重積分-重積分的概念與性質(zhì)課件

8.1重積分的概念與性質(zhì)18.1重積分的概念與性質(zhì)18.1.1重積分的定義回顧在第五章中用定積分計(jì)算物體的質(zhì)量問(wèn)題，假定物體的密度是連續(xù)變化的。首先考慮一根長(zhǎng)度為l的細(xì)直桿的質(zhì)量。不妨假定它在軸上占據(jù)區(qū)間[0，l]，設(shè)其線密度為28.1.1重積分的定義回顧在第五章中用定積分如果我們所考慮的物體是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐標(biāo)面上的區(qū)域D，并設(shè)其面密度函數(shù)為=(x,y)≠常數(shù)。這里(x,y)>0且在D上連續(xù)。yxo3如果我們所考慮的物體是一平面薄板，不妨假定它占有如果我們考慮的物體占據(jù)三維空間o-xyz的閉區(qū)域Ω，其體密度函數(shù)為=(x,y,z)≠常數(shù),則其質(zhì)量可表示為4如果我們考慮的物體占據(jù)三維空間o-xyz的閉區(qū)域Ω，定義8.1.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將區(qū)域D任意分割成n個(gè)小區(qū)域如果當(dāng)各小區(qū)域直徑的最大值趨于零時(shí)，上述和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作5定義8.1.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)積分區(qū)域積分和積分變量被積表達(dá)式面積元素被積函數(shù)由二重積分的定義可知，平面薄板的質(zhì)量是面密度函數(shù)在薄板所占閉區(qū)域上的二重積分6積分區(qū)域積分和積分變量被積表達(dá)式面積元素被積函數(shù)定義8.1.2設(shè)是Rn中一個(gè)可求體積（n=2時(shí)為面積）的有界閉區(qū)域，f(X)是在上有定義的有界函數(shù)，將分割為彼此沒(méi)有公共內(nèi)點(diǎn)的任意閉子域7定義8.1.2設(shè)是Rn中一個(gè)可求體積（n=2時(shí)為面如果當(dāng)0時(shí)，上述和式的極限存在，并且該極限與的分割方式及Xi的取法無(wú)關(guān)，我們稱(chēng)該極限值為函數(shù)f(X)在上的n(重)積分，記為其中f(X)稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為積分區(qū)域，也稱(chēng)函數(shù)f(X)在上可積。特別地，當(dāng)n=2時(shí)函數(shù)f(X)=f(x,y)(x,y)D，即為函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分，d稱(chēng)為面積元素。8如果當(dāng)0時(shí)，上述和式的極限存在，并且該極限當(dāng)n=3時(shí)函數(shù)f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)，即為函數(shù)f(x,y,z)在上的三重積分，dv稱(chēng)為體積元素。有了上述定義，空間立體的質(zhì)量也可以通過(guò)密度函數(shù)的三重積分來(lái)表示，即可以證明定理8.1.1

(1)（充分條件）若f(X)在上連續(xù)，則它在上可積；(2)（必要條件）若f(X)在上可積，則它在上有界。9當(dāng)n=3時(shí)函數(shù)f(X)=f(x,y,z)(x,8.1.2 重積分的性質(zhì)我們僅給出二重積分的性質(zhì)，三重積分的性質(zhì)完全類(lèi)似。假設(shè)性質(zhì)中涉及的函數(shù)在相應(yīng)區(qū)域上均可積，D、D1、D2都是平面上的有界閉區(qū)域。(2)(關(guān)于被積函數(shù)的線性可加性）若、為常數(shù)，則表示D的面積108.1.2 重積分的性質(zhì)我們僅給出二重積(3)（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則(4)（積分不等式）如果在D上有f(x,y)g(x,y),則特別地，有11(3)（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則(4)（積分不等(5)（估值定理）設(shè)M、m分別是f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，表示D的面積，則(6)（中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，表示D的面積，則至少存在一點(diǎn)(,)，使下面僅給出結(jié)論(5)、(6)的證明。12(5)（估值定理）設(shè)M、m分別是f(x,y)在有界閉區(qū)域D上1313(1)D1：x軸、y軸及x+y=1所圍；(2)D2：(x2)2+(y1)22解

