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文檔簡介
2.3.3直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1.已知b⊥平面α,a?α,則a與b的位置關(guān)系是()A.a(chǎn)∥bB.a(chǎn)⊥bBC.a(chǎn)與b垂直相交D.a(chǎn)與b垂直且異面2.下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)是()C
①和一條直線成等角的兩平面平行;②和兩條異面直線都平行的兩平面平行;③和兩相交直線都平行的兩平面平行.A.0B.1C.2D.3解析:①假,②、③真.3.下面四個(gè)命題,其中真命題的個(gè)數(shù)為()B
①如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直;②過空間一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直;③一條直線和一個(gè)平面不垂直,這條直線和平面內(nèi)的所有直線都不垂直;④垂直于同一平面的兩條直線平行.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
4.兩個(gè)平面互相垂直,一條直線和其中一個(gè)平面平行,則這條直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)系是______________________.解析:②、④是真命題.相交、平行、在平面內(nèi)重點(diǎn)線面、面面垂直的性質(zhì)定理
1.線面垂直性質(zhì)定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行(線面垂直→線線平行). 2.面面垂直性質(zhì)定理①:兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.用符號語言表示為:若α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l,則a⊥β(面面垂直→線面垂直). 3.面面垂直性質(zhì)定理②:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi).直線與平面垂直的性質(zhì)定理的簡單應(yīng)用例1:如圖
1,在四面體P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,求證:PC⊥AB.圖1思維突破:要證線線垂直,可先證線面垂直,進(jìn)而由線面垂直的定義得出線線垂直.證明:過P作PH⊥平面ABC,垂足為H,連接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC,PA∩PH=P,∴BC⊥平面PAH.又AH?平面PAH,∴BC⊥AH.同理AC⊥BH,即H為△ABC的垂心,∴AB⊥CH.∵PH⊥AB,CH∩PH=H,∴AB⊥平面PCH.∵PC?平面PCH,∴PC⊥AB.點(diǎn)評:從本例可以進(jìn)一步體會線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解(證)題中的作用.1-1.已知a、b是兩條不同的直線,α、β為兩個(gè)不同的平面,a⊥α,b⊥β,則下列命題中不正確的是()BA.若a與b相交,則α與β相交B.若α與β相交,則a與b相交C.若a∥b,則α∥βD.若α⊥β,則a⊥b解析:α與β相交,a與b可能是異面直線.1-2.α、β是兩個(gè)不同的平面,m、n是α、β之外的兩條不同的直線,給出以下四個(gè)論斷:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題___________.解析:答案不唯一,如:②③④→①也正確.①③④→②圖2證明:作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC,∴AH⊥平面SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.又∵AH∩SA=A,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→線面垂直.平面與平面垂直的性質(zhì)定理的簡單應(yīng)用例2:如圖
2,在三棱錐S-ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.求證:AB⊥BC.2-1.如圖3,四棱錐V-ABCD的底面為矩形,側(cè)面VAB⊥底面ABCD,且VB⊥平面VAD.求證:平面VBC⊥平面VAC.圖3證明:∵四邊形ABCD為矩形,∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD,面VBA∩面ABCD=AB,∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD,∴VB⊥VA.∵VB∩BC=B,∴VA⊥面VBC.又∵VA?面VAC,∴面VBC⊥面VAC.面面垂直的綜合應(yīng)用例3:如圖
4,已知矩形ABCD,過A作SA⊥平面AC,AE⊥SB于E點(diǎn),過E作EF⊥SC于F點(diǎn).(1)求證:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求證:AG⊥SD.圖4證明:(1)∵SA⊥平面AC,BC?平面AC,∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE?平面SBC,∴BC⊥AE.又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,DC?平面AC,∴SA⊥DC.又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD.又AG?平面SAD,∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF,∴SC⊥AG,且SC∩DC=C,∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.3-1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面,平面PDC與平面ABCD成45°角,M、N分別為AB、PC的中點(diǎn).求證:平面MND⊥平面PDC.圖27證明:如圖27,設(shè)E為PD中點(diǎn),連接AE、EN,∵M(jìn)、N分別為AB、PC中點(diǎn),∴EN∥DC∥AB,∴四邊形AMNE為平行四邊形,∴MN∥AE.∴DC⊥AE,DC⊥PD,∴∠PDA是二面角P-DC-A的平面角.∵PDA=45°,又PA⊥AD,∴∠APD=45°,△PAD是等腰直角三角形.∵E為PD的中點(diǎn),∴AE⊥PD.又∵DC⊥AE,∴AE⊥平面PDC.又MN∥AE,∴MN⊥平面PDC.∴平面MND⊥平面PDC.∵PA⊥矩形ABCD所在的平面,∴PA⊥DC,PA⊥AD.又∵DC⊥AD,∴DC⊥平面PAD,而AE?平面PAD.例4:證明:如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面,那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面.錯(cuò)因剖析:找不準(zhǔn)輔助線,無從下手.證法一:如圖5,在γ內(nèi)取一點(diǎn)P,作PA垂直α與γ的交線于A,再作PB垂直β與γ的交線于B,則PA⊥α,PB⊥β.∵l=α∩β,∴l(xiāng)⊥PA,l⊥PB.∵α與β相交,∴PA與PB相交.又PA?γ,PB?γ,∴l(xiāng)⊥γ.圖5圖6
證法二:如圖6,在α內(nèi)作直線m垂直于α與γ的交線,在β內(nèi)作直線n垂直于β與γ的交線, ∵α⊥γ,β⊥γ, ∴m⊥γ,n⊥γ.
∴m∥n.又n?β, ∴m∥β,∴m∥l,∴l(xiāng)⊥γ.證法三:如圖7,在l上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作γ的垂線l′,但α∩β=l,∴l(xiāng)與l′重合,∴l(xiāng)⊥γ.圖7
點(diǎn)評:證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時(shí),在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個(gè)平面”這一性質(zhì),添加了在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線這樣的輔助線.這是證法一、證法二的關(guān)鍵.
證法三是利用“如果兩個(gè)平面
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