量子力學(xué)第二章課件

第二章波函數(shù)和薛定諤方程

微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語言確切描述。量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀粒子的運動狀態(tài)，波函數(shù)所遵從的方程——薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。

這一章開始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。主要介紹：1.二個基本假設(shè)：A.微觀粒子行為由波函數(shù)描述,波函數(shù)具有統(tǒng)計意義。B.描述微觀粒子行為的波函數(shù)由薛定諤方程解出。2.用定態(tài)薛定諤方程求解三個簡單問題：A.一維無限深勢阱B.

一維諧振子C.勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）§2.1.物質(zhì)波的波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋1.波函數(shù)：類似于經(jīng)典波的數(shù)學(xué)表達形式，描述微觀客體的運動狀態(tài)一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式推廣：三維自由粒子波函數(shù)二、波函數(shù)的物理意義如何理解波函數(shù)和粒子之間的關(guān)系？

1物質(zhì)波就是粒子的實際結(jié)構(gòu)？即三維空間連續(xù)分布的物質(zhì)波包，那就會擴散，粒子將會越來越胖。再者，衍射時，電子就會被分開?？浯罅瞬▌有裕ㄉ妨肆Ｗ有?。

2大量粒子空間形成的疏密波？電子衍射實驗，電子流很弱時，時間足夠長，仍會出現(xiàn)干涉圖樣。單個電子就具有波動性。3波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（Born1926）:波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的二次方）和該點找到粒子的幾（概）率成比例。即物質(zhì)波是幾率波。波函數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的積例：一維自由粒子：光柵衍射電子衍射類比

波函數(shù)描述的物質(zhì)波不像經(jīng)典波代表實際物理量的波動,只是刻畫粒子在空間的幾率分布的幾率波。光子電子對比分析I大處到達光子數(shù)多I小處到達光子數(shù)少I=0無光子到達各光子起點、終點、路徑均不確定用I對屏上光子數(shù)分布作概率性描述各電子起點、終點、路徑均不確定對屏上電子數(shù)分布作概率性描述電子到達該處概率大電子到達該處概率為零電子到達該處概率小光柵衍射電子衍射一般t時刻,到達空間r（x,y,z）處某體積dV內(nèi)的粒子數(shù)

t時刻，出現(xiàn)在空間（x,y,z）點附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比

t時刻，粒子出現(xiàn)在空間（x,y,z）點附近單位體積內(nèi)的概率

t

時刻，粒子在空間分布的概率密度

的物理意義：4、波函數(shù)的歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為1

歸一化條件對微觀客體的數(shù)學(xué)描述：脫離日常生活經(jīng)驗，避免借用經(jīng)典語言引起的表觀矛盾

標(biāo)準(zhǔn)化條件在0<x<a/2區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為：（3）概率最大的位置應(yīng)滿足因0<x<a/2,故得粒子出現(xiàn)的概率最大。一、量子態(tài)和波函數(shù)

用波函數(shù)Ψ（r,t）來描述微觀粒子的量子態(tài)。當(dāng)Ψ（r,t）給定后，如果測量其位置，粒子出現(xiàn)在該點的幾率密度為。波函數(shù)的統(tǒng)計解釋也是波粒二象性的一種體現(xiàn)。經(jīng)典波：遵從迭加原理，兩個可能的波動過程迭加后也是一個可能的波動過程。如：惠更斯原理。描述微觀粒子的波是幾率波，是否可迭加？意義是否與經(jīng)典相同？二、量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理1、經(jīng)典物理中，光波或聲波遵守態(tài)迭加原理：二列經(jīng)典波φ1與φ2線性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以說明的。量子力學(xué)的二個態(tài)的迭加原理：如果Ψ1與Ψ2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1、c2是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。干涉項2、例：以雙縫衍射實驗（見上面圖），衍射圖樣的產(chǎn)生證實了干涉項的存在。推廣到任意多態(tài)的一般態(tài)迭加原理：

3、態(tài)的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是體系的一個可能狀態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)Ψ時，體系部分處在Ψ1態(tài)、也部分處在Ψ2態(tài)，…等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個態(tài)Ψi。

4、說明：（1）量子力學(xué)使用最多的是把可以實現(xiàn)的態(tài)分解為某一個算符本征態(tài)的迭加。（2）如同經(jīng)典波的分解和迭加，量子力學(xué)的態(tài)的迭加也是波函數(shù)的迭加。三、一個結(jié)論：任何一個波函數(shù)都可以看作是各種不同動量的平面波的迭加。

數(shù)學(xué)表示式：

其中，是動量一定的平面波。這在數(shù)學(xué)上是成立的，這正好是非周期函數(shù)的傅里葉展開。說明：1、在態(tài)Ψ（r,t）的粒子，它的動量沒有確定的值，由上式可知：粒子可處于任何一個態(tài)Ψp（r,t），但是當(dāng)粒子的狀態(tài)確定后，粒子動量處于某一確定值的幾率是一定的。2、由于量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理是幾率波的迭加，所以φ1+φ1=2φ1不是新的態(tài)，只不過未歸一化。在態(tài)φ=c1φ1+c2φ1進行測量時，發(fā)現(xiàn)粒子要么處在φ1，要么處在φ2?！?.3

