人教高中數(shù)學A版必修二向量的加法運算課件

6.2平面向量的運算6.2.1向量的加法運算

6.2平面向量的運算1.向量加法的定義及其運算法則(1)向量加法的定義定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.1.向量加法的定義及其運算法則(2)向量求和的法則(2)向量求和的法則(3)向量a，b的模與a+b的模之間的關系：|a|≤|a|+|b|.(3)向量a，b的模與a+b的模之間的關系：【思考】(1)向量求和的三角形法則中求和的兩個向量的起點與終點是怎樣連接的？和向量的起點與終點是怎樣的？提示：求和的兩個向量“首尾連接”，其和向量是從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量.【思考】(2)向量求和的平行四邊形法則中“不共線”是否多余，去掉可以嗎？提示：不能，因為如果兩個向量共線，就無法以它們?yōu)猷忂呑鞒銎叫兴倪呅?，也不會產(chǎn)生和向量.(2)向量求和的平行四邊形法則中“不共線”是否多余，去掉可以(3)平行四邊形法則中，求和的兩個向量與和向量的起點有什么特點？和向量是怎樣產(chǎn)生的？提示：求和的兩個向量與和向量共起點，和向量是以求和的兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線向量.(3)平行四邊形法則中，求和的兩個向量與和向量的起點有什么特2.向量加法的運算律交換律結(jié)合律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)2.向量加法的運算律交換律結(jié)合律a+b=b+a(a+b)+c【思考】(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立嗎？提示：成立，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行.【思考】【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)a+0=a. (

)(2) (

)(3) (

)(4)a+(b+c)=c+(a+b). (

)【素養(yǎng)小測】提示：(1)×.兩個向量的和仍然是一個向量，所以a+0=a.(2)×.由向量加法的三角形法則知，=0.(3)√.(4)√.由向量加法的交換律、結(jié)合律知，a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).提示：(1)×.兩個向量的和仍然是一個向量，所以2.如圖，在☉O中，向量是 (

)2.如圖，在☉O中，向量是 ()A.有相同起點的向量 B.共線向量C.模相等的向量 D.相等的向量A.有相同起點的向量 B.共線向量【解析】選C.由題干圖可知是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.【解析】選C.由題干圖可知是模相等的向3.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a+b|=________，a+b的方向是________.

3.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則【解析】如圖所示，作=a，=b，則a+b=+=.所以|a+b|=||==8(km)，因為∠AOB=45°，所以a+b的方向是東北方向.【解析】如圖所示，作=a，=b，答案：8km東北方向答案：8km東北方向類型一向量的加法法則【典例】1.(2019·濟寧高一檢測)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個向量)：類型一向量的加法法則①=________；②=________.

①=________；②=_2.下列說法正確的是________.(填序號)

①若|a|=3，|b|=2，則|a+b|≥1；②若向量a，b共線，則|a+b|=|a|+|b|；③若|a+b|=|a|+|b|，則向量a，b共線.2.下列說法正確的是________.(填序號)

3.如圖，已知三個向量a、b、c，試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量a+b+c.3.如圖，已知三個向量a、b、c，試用三角形法則和平行四邊形【思維·引】1.利用相等向量與向量加法的三角形法則求解.2.利用向量a，b的模與a+b的模之間的關系作出判斷.3.利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則作圖.【思維·引】1.利用相等向量與向量加法的三角形法則求解.【解析】1.如題干圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：答案：①②【解析】1.如題干圖，由已知得四邊形DFCB為平行四2.①正確，當兩向量反向時，和向量的模最小為1；②中描述的只是向量同向時的情況，故不正確，反之正確，即③正確.答案：①③2.①正確，當兩向量反向時，和向量的模最小為1；3.利用三角形法則作a+b+c，如圖①所示，作=a，以A為起點，作=b，再以B為起點，作=c，則

==a+b+c.利用平行四邊形法則作a+b+c，如圖②所示，作=a，=b，=c，以、為鄰邊作?OADB，則3.利用三角形法則作a+b+c，如圖①所示，作=a，=a+b，再以、為鄰邊作?ODEC，則

