吉大材料力學

§5.5純彎曲理論對某些問題的擴充§5.6彎曲中心§5.7提高梁彎曲強度的主要措施如何簡化出火車車輪軸的計算模型?如何計算火車車輪軸內(nèi)的應力?如何設計車輪軸的橫截面?ωFF

§5.1

純彎曲及其變形MeFQFQ0MM=Me=cMe概念:FQ=0純彎曲M=

c(c為常數(shù))FQ≠

0M≠cFFaaQFFFa橫力彎曲首先研究純彎曲時橫截面上的應力問題已知是橫截面上的正應力組成了M，F(xiàn)但如何分布，大小都是未知，所以求解應力的問題

M屬靜不定問題中性層曲率-----1/中性軸--中性層與橫截面的交線(z)橫向線--直線--斜直線--夾角d縮短縱向線--直線--彎曲伸長畫線觀察一、實驗觀察(

=0)zyMMd二`、推理假設表面

里邊1.平面假設---變形前為平面的橫截面變形后仍為平面,且垂直于變形后的軸線γ=0 τ

=0

2.縱向纖維互不擠壓(縱向纖維間無)結

論:

對于均質(zhì),連續(xù)的等截面直梁在純彎時,橫截面上只產(chǎn)生正應力.(與橫截面的形狀無關)?！?.2純彎曲時梁橫截面上的正應力ρdydx一、變形幾何關系（應變-位移）凹邊變彎縮短

（-）中性層上變彎

無

凸邊變彎伸長

（+）d

dx

(dx)

(

y)d

d

y只要平面假設成立,則縱向纖維的線應變與它到中性軸的距離成正比,沿y軸線性分布。設

pEt=Ec=E

E

E

y

cy二.物理關系(

)橫截面上沿y軸線性分布,中性軸上=0.Et為材料拉伸彈性模量,Ec為壓縮彈性模量.zE

S

=0EAydA=0三`靜力關系FN=

AdA=0中性軸過形心EAyz

dA=0EyzI

=0y

AM

=

z

dA=0

y,z為形心主軸

E

yxzdAycEIZ1

MEIz為抗彎剛度

M

yIZMz=AydA=MEA2y

dA=

M

E

yxzdAyc幾點：M必須作用在與形心主慣性平面相重合或平行的平面必須是平面彎曲;橫截面可為任何實體,空心(非薄壁)面;若EtEc

,要分別導出公式;平面彎曲,單一材料,p,則中性軸一定過形心。的適用條件:IZM

y公式

平面彎曲純彎曲p

,

Et=Ec等截面直梁§5.3

橫力彎曲時梁橫截面上的正應力彎曲正應力強度條件一、橫力彎曲FFQM

有橫截面翹曲平面假設不成立當FQ=C?各橫截面翹曲相同，因橫截面翹曲不會引起附加線應變和正應力。IZ用公式

M

y計算仍是完全正確的，q當FQC各橫截面翹曲不相同IZMy

理論分析與實驗表明當

L/h

4用公式計算,其影響小于1.7工程上完全是允許將純彎曲等截面直梁條件放松公式推廣橫力彎曲變截面梁折梁曲梁IZ

MZ

yIZ

M

(

x)

y1.塑性材料二.彎曲正應力強度條件注意:當梁為變截面梁時,max

并不一定發(fā)生在|

M

|max

所在面上.zIy

max

M

maxmax令I

/y

=Wzz

maxWz

抗彎截面系數(shù)2.脆性材料因為: [t

]

<

[c

]所以分別建立強度條件當彎矩有極值正彎矩和負彎矩時,tmaxcmax都不一定發(fā)生在哪個截面上(當截面對中性軸不對稱時)注意:z

zc

maxt

maxct

max

t c

max

I

M

max

ycI

M

max

yt四.應用彎曲正應力強度條件解題步驟工件C例

5.1

已知[σ]=140MPa.求[F]2a

aAB201430zABxFC1212

1.07cm41.4

233

23Iz

ABxFCa+MWzmax

[]

Mmaxmax

BM

=M

=FazFa

W

[σ]aF

WZ[

]a[F]

WZ[

]

3000N例5.2已知F,G1,q,L,[σ],選擇工字鋼截面.4Mmax

(F

G1

)LF+G1

q

|

l/2 |

l/2|(+)MF+G1x4

1

(F

G

)LWzmax

[]

MmaxzM[]

1001cm3W

maxMqx8(+)qL2(+)MF+G1x4(F

G1

)L查表40a工字鋼Wz=1090cm3q=67.6kg/mM總

Mmax

MqWzmax137.34MPa

[]

M總滿足強度條件ACDFAy1mB1m

FBy1mxF1=9kNF2=4kN例5.3已知[σt],[σc],Iz,|y1

|,|y2|,試校核梁的強度.解:

