形的方法是:把比例式橫看或者豎看,將兩條線段中的相同字母消去一個(gè),由余下的字母組成三角形.(3)設(shè)法找到證明這兩個(gè)三角形相似的條件.專題一專題二專題三專題四專題五專題一利用相似三角形證明等積專題一專題二專題三專題四專題五提示由條件知AB∶AC=BD∶AD,轉(zhuǎn)化為證明BD∶AD=DF∶AF,即證△FAD∽△FDB.證明∵∠BAC=90°,∠ADB=90°,∴∠C=∠BAD,∴Rt△ADB∽R(shí)t△CAB.∴AB∶AC=BD∶AD.又E是AC的中點(diǎn),∴AE=DE=EC.∴∠DAE=∠ADE.∴∠BAD=∠CDE=∠BDF.又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.∴BD∶AD=DF∶AF,專題一專題二專題三專題四專題五提示由條件知AB∶AC=BD∶專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2

如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,BC邊的垂直平分線EM和AB,CA的延長(zhǎng)線分別交于D,E兩點(diǎn),連接AM.求證:AM2=DM·EM.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2如圖,在△ABC中,∠專題一專題二專題三專題四專題五證明∵∠BAC=90°,M是BC的中點(diǎn),∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.又∠BAM+∠MAC=90°,∴∠E=∠BAM.∵∠EMA=∠AMD,∴△AMD∽△EMA.專題一專題二專題三專題四專題五證明∵∠BAC=90°,M是B專題一專題二專題三專題四專題五專題二

利用相似三角形證明線段相等證明兩條線段相等,一般情況下,利用等角對(duì)等邊或全等三角形的性質(zhì)來解決.但有些證明兩條線段相等的幾何題利用前面的方法得不出來,或過程比較煩瑣,此時(shí)可以借助相似三角形的有關(guān)比例線段來解決.專題一專題二專題三專題四專題五專題二利用相似三角形證明線段專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用3

如圖,AD,CF是△ABC的兩條高,在AB上取一點(diǎn)P,使AP=AD,再從P點(diǎn)引BC的平行線與AC交于點(diǎn)Q.求證:PQ=CF.提示利用相似三角形的性質(zhì),并結(jié)合AP=AD進(jìn)行證明.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用3如圖,AD,CF是△A專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用4

如圖,△ABC為直角三角形,∠ABC=90°,以AB為邊向外作正方形ABDE,連接EC交AB于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ

∥BC交AC于點(diǎn)Q.求證:PQ=PB.提示要證明PQ=PB,直接證明不容易證,可以先證明有關(guān)的三角形相似得出比例式,再由等式的性質(zhì)證明其相等.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用4如圖,△ABC為直角三專題一專題二專題三專題四專題五證明∵PQ

∥BC,BC

∥AE,∴PQ

∥AE.

∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE.而由題意,知AE=DE,∴PQ=PB.專題一專題二專題三專題四專題五證明∵PQ∥BC,BC∥A專題一專題二專題三專題四專題五專題三

平行線分線段的規(guī)律性質(zhì)平行線分線段的相關(guān)定理即平行截割定理,其實(shí)質(zhì)是揭示一組平行線在與其相交的直線上截得的線段所呈現(xiàn)的規(guī)律.主要用來證明比例式成立,證明直線平行,計(jì)算線段的長(zhǎng)度,也可以作為計(jì)算某些圖形的周長(zhǎng)或面積的重要方法.專題一專題二專題三專題四專題五專題三平行線分線段的規(guī)律性質(zhì)專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用5

如圖,在△ABC中,M是AC邊的中點(diǎn),E是AB邊上的一點(diǎn),且AE=AB,連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證:BC=2CD.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用5如圖,在△ABC中,M專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用6

如圖,在△ABC中,DE∥BC,DH∥GC.求證:EG∥BH.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用6如圖,在△ABC中,D專題一專題二專題三專題四專題五專題四

與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證明圓中的角有四類:圓心角、圓周角、弦切角和弧所對(duì)的角,與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證明通常涉及這四類角,因此圓周角定理、圓心角定理和弦切角定理是解決此類問題的知識(shí)基礎(chǔ),通常利用圓周角、弦切角、圓心角與弧的關(guān)系來轉(zhuǎn)化,并借助圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑(獲得直角)來解決.專題一專題二專題三專題四專題五專題四與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證專題一專題二專題三專題四專題五