=a+b+c.=a+b，再以、為鄰邊作?ODEC，則【內(nèi)化·悟】用三角形法則與平行四邊形法則作三個或以上向量的和的方法是怎樣的？提示：用分步作圖的方法，即先作出其中兩個向量的和，再作所得和向量與第三個向量的和，直至完成作圖.【內(nèi)化·悟】【類題·通】1.向量求和的注意點(1)三角形法則對于兩個向量共線時也適用.(2)兩個向量的和向量仍是一個向量.(3)平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用.【類題·通】2.利用三角形法則的注意點要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對角線”向量.2.利用三角形法則的注意點【發(fā)散·拓】向量求和的多邊形法則(1)已知n個向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即為這n個向量的和，這稱為向量求和的多邊形法則.即【發(fā)散·拓】人教高中數(shù)學A版必修二向量的加法運算課件(2)首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0.(2)首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們【延伸·練】化簡的結(jié)果等于

(

)A.0

B.

C.

D.【延伸·練】化簡的結(jié)果等于【解析】選A.=0.【解析】選A.=0.【習練·破】如圖，在正六邊形ABCDEF中，點O為中心，=a，=b，求【習練·破】【解析】由向量的平行四邊形法則，得

=a+b.在平行四邊形ABCO中，

=a+a+b=2a+b.而=2=2a+2b，且【解析】由向量的平行四邊形法則，得=a+b，由三角形法則，得

=b+a+b=a+2b.=a+b，由三角形法則，得類型二向量加法運算律的應用【典例】化簡：(1)(2) 世紀金榜導學號類型二向量加法運算律的應用【思維·引】利用向量加法的交換律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法則求和.【思維·引】利用向量加法的交換律使求和的各向量首尾相接，然后【解析】【解析】【內(nèi)化·悟】1.如何進行多個向量相加或化簡？提示：觀察向量的起點與終點字母的特點，看是否具備“首尾相接”.【內(nèi)化·悟】2.這種解題操作的理論依據(jù)是什么？提示：向量加法的交換律與結(jié)合律.2.這種解題操作的理論依據(jù)是什么？【類題·通】向量加法運算律的意義和應用原則(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向【類題·通】量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.(2)應用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.【習練·破】化簡：【習練·破】【解析】【解析】【加練·固】在平行四邊形ABCD中(如圖)，對角線AC，BD交于點O，則①=________.

②=________.

【加練·固】③=________.

④=________.

③=________.

【解析】①②③④=0.答案：①②③④0【解析】①類型三利用向量加法解決幾何問題【典例】用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 世紀金榜導學號類型三利用向量加法解決幾何問題【思維·引】將互相平分利用向量表示，以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.【思維·引】將互相平分利用向量表示，以此為條件推證使四邊形為【解析】如圖，設四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC與BD互相平分，因此∥且||=||，即四邊形ABCD是平行四邊形.【解析】如圖，設四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于【素養(yǎng)·探】在用向量加法證明幾何問題時，經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理，通過對條件與結(jié)論的分析，確定論證思路及方法予以證明.【素養(yǎng)·探】若將本例改為：四邊形ABCD中，求證四邊形ABCD為矩形.若將本例改為：四邊形ABCD中，【證明】因為四邊形ABCD中，，所以四邊形ABCD為平行四邊形，如圖.所以因為【證明】因為四邊形ABCD中，，所以，即平行四邊形對角線相等，故四邊形ABCD為矩形.所以，即平行四邊形對角線相等，【類題·通】利用向量解決幾何問題的方法用向量法證明幾何問題的關鍵是把幾何中的線段轉(zhuǎn)化為向量，通過向量的運算得到結(jié)論，然后把向量問題還原為幾何問題.【類題·通】【習練·破】如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且=0.求證：【習練·破】【證明】因為所以又因為=0，所以【證明】因為類型四航行中的向量加法問題【物理情境】在長江南岸的某渡口A處，江水以12.5km/h的速度向東流，“順風號”渡船要以25km/h的速度，由南向北垂直地渡過長江，其航向應如何確定？類型四航行中的向量加法問題人教高中數(shù)學A版必修二向量的加法運算課件【轉(zhuǎn)化模板】1.—由題意可得渡船的實際垂直過江的速度是船的速度與水流速度的和，因此解決此問題可建立向量加法模型.【轉(zhuǎn)化模板】2.—設表示水流速度，表示渡船的速度，表示渡船實際垂直過江的速度.3.—向量方向為正東方向，長度為12.5，向量的長度為25，若向量，的和向量與垂直，求向量的方向.2.—設表示水流速度，表示渡船的速度，4.—如圖所示，以AB為一邊，AC為對角線作平行四邊形，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，||=||=12.5，||=25，∠CAD=30°.4.—如圖所示，以AB為一邊，AC為對角線作平行5.—渡船的航向為北偏西30°5.—渡船的航向為北偏西30°感謝大家觀看最新學習可編輯資料感謝大家觀看最新學習可編輯資料6.2平面向量的運算6.2.1向量的加法運算