求支反力為FAy=2.5kNFBy=10.5kNzy2ycABCD1m1m

1my=27.2MPaIzM

yB

1B截面:σtmax=-+M

2.5kN.m4kN.mxIzM

yB

2σ

=c

max=46.7MPaM

yc

2Izσ

=tmax=28.8MPaC截面:故分別進行校核.tmax

[t

]cmax

[c

]故滿足強度條件§5.4

橫力彎曲時梁橫截面上的切應力彎曲切應力強度條件一

.矩形截面

(設h>b)1.假設的分布://FQ且方向同F(xiàn)Q沿b均布xFh2h2yFQzbm

mM

M+dM`

xr

pn

ndxFN1τ`τ`=τFN2FN2>FN1有τ`FN2-FN1=τ`dx

bFx

0Fxdx2.τ的大小取出dx段切dx段∫A*

y1dA=

Sz*IZFN2=A*σdA

=

M+dM

S*ZZ=

MIA*ydA1

=MIZ

ZSZ*zS

*因此τ`=Izb

dMdxzFQ

S

*Iz

bτ=FN2-FN1=τ`dx

bFN1=A*σh2h2byFQ1y

ydAzA*τ沿y軸拋物線分布A*h2h2byFQyy11dy當y=0

時3FQmaxτ

=2b

h=1.5τ平均z

τmax*對某一截面而言,τ

隨Sz

變二.工字形截面maxzFQ

S

*Iz

bτ=thHbyy翼緣FQmaxτ腹

≈FQA腹τmaxd腹板zA*

ττmin三.圓形截面彈性力學結論:τmax=1.38τ平dyzτmaxFQmaxτ

=FQSz*zI

b=

4FQ3A=1.33τ

平四.閉口薄壁截面zyyzτmaxτ與周邊相切沿壁厚均勻分布,形成切應力流.FQFQτmax五.需要對切應力進行強度校核的情況⒈短梁和集中力靠近支座⒉木梁⒊焊,鉚或膠合而成的梁⒋薄壁截面梁六.彎曲切應力強度條件對于等直梁

τmax≤[τ]I

bzS*FQmax

max

zmax

[

]解:作FQ

M圖Fzhlbmaxτ

=2A3F=Q

3F2bhFQFxMFl例5.4

已知F

b

h

l求σmaxτmax=max=MmaxWz6plbh2故=4σmaxτmaxlhF例.5.5:兩個相同材料的矩形截面疊梁.設兩梁間無摩檫,求σmaxMmax=

Fl

2max=WzMmax

=

12Flbh2解:每梁的變形相同任一梁的端處所受外力均為F2h/2blFh/2σmax在 端有一直徑為d的螺栓,求σmax及螺栓截面的FQ1lFdσmaxmaxσ

=MmaxWz=

6Flbh2解:兩梁作為一整體Mmax

=Fl故據(jù)切應力互等定理,中性層面有均勻分布的τmax求剪力FQ

1在中性軸處有垂直中性軸2A

2bhmax

3F

3FQlFd2hmaxQ1bl

3FlF

其合力與FQ1平衡,即§5.5

純彎理論對某些問題的擴充Izσ=

M

y計算橫力彎曲㈠ 擴充到橫力彎曲問題由彈性力學的精確分析表明當Lh≥4

時其影響小于1.7%因而此時也可用公式bhh2121zyaσ1=E1ε1σ2=E2ε2ε1ε2㈡組合梁的彎曲正應力E1yρE2yρ和

1

=Mz可得:σx1=E1I1+

E2I2σx2

=

z

1

ρM

E

yE1I1+

E2I2M

E

y

z

2

E1I1+

E2I2§5.6

彎曲中心一.什么叫彎曲中心截面上切應力合力的作用點叫彎心,也稱剪心注意

彎心只與截面的形狀和尺寸有關,是

一個幾何點,是截面的幾何性質(zhì).二.只彎不扭的條件當橫向力F通過彎心時,則梁只彎而不扭,彎心也稱為扭心.三.產(chǎn)生平面彎曲的條件充分條件:梁截面有縱 稱軸,梁有縱向?qū)ΨQ面,所有載荷包括支反力都作用在縱稱面內(nèi),則梁一定產(chǎn)生平面彎曲.必要條件:橫向力過彎心且平行主形心慣性軸.⒉有一個對稱軸,則一定在對稱軸上;⒊有幾支組成,則在支的交點上.?四.常見截面彎心的大致位置⒈有兩個對稱軸,形心即是.???

????§5.7

提高彎曲強度的主要措施彎曲強度主要取決于σmax㈠

合理安排梁的受力情況⒈合理設計和布置支座lqxMql2/2(a)max=Mmax

≤[σ]WzMmax=

1

ql22=0.5ql2。。q(b)Mxlql2/8lq0.2l。。0.2lxM

ql2/40=0.125ql2ql2Mmax=

8=0.025ql2ql2