薛定諤方程粒子狀態(tài)隨時間變化遵從怎樣的規(guī)律呢？

薛定諤建立的適用于低速情況的、描述微觀粒子在外力場中運動的微分方程,稱為薛定諤方程。薛定諤方程應(yīng)滿足的條件：1線性方程。態(tài)迭加原理所要求的。2方程的系數(shù)不應(yīng)包含狀態(tài)參量，如動量、能量等?？梢院匈|(zhì)量、電量等粒子內(nèi)稟量，應(yīng)含有普朗克常數(shù)是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一，只能建立，不能推導(dǎo)，其正確性由實驗檢驗。同理有(2.3-3)由得此式滿足前面所述條件。改寫2.3-2和2.3-3為式中是劈形算符：(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)由（2.3-6）(2.3-7)式可看出，E,p各與以下算符相當(dāng)：（2.3-8）分別稱為能量算符和動量算符。對于多粒子體系(2.3-11)薛定諤方程為(2.3-12)式中——多粒子體系的薛定諤方程討論：1、薛定諤方程也稱波動方程，描述在勢場U中粒子狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律。2、建立方程而不是推導(dǎo)方程，正確性由實驗驗證。薛定諤方程實質(zhì)上是一種基本假設(shè)，不能從其他更基本原理或方程推導(dǎo)出來，它的正確性由它解出的結(jié)果是否符合實驗來檢驗。3、薛定諤方程是線性方程。是微觀粒子的基本方程，相當(dāng)于牛頓方程。4、自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式，否則不滿足自由粒子薛定諤方程。5、薛定諤方程是非相對論的方程。

用薛定諤方程求解問題的思路：1.寫出具體問題中勢函數(shù)U(r)的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù)只有E取某些特定值時才有解本征值本征函數(shù)4.討論解的物理意義，即求|

|2，得出粒子在空間的概率分布。作業(yè)：2.1代入（2.4-2）式得(2.4-3)令(2.4-4)可得(2.4-5)此式具有連續(xù)性方程的性質(zhì)。將其對空間某體積積分(2.4-6)由高斯定理得(2.4-7)等式左邊表示單位時間內(nèi)體積V中幾率的增加,右邊是矢量J在體積V的邊界面上法向分量的面積分。故可把J解釋為幾率流密度矢量，Jn表示單位時間內(nèi)流過S上單位面積的幾率。若波函數(shù)在無限遠處為零，則有(2.4-8)表明整個空間內(nèi)找到粒子的幾率與時間無關(guān)。若波函數(shù)是歸一的，則將保持其歸一性不變。這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價的。幾率守恒定律表明幾率不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。定義質(zhì)量密度質(zhì)量流密度由（2.4-5）可得2.4-9——質(zhì)量守恒定律，單位時間內(nèi)體積V內(nèi)質(zhì)量的改變，等于穿過V的邊界S流進或流出的質(zhì)量。定義電荷密度電流密度則有2.4-10——電荷守恒定律，粒子的電荷總量不隨時間改變。§2.5定態(tài)薛定諤方程討論勢能函數(shù)與時間無關(guān)的情形，即U(r)不含時間，此時粒子的能量是一個與時間無關(guān)的常量，這種狀態(tài)稱為定態(tài)，對應(yīng)的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。說明：

幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動來實現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。2.5-1把此式帶入方程2.3-10中，兩邊除以若等式成立，需兩邊等于一常量，設(shè)該常量為E，則有2.5-22.5-3可考慮用分離變量法求薛定諤方程的一種特解。設(shè)2.5-2的解為C為任意常數(shù)，此式代入2.5-1得到薛定諤方程的特解2.5-4可看出，這個波函數(shù)與時間成正弦關(guān)系，其角頻率是，根據(jù)德布羅意關(guān)系，E就是體系處于這個波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時的能量。此時能量具有確定值，稱這種狀態(tài)為定態(tài)。該波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。在定態(tài)中，幾率密度、幾率流密度都與時間無關(guān)。2.5-3式稱為定態(tài)薛定諤方程。函數(shù)也稱為波函數(shù)，可由2.5-3式和具體條件求出,且有分別乘以2.5-2和2.5-3式兩邊得2.5-52.5-6算符完全相當(dāng)，都稱為能量算符。也稱為哈密頓算符，表示為，2.5-6式可寫為2.5-7本征值方程，本征值，本征函數(shù)，能量本征態(tài)討論定態(tài)問題就是求出體系可能的定態(tài)波函數(shù)，和這些態(tài)中的能量E；亦即解定態(tài)薛定諤方程，求出能量的可能值E和波函數(shù)。表示能量算符的第n個本征值En對應(yīng)的波函數(shù)，則有含時薛定諤方程的一般解可寫為式中cn是常系數(shù)§2.6一維無限深勢阱一維空間中運動的粒子，其勢能分布為（如圖）2.6-1U(x)x-a0a一維無限深勢阱這種勢稱為一維無限深勢阱。在阱內(nèi)，體系滿足定態(tài)薛定諤方程2.6-2在阱外，體系滿足定態(tài)薛定諤方程2.6-3式中，。根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性、有限性條件，2.6-3式成立需滿足2.6-4引入符號2.6-52.6-2式簡化為其通解為2.6-6根據(jù)邊界條件2.6-4式可得兩式分別相加減可得2.6-7由于A、B不能同時為零，得到兩組解2.6-82.6-9解得（n為奇數(shù)，對應(yīng)第一組解n為偶數(shù)，對應(yīng)第二組解）2.6-10由此可得到體系的能量為n=整數(shù)2.6-11結(jié)果說明粒子被束縛在勢阱中，體系能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。兩組解對應(yīng)的波函數(shù)分別為2.6-122.6-13兩式合并得2.6-14波函數(shù)已進行了歸一化。粒子的定態(tài)波函數(shù)為2.6-15可看出波函數(shù)是駐波。束縛態(tài)：無限遠處波函數(shù)為零的狀態(tài)基態(tài)：體系能量最低的態(tài)n為偶數(shù)時，由2.6-12式可得n為奇數(shù)時，由2.6-13式可得一維無限深勢阱中=1=2=3=4x粒子的波函數(shù)0nnnnax0a例題：勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）在經(jīng)典力學(xué)中,若,粒子的動能為正,它只能在I區(qū)中運動。即粒子運動到勢壘左邊緣就被反射回去，不能穿過勢壘。OIIIIII在量子力學(xué)中,無論粒子能量是大于還是小于都有一定的幾率穿過勢壘，也有一定的幾率被反射。這種現(xiàn)象已經(jīng)實驗證實。我們下面只就時，討論薛定諤方程的解。勢壘的勢場分布寫為：在三個區(qū)間內(nèi)波函數(shù)應(yīng)遵從的薛定諤方程分別為：OIIIIII定態(tài)薛定諤方程的解又如何呢？令：定態(tài)解的含時部分：三個區(qū)間的薛定諤方程化為：若考慮粒子是從I區(qū)入射，在I區(qū)中有入射波反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到III區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在

處的幾率要大于在處出現(xiàn)的幾率。其解為：根據(jù)邊界條件：求出解的形式畫于圖中。定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：IIIIII隧道效應(yīng)當(dāng)

時，勢壘的寬度約50nm以上時，貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應(yīng)在實際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。作業(yè)：2.2,3,4

§2.7線性諧振子

什么叫諧振子？彈簧振子、單擺就是諧振子，它們的位移或角位移滿足方程：諧振子在物理中很重要，很多物理問題都可以近似按諧振子處理。比如固體中的每個原子的微振動，就可以看成在各自平衡位置作簡諧振動。雙原子分子的振動可化為諧振子。這節(jié)介紹求解線性諧振子（一維）的定態(tài)薛定諤方程，解出波函數(shù)與能量，并作些討論。

若選取線性諧振子平衡位置為坐標(biāo)原點，并選取其為勢能的零點，則線性諧振子的勢能表示為：μ是粒子的質(zhì)量，k是諧振子的彈性系數(shù)。對經(jīng)典諧振子它是角頻率。線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：它是變系數(shù)二階常微分方程，可解。2.7-1引進參量和方程化為：*波函數(shù)在時的漸近行為：方程化為：其漸近解為：因為諧振子是處于束縛態(tài)應(yīng)舍棄解。所以有當(dāng)時2.7-22.7-32.7-4根據(jù)漸近行為方程解可寫為：2.7-5求導(dǎo)得代入原方程應(yīng)滿足：上述厄密微分方程的解是個無窮級數(shù)。為了保證束縛態(tài)邊界條件的成立，必須使這個級數(shù)只包含有限項，其條件是：2.7-6*得出滿足束縛邊界條件的級數(shù)解是：稱為厄密多項式。它的前幾個為：普遍表達式：2.7-72.7-152.7-142.7-11λ為奇數(shù)，即*能量本征值和零點能因為：所以線性諧振子的能級只能取分立值，能級間隔相等。線性諧振子基態(tài)能：稱為零點能。有關(guān)光被晶體散射的實驗，證明在趨于絕對零度時，散射光的強度趨于一確定值。說明原子有零點振動存在。常壓下，溫度趨于零度附近，液態(tài)氦也不會變成固體，具有顯著的零點能效應(yīng)。實驗事實：*能量本征函數(shù)和宇稱線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)——歸一化系數(shù)線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置幾率密度線性諧振子n