6.2平面向量的運算1.向量加法的定義及其運算法則(1)向量加法的定義定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.1.向量加法的定義及其運算法則(2)向量求和的法則(2)向量求和的法則(3)向量a，b的模與a+b的模之間的關系：|a|≤|a|+|b|.(3)向量a，b的模與a+b的模之間的關系：【思考】(1)向量求和的三角形法則中求和的兩個向量的起點與終點是怎樣連接的？和向量的起點與終點是怎樣的？提示：求和的兩個向量“首尾連接”，其和向量是從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量.【思考】(2)向量求和的平行四邊形法則中“不共線”是否多余，去掉可以嗎？提示：不能，因為如果兩個向量共線，就無法以它們?yōu)猷忂呑鞒銎叫兴倪呅?，也不會產(chǎn)生和向量.(2)向量求和的平行四邊形法則中“不共線”是否多余，去掉可以(3)平行四邊形法則中，求和的兩個向量與和向量的起點有什么特點？和向量是怎樣產(chǎn)生的？提示：求和的兩個向量與和向量共起點，和向量是以求和的兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線向量.(3)平行四邊形法則中，求和的兩個向量與和向量的起點有什么特2.向量加法的運算律交換律結(jié)合律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)2.向量加法的運算律交換律結(jié)合律a+b=b+a(a+b)+c【思考】(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立嗎？提示：成立，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行.【思考】【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)a+0=a. (

)(2) (

)(3) (

)(4)a+(b+c)=c+(a+b). (

)【素養(yǎng)小測】提示：(1)×.兩個向量的和仍然是一個向量，所以a+0=a.(2)×.由向量加法的三角形法則知，=0.(3)√.(4)√.由向量加法的交換律、結(jié)合律知，a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).提示：(1)×.兩個向量的和仍然是一個向量，所以2.如圖，在☉O中，向量是 (

)2.如圖，在☉O中，向量是 ()A.有相同起點的向量 B.共線向量C.模相等的向量 D.相等的向量A.有相同起點的向量 B.共線向量【解析】選C.由題干圖可知是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.【解析】選C.由題干圖可知是模相等的向3.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a+b|=________，a+b的方向是________.

3.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則【解析】如圖所示，作=a，=b，則a+b=+=.所以|a+b|=||==8(km)，因為∠AOB=45°，所以a+b的方向是東北方向.【解析】如圖所示，作=a，=b，答案：8km東北方向答案：8km東北方向類型一向量的加法法則【典例】1.(2019·濟寧高一檢測)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個向量)：類型一向量的加法法則①=________；②=________.

