用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1-精講版課件

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（一）

一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（1）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)或出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)。（2）中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，累計頻率為0.5時所對應的樣本數(shù)據(jù)或將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)。（3）平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即例1.從某大型企業(yè)全體員工某月的月工資表中隨機抽取50名員工工資資料如下：

800800800800800100010001000100010001000100010001000100012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200150015001500150015001500150020002000200020002000250025002500計算這50個數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計這個企業(yè)員工的平均工資。解：眾數(shù)是1200，中位數(shù)是1200，平均數(shù)是這50個數(shù)值的和除以50得1320.

估計這個企業(yè)員工的平均工資是1320元.

所以用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)是1320元。

同樣，再隨機抽取50名員工的工資，計算所得的樣本平均數(shù)一般會與例1中的樣本平均數(shù)不同。所以用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)時，樣本的平均數(shù)只是總體的平均數(shù)的近似值。

下面我們用來看樣本平均數(shù)與樣本頻率直方圖的聯(lián)系。則有nx=x1+x2+……+xn.也就是把每個xi(i=1,2,3,…,n)都用x代替后，數(shù)據(jù)總和保持不變。

所以平均數(shù)x對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的數(shù)值平均水平。

在頻率分布直方圖中，平均數(shù)是直方圖的平衡點，假設橫軸是一塊放置直方圖的蹺蹺板，則支點取在平均數(shù)處時蹺蹺板達到平衡。我們知道,n個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)例2.某工廠人員及工資構成如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學徒合計周工資2200250220200100人數(shù)16510123合計22001500110020001006900（1）指出這個問題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；（2）這個問題中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的工資水平嗎？為什么？解：（1）由表格可知：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220。平均數(shù)為300（元/周）。（2）雖然平均數(shù)為300元/周，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平.三種數(shù)字特征的比較:（1）樣本眾數(shù)通常用來表示數(shù)據(jù)的中心值，容易計算，但是它只能表達樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息，通常用于描述分離變量的中心位置；（2）中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)的影響，容易計算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間的數(shù)據(jù)的信息。（3）平均數(shù)受樣本中的每一個數(shù)據(jù)的影響，“越離群”的數(shù)據(jù)，對平均數(shù)的影響也越大，與眾數(shù)和中位數(shù)相比，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，當樣本數(shù)據(jù)質量比較差時，使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置可能與實際情況產生較大的誤差。

在體育、文藝等各種比賽的評分中，使用的是平均數(shù)。計分過程中采用“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法，就是為了防止個別裁判的人為因素給出過高或過低的分數(shù)對選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量保證公平性。（4）如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值。在實際應用中，如果同時知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策。例3.右面是某校學生日睡眠時間的抽樣頻率分布表（單位：h），試估計該校學生的日平均睡眠時間。睡眠時間人數(shù)頻率[6,6.5)50.05[6.5,7)170.17[7,7.5)330.33[7.5,8)370.37[8,8.5)60.06[8.5,9]20.021001解1：總睡眠時間約為6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=739(h)

故平均睡眠時間約為7.39h解2：求各組中值與對應頻率之積的和，6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39(h)

估計該校學生的日平均睡眠時間約為7.39h例4.某單位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之間的職工所占的比分別為10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，試估計該單位職工的平均年收入。解：估計該單位職工的平均年收入為12500×10%+17500×15%+22500×20%+27500×25%+32500×15%+37500×10%+45000×5%=26125(元)答：估計該單位人均年收入約為26125元.練習題：1.若M個數(shù)的平均數(shù)是x，N個數(shù)的平均