專題一專題二專題三專題四專題五

專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用8

如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使BD=DC,連接AC,AE,DE.求證:∠E=∠C.證明如圖,連接OD,因?yàn)锽D=DC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)D∥AC,于是∠ODB=∠C.因?yàn)镺B=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因?yàn)辄c(diǎn)A,E,B,D都在圓O上,且D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),所以∠E和∠B為同弧所對(duì)的圓周角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用8證明如圖,連接OD,因?qū)ｎ}一專題二專題三專題四專題五專題五

與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與證明在圓中,解決與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與證明問題時(shí),首先考慮相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長(zhǎng)定理,從而獲得成比例線段,然后結(jié)合射影定理、相似三角形進(jìn)行等比代換或等線代換加以證明,或列出方程解得線段的長(zhǎng).專題一專題二專題三專題四專題五專題五與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用9

如圖所示,過☉O外一點(diǎn)A作一條直線與☉O交于C,D兩點(diǎn),AB切☉O于點(diǎn)B,弦MN過CD的中點(diǎn)P.已知AC=4,AB=6,則MP·NP=

.

專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用9如圖所示,過☉O外一點(diǎn)專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用10

在兩圓公共弦AB上,任取一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作直線交一圓于點(diǎn)C,D,交另一圓于點(diǎn)E,F.求證:CG·ED=EG·CF.提示簡(jiǎn)單型的比例線段問題,主要是證明兩個(gè)三角形相似.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用10在兩圓公共弦AB上,專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五234156789101.(湖北高考)如圖,圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為點(diǎn)D,點(diǎn)D在半徑OC上的射影為點(diǎn)E.若AB=3AD,則

的值為

.

234156789101.23415678910

解析:

設(shè)AD=2,則AB=6,于是BD=4,OD=1.如圖,由射影定理得CD2=AD·BD=8,答案:823415678910解析:設(shè)AD=2,則AB=6,234156789102.(陜西高考)如圖,弦AB與CD相交于☉O內(nèi)一點(diǎn)E,過E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,已知PD=2DA=2,則PE=

.

解析:∠C與∠A在同一個(gè)☉O中,所對(duì)的弧都是

,則∠C=∠A.又PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A=∠PED.又∠P=∠P,∴PE2=PA·PD.又PD=2DA=2,234156789102.(陜西高考)如圖,弦AB與CD相交234156789103.(北京高考)如圖,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB與圓O相交于點(diǎn)D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,則PD=

,AB=

.

解析:設(shè)PD=9k,則DB=16k(k>0).由切割線定理可得PA2=PD·PB,234156789103.(北京高考)如圖,AB為圓O的直徑234156789104.(湖南高考)如圖,在半徑為

的☉O中,弦AB,CD相交于點(diǎn)P,PA=PB=2,PD=1,則圓心O到弦CD的距離為

.

234156789104.(湖南高考)23415678910解析:如圖,取CD中點(diǎn)E,連接OE,OC.由圓內(nèi)相交弦定理知PD·PC=PA·PB,所以PC=4,CD=5,23415678910解析:如圖,取CD中點(diǎn)E,連接OE,O234156789105.(天津高考)如圖,△ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦,且BD∥AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.若AB=AC,AE=6,BD=5,則線段CF的長(zhǎng)為

.

234156789105.(天津高考)如圖,△ABC為圓的內(nèi)23415678910解析:∵AE為圓的切線,∴由切割線定理,得AE2=EB·ED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.∵∠EAB為弦切角,且AB=AC,∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC,∴四邊形EBCA為平行四邊形.∴BC=AE=6,AC=EB=4.由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,23415678910解析:∵AE為圓的切線,∴由切割線定理234156789106.(重慶高考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,過C作△ABC的外接圓的切線CD,BD⊥CD,BD與外接圓交于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)為

.

解析:在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=20,可得BC=10.由弦切角定理,可得∠BCD=∠A=60°.在Rt△BCD中,可求得CD=5,BD=15.又由切割線定理,可得CD2=DE·DB,可求得DE=5.答案:5234156789106.(重慶高考)如圖,在△ABC中,∠234156789107.(廣東高考)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C在圓O上.延長(zhǎng)BC到D使BC=CD,過C作圓O的切線交AD于E.若AB=6,ED=2,則BC=

.

234156789107.23415678910解析:如圖,連接OC.∵AB為圓O的直徑,∴AC⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.又CE為圓O的切線,則OC⊥CE.∵∠ACE為弦切角,∴∠ACE=∠B