(1)因?yàn)樵趨^(qū)域D1上0

x+y1，(x+y)3

(x+y)2根據(jù)性質(zhì)5，得14(1)D1：x軸、y軸及x+y=1所圍；解(1)因?yàn)樵?2從圖形易知在D上除切點(diǎn)外，處處有x+y>1(x+y)2<(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)22該圓域與直線x+y=1相切。1512從圖形易知在D上除切點(diǎn)外，處處有x例3利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分的值。解因?yàn)閒x=2x，fy=8y，所以有駐點(diǎn)(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。16例3利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分的值。解因?yàn)閒x=2x顯然，在邊界上f(x,y)的最小值為2，最大值5。于是f(x,y)在D上的最小值為1，最大值為5，積分區(qū)域的面積為。所以有17顯然，在邊界上f(x,y)的最小值為2，最大值5。8.2二重積分的計(jì)算法利用二重積分的定義直接計(jì)算二重積分一般很困難，計(jì)算二重積分的基本途徑是將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，然后通過(guò)計(jì)算兩次定積分來(lái)計(jì)算二重積分。188.2二重積分的計(jì)算法利用二重積分8.2.1利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分設(shè)f(x,y)是定義在平面區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，以D為底面，以曲面f(x,y)為頂面，以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面為側(cè)面所圍成的立體稱(chēng)為曲頂柱體。如何求該曲頂柱體的體積呢？1、曲頂柱體的體積------

二重積分的幾何意義198.2.1利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分設(shè)f((1)分割用一組曲線網(wǎng)將D分成n個(gè)小閉區(qū)域1,2,

…,n

，分別以這些小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，這些柱面將原來(lái)的曲頂柱體分割成n個(gè)細(xì)曲頂柱體。20(1)分割用一組曲線網(wǎng)將D分成n個(gè)小閉區(qū)域1,(2)近似當(dāng)這些小區(qū)域的直徑di很小時(shí)，由于f(x,y)連續(xù)，對(duì)于同一個(gè)小區(qū)域上的不同點(diǎn)，f(x,y)的變化很小，細(xì)曲頂柱體可近似地看作平頂柱體21(2)近似當(dāng)這些小區(qū)域的直徑di很小時(shí)，由于21由二重積分定義立即得到這也是二重積分的幾何意義。22由二重積分定義立即得到這也是二重積分的幾何意義。2223232.區(qū)域的不等式組表示(舉例)例下列不等式組各表示什么區(qū)域242.區(qū)域的不等式組表示(舉例)例下列不等式組各表示什么區(qū)例下列圖形怎么用不等式（組）表示25例下列圖形怎么用不等式（組）表示253、二重積分的計(jì)算法用幾何觀點(diǎn)討論。應(yīng)用“定積分”中求“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法計(jì)算這個(gè)曲頂柱體的體積。(1)設(shè)f(x,y)0，f(x,y)在D上連續(xù)。［X－型］oabxyoabxy263、二重積分的計(jì)算法用幾何觀點(diǎn)討論。應(yīng)用“定積分”中求“平oax0

bxyz在區(qū)間[a,b]上任取一點(diǎn)x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間[

1(x0),

2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其截面面積為：先計(jì)算截面面積。27oax0b一般地，過(guò)區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面面積為：

于是，應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立方體體積的方法，得曲頂柱體體積為

這個(gè)體積也就是所求二重積分的值，從而有等式oax

bxyz28一般地，過(guò)區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的上式右端的積分叫做先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分。就是說(shuō)，先把x看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對(duì)y計(jì)算從1(x)到

2(x)的定積分；再把計(jì)算所得的結(jié)果（是x的函數(shù)）對(duì)x計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個(gè)先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分也常記作29上式右端的積分叫做先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分。［Y－型］DyoxdcyoxdcD30［Y－型］DyoxdyoxdD30計(jì)算時(shí)先把y看作常數(shù)，因此f(x,y)是x的一元函數(shù)，在區(qū)間1(y)x2(y)上對(duì)x積分,得到一個(gè)關(guān)于y的函數(shù),再在區(qū)間cyd上對(duì)y積分,。這就是把二重積分化為先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分的公式。31計(jì)算時(shí)先把y看作常數(shù)，因此f(x,y)是x的應(yīng)用公式(1)時(shí)，積分區(qū)域必須是X型區(qū)域。應(yīng)用公式(2)時(shí)，積分區(qū)域必須是Y型區(qū)域。X型區(qū)域D的特點(diǎn)是：穿過(guò)D內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)。Y型區(qū)域D的特點(diǎn)是：穿過(guò)D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)。32應(yīng)用公式(1)時(shí)，積分區(qū)域必須是X型區(qū)域。若積分區(qū)域D既不是X型區(qū)域也不是Y型區(qū)域，D，此時(shí)要將積分區(qū)域D分成幾部分，使得每一部分是X型區(qū)域或Y型區(qū)域，再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性可得整個(gè)區(qū)域上的積分。yox若積分區(qū)域D既是X型區(qū)域也是Y型區(qū)域，則。這表明二次積分可以交換積分次序。33若積分區(qū)域D既不是X型區(qū)域也不是Y型區(qū)域，D，此時(shí)4二重積分計(jì)算的一般方法要依被積函數(shù)及積分區(qū)域兩方面的情況選定積分順序?；癁閮纱螁畏e分(1)作圖，確定D的類(lèi)型。(2)選定積分順序。(3)定出積分上下限。(4)計(jì)算定積分。確定積分順序之后，積分的上下限是依D的特點(diǎn)而定的。要使兩次積分都能“積得出”，“易積出”。344二重積分計(jì)算的一般方法要依被積函數(shù)及積分區(qū)3535O1x(4,-2)-221