①=________；②=_2.下列說法正確的是________.(填序號)

①若|a|=3，|b|=2，則|a+b|≥1；②若向量a，b共線，則|a+b|=|a|+|b|；③若|a+b|=|a|+|b|，則向量a，b共線.2.下列說法正確的是________.(填序號)

3.如圖，已知三個向量a、b、c，試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量a+b+c.3.如圖，已知三個向量a、b、c，試用三角形法則和平行四邊形【思維·引】1.利用相等向量與向量加法的三角形法則求解.2.利用向量a，b的模與a+b的模之間的關系作出判斷.3.利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則作圖.【思維·引】1.利用相等向量與向量加法的三角形法則求解.【解析】1.如題干圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：答案：①②【解析】1.如題干圖，由已知得四邊形DFCB為平行四2.①正確，當兩向量反向時，和向量的模最小為1；②中描述的只是向量同向時的情況，故不正確，反之正確，即③正確.答案：①③2.①正確，當兩向量反向時，和向量的模最小為1；3.利用三角形法則作a+b+c，如圖①所示，作=a，以A為起點，作=b，再以B為起點，作=c，則

==a+b+c.利用平行四邊形法則作a+b+c，如圖②所示，作=a，=b，=c，以、為鄰邊作?OADB，則3.利用三角形法則作a+b+c，如圖①所示，作=a，=a+b，再以、為鄰邊作?ODEC，則

=a+b+c.=a+b，再以、為鄰邊作?ODEC，則【內(nèi)化·悟】用三角形法則與平行四邊形法則作三個或以上向量的和的方法是怎樣的？提示：用分步作圖的方法，即先作出其中兩個向量的和，再作所得和向量與第三個向量的和，直至完成作圖.【內(nèi)化·悟】【類題·通】1.向量求和的注意點(1)三角形法則對于兩個向量共線時也適用.(2)兩個向量的和向量仍是一個向量.(3)平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用.【類題·通】2.利用三角形法則的注意點要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對角線”向量.2.利用三角形法則的注意點【發(fā)散·拓】向量求和的多邊形法則(1)已知n個向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即為這n個向量的和，這稱為向量求和的多邊形法則.即【發(fā)散·拓】人教高中數(shù)學A版必修二向量的加法運算課件(2)首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0.(2)首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們【延伸·練】化簡的結(jié)果等于

(

)A.0

B.

C.

D.【延伸·練】化簡的結(jié)果等于【解析】選A.=0.【解析】選A.=0.【習練·破】如圖，在正六邊形ABCDEF中，點O為中心，=a，=b，求【習練·破】【解析】由向量的平行四邊形法則，得

=a+b.在平行四邊形ABCO中，

=a+a+b=2a+b.而=2=2a+2b，且【解析】由向量的平行四邊形法則，得=a+b，由三角形法則，得

=b+a+b=a+2b.=a+b，由三角形法則，得類型二向量加法運算律的應用【典例】化簡：(1)(2) 世紀金榜導學號類型二向量加法運算律的應用【思維·引】利用向量加法的交換律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法則求和.【思維·引】利用向量加法的交換律使求和的各向量首尾相接，然后【解析】【解析】【內(nèi)化·悟】1.如何進行多個向量相加或化簡？提示：觀察向量的起點與終點字母的特點，看是否具備“首尾相接”.【內(nèi)化·悟】2.這種解題操作的理論依據(jù)是什么？提示：向量加法的交換律與結(jié)合律.2.這種解題操作的理論依據(jù)是什么？【類題·通】向量加法運算律的意義和應用原則(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向【類題·通】量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.(2)應用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.【習練·破】化簡：【習練·破】【解析】【解析】【加練·固】在平行四邊形ABCD中(如圖)，對角線AC，BD交于點O，則①=________.

②=________.

【加練·固】③=________.

④=________.

③=________.

【解析】①②③④=0.答案：①②③④0【解析】①類型三利用向量加法解決幾何問題【典例】用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 世紀金榜導學號類型三利用向量加法解決幾何問題【思維·引】將互相平分利用向量表示，以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.【思維·引】將互相平分利用向量表示，以此為條件推證使四邊形為【解析】如圖，設四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC與BD互相平分，因此∥且||=||，即四邊形A