虛位移原理課件

虛位移原理

靜力學(xué)中研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。對(duì)于一般的非自由質(zhì)點(diǎn)（包括可變形的剛體系統(tǒng)）而言，其平衡條件比剛體復(fù)雜。例如，以無(wú)重剛體連接的兩質(zhì)點(diǎn)在等值，反向，共線的兩軸向拉力和壓力的作用下均可平衡，但是若將剛桿換為柔繩，則在軸向壓力下，雖然力系也滿足平衡條件，但此兩質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)卻不能平衡。由此可見(jiàn)，剛體平衡必要充分條件對(duì)一般的非自由質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)就不是充分的。因此，不能只依靠剛體平衡必要充分條件去解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。虛位移原理靜力學(xué)中研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。對(duì)

本章介紹虛位移原理，又稱為分析靜力學(xué)。虛位移原理是非自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的一般規(guī)律，它給出了任一非作自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件，是解答平衡問(wèn)題的最一般的原理。剛體在力的作用下不變形，在剛體靜力學(xué)中僅從作用于剛體上的力系的簡(jiǎn)化結(jié)果就可得出剛體的平衡條件。由于非自由質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置可以改變，并且相對(duì)位置的改變又因約束的存在而受到某些限制，問(wèn)題較為復(fù)雜。必須首先研究約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響，以及質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)所可能發(fā)生的位移等。本章介紹虛位移原理，又稱為分析靜力學(xué)。

約束與約束方程,自由度與廣義坐標(biāo)

1約束

在靜力學(xué)中，曾經(jīng)將限制某物體運(yùn)動(dòng)的其它物體稱為約束，約束對(duì)被約束物體的作用表現(xiàn)為約束反力?，F(xiàn)在從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看約束的作用，給約束下一廣義的定義：如一非自由質(zhì)點(diǎn)系的位置和速度受到某些預(yù)定條件的限制，這種限制條件稱為約束。例如，車(chē)輪限制在直線軌跡上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，這時(shí)約束就表現(xiàn)為限制車(chē)輪中心到軌跡的距離不變，車(chē)輪上每瞬時(shí)與軌跡接觸點(diǎn)（瞬心）的速度為0。該限制條件就是約束。約束與約束方程,自由度與廣義坐標(biāo)1約束例如，車(chē)輪限制在2約束方程約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的限制以通過(guò)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和速度的數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，這方程稱為約束方程。3

約束分類（1）按約束的作用分：幾何約束——只限制質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系幾何位置的約束；運(yùn)動(dòng)約束——能限制質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)速度的約束；2約束方程幾何約束的約束方程：即質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)在約束的限制條件下所必須滿足的條件。

例如圖示小球借剛桿而懸于o，小球運(yùn)動(dòng)限制在圖示鉛垂平面內(nèi)繞點(diǎn)作以桿長(zhǎng)L為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。

則其約束方程為確定M點(diǎn)位置的方程：M點(diǎn)在任何位置都滿足這一方程。幾何約束的約束方程：例如圖示小球借剛桿而懸于o，小

又如：圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)，可簡(jiǎn)化為由曲柄銷(xiāo)A和滑塊B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系。軸承，剛性桿A和AB以及滑道形成了對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的約束，其相應(yīng)的約束方程為：又如：圖示曲柄其相應(yīng)的約束方程為：(b)運(yùn)動(dòng)約束的約束方程：約束方程中含有質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)的速度稱為運(yùn)動(dòng)約束。例如：沿直線軌道只滾不滑的車(chē)輪約束的限制條件為：限制輪緣上與地面相接觸點(diǎn)I的速度為0，其約束方程為：

(b)運(yùn)動(dòng)約束的約束方程：約束的限制條件為：（2）按約束方程是否可積分分類：完整約束——可積分的運(yùn)動(dòng)約束和幾何約束非完整約束——不可積分的運(yùn)動(dòng)約束

如以下的運(yùn)動(dòng)方程中：

式中雖然有對(duì)時(shí)間t的微分項(xiàng)，但可以積分為有限形式。（2）按約束方程是否可積分分類：如以下的運(yùn)動(dòng)方程中：（3）約束按是否隨時(shí)間變化而分：定常約束——質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)其運(yùn)動(dòng)的限制條件不隨時(shí)間變化的約束。非定常約束——凡約束條件隨時(shí)間變化的約束。

定常約束，即質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)其運(yùn)動(dòng)的限制條件不隨時(shí)間變化的約束稱為定常約束，定常約束的約束方程中不含時(shí)間變量，如前面幾個(gè)例子中的約束均為定常約束。

（3）約束按是否隨時(shí)間變化而分：定常約束，即質(zhì)點(diǎn)系所

非定常約束的約束方程中顯含時(shí)間變量t,例如圖示擺，其懸掛點(diǎn)o’沿鉛垂方向按

規(guī)律運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)M的約束方程為：式中顯含時(shí)間t，屬于非定常約束。非定常約束的約束方程中顯含時(shí)間變量t,規(guī)律雙側(cè)約束（固執(zhí)約束）——約束方程是等式的（同時(shí)限制質(zhì)點(diǎn)某方向及相反方向運(yùn)動(