y(1，1)評(píng)注本例說(shuō)明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序，這時(shí)既要考慮區(qū)域D的形狀，又要考慮函數(shù)f(x,y)的特性。36O15交換積分順序①由所給的積分順序及積分限寫(xiě)出D的不等式表示并畫(huà)出積分區(qū)域的草圖②由積分區(qū)域按新的積分順序確定積分限。例3

交換以下積分的積分順序375交換積分順序①由所給的積分順序及積分限寫(xiě)出D的不等式表課內(nèi)練習(xí)一

改變以下二次積分的積分次序38課內(nèi)練習(xí)一改變以下二次積分的積分次序381o2xy1yx391o2xy1yx39y40y408.1重積分的概念與性質(zhì)418.1重積分的概念與性質(zhì)18.1.1重積分的定義回顧在第五章中用定積分計(jì)算物體的質(zhì)量問(wèn)題，假定物體的密度是連續(xù)變化的。首先考慮一根長(zhǎng)度為l的細(xì)直桿的質(zhì)量。不妨假定它在軸上占據(jù)區(qū)間[0，l]，設(shè)其線密度為428.1.1重積分的定義回顧在第五章中用定積分如果我們所考慮的物體是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐標(biāo)面上的區(qū)域D，并設(shè)其面密度函數(shù)為=(x,y)≠常數(shù)。這里(x,y)>0且在D上連續(xù)。yxo43如果我們所考慮的物體是一平面薄板，不妨假定它占有如果我們考慮的物體占據(jù)三維空間o-xyz的閉區(qū)域Ω，其體密度函數(shù)為=(x,y,z)≠常數(shù),則其質(zhì)量可表示為44如果我們考慮的物體占據(jù)三維空間o-xyz的閉區(qū)域Ω，定義8.1.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將區(qū)域D任意分割成n個(gè)小區(qū)域如果當(dāng)各小區(qū)域直徑的最大值趨于零時(shí)，上述和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作45定義8.1.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)積分區(qū)域積分和積分變量被積表達(dá)式面積元素被積函數(shù)由二重積分的定義可知，平面薄板的質(zhì)量是面密度函數(shù)在薄板所占閉區(qū)域上的二重積分46積分區(qū)域積分和積分變量被積表達(dá)式面積元素被積函數(shù)定義8.1.2設(shè)是Rn中一個(gè)可求體積（n=2時(shí)為面積）的有界閉區(qū)域，f(X)是在上有定義的有界函數(shù)，將分割為彼此沒(méi)有公共內(nèi)點(diǎn)的任意閉子域47定義8.1.2設(shè)是Rn中一個(gè)可求體積（n=2時(shí)為面如果當(dāng)0時(shí)，上述和式的極限存在，并且該極限與的分割方式及Xi的取法無(wú)關(guān)，我們稱(chēng)該極限值為函數(shù)f(X)在上的n(重)積分，記為其中f(X)稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為積分區(qū)域，也稱(chēng)函數(shù)f(X)在上可積。特別地，當(dāng)n=2時(shí)函數(shù)f(X)=f(x,y)(x,y)D，即為函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分，d稱(chēng)為面積元素。48如果當(dāng)0時(shí)，上述和式的極限存在，并且該極限當(dāng)n=3時(shí)函數(shù)f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)，即為函數(shù)f(x,y,z)在上的三重積分，dv稱(chēng)為體積元素。有了上述定義，空間立體的質(zhì)量也可以通過(guò)密度函數(shù)的三重積分來(lái)表示，即可以證明定理8.1.1

(1)（充分條件）若f(X)在上連續(xù)，則它在上可積；(2)（必要條件）若f(X)在上可積，則它在上有界。49當(dāng)n=3時(shí)函數(shù)f(X)=f(x,y,z)(x,8.1.2 重積分的性質(zhì)我們僅給出二重積分的性質(zhì)，三重積分的性質(zhì)完全類(lèi)似。假設(shè)性質(zhì)中涉及的函數(shù)在相應(yīng)區(qū)域上均可積，D、D1、D2都是平面上的有界閉區(qū)域。(2)(關(guān)于被積函數(shù)的線性可加性）若、為常數(shù)，則表示D的面積508.1.2 重積分的性質(zhì)我們僅給出二重積(3)（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則(4)（積分不等式）如果在D上有f(x,y)g(x,y),則特別地，有51(3)（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則(4)（積分不等(5)（估值定理）設(shè)M、m分別是f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，表示D的面積，則(6)（中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，表示D的面積，則至少存在一點(diǎn)(,)，使下面僅給出結(jié)論(5)、(6)的證明。52(5)（估值定理）設(shè)M、m分別是f(x,y)在有界閉區(qū)域D上5313(1)D1：x軸、y軸及x+y=1所圍；(2)D2：(x2)2+(y1)22解

(1)因?yàn)樵趨^(qū)域D1上0

x+y1，(x+y)3

(x+y)2根據(jù)性質(zhì)5，得54(1)D1：x軸、y軸及x+y=1所圍；解(1)因?yàn)樵?2從圖形易知在D上除切點(diǎn)外，處處有x+y>1(x+y)2<(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)22該圓域與直線x+y=1相切。5512從圖形易知在D上除切點(diǎn)外，處處有x例3利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分的值。解因?yàn)閒x=2x，fy=8y，所以有駐點(diǎn)(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。56例3利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分的值。解因?yàn)閒x=2x顯然，在邊界上f(x,y)的最小值為2，最大值5。于是f(x,y)在D上的最小值為1，最大值為5，積分區(qū)域的面積為。所以有57顯然，在邊界上f(x,y)的最小值為2，最大值5。8.2二重積分的計(jì)算法利用二重積分的定義直接計(jì)算二重積分一般很困難，計(jì)算二重積分的基本途徑是將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，然后通過(guò)計(jì)算兩次定積分來(lái)計(jì)算二重積分。588.2二重積分的計(jì)算法利用二重積分8.2.1利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分設(shè)f(x,y)是定義在平面區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，以D為底面，以曲面f(x,y)為頂面，以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面為側(cè)面所圍成的立體稱(chēng)為曲頂柱體。如何求該曲頂柱體的體積呢？1、曲頂柱體的體積------

二重積分的幾何意義598.2.1利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分設(shè)f((1)分割用一組曲線網(wǎng)將D分成n個(gè)小閉區(qū)域1,2,

…,n

，分別以這些小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，這些柱面將原來(lái)的曲頂柱體分割成n個(gè)細(xì)曲頂柱體。60(1)分割用一組曲線網(wǎng)將D分成n個(gè)小閉區(qū)域1,(2)近似當(dāng)這些小區(qū)域的直徑di很小時(shí)，由于f(x,y)連續(xù)，對(duì)于同一個(gè)小區(qū)域上的不同點(diǎn)，f(x,y)的變化很小，細(xì)曲頂柱體可近似地看作平頂柱體61(2)近似當(dāng)這些小區(qū)域的直徑di很小時(shí)，由于21由二重積分定義立即得到這也是二重積分的幾何意義。62由二重積分定義立即得到這也是二重積分的幾何意義。2263232.區(qū)域的不等式組表示(舉例)例下列不等式組各表示什么區(qū)域642.區(qū)域的不等式組表示(舉例)例下列不等式組各表示什么區(qū)例下列圖形怎么用不等式（組）表示65例下列圖形怎么用不等式（組）表示253、二重積分的計(jì)算法用幾何觀點(diǎn)討論。應(yīng)用“定積分”中求“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法計(jì)算這個(gè)曲頂柱體的體積。(1)設(shè)f(x,y)0，f(x,y)在D上連續(xù)。［X－型］oabxyoabxy663、二重積分的計(jì)算法用幾何觀點(diǎn)討論。應(yīng)用“定積分”中求“平oax0

bxyz在區(qū)間[a,b]上任取一點(diǎn)x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間[

1(x0),

2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其截面面積為：先計(jì)算截面面積。67oax0b一般地，過(guò)區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面面積為：

于是，應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立方體體積的方法，得曲頂柱體體積為

這個(gè)體積也就是所求二重積分的值，從而有等式oax

bxyz68一般地，過(guò)區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的上式右端的積分叫做先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分。就是說(shuō)，先把x看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對(duì)y計(jì)算從1(x)到

2(x)的定積分；再把計(jì)算所得的結(jié)果（是x的函數(shù)）對(duì)x計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個(gè)先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分也常記作69上式右端的積分叫做先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分。［Y－型］DyoxdcyoxdcD70［Y－型］DyoxdyoxdD30計(jì)算時(shí)先把y看作常數(shù)，因此f(x,y)是x的一元函數(shù)，在區(qū)間1(y)x2(y)上對(duì)x積分,得到一個(gè)關(guān)于y的函數(shù),再在區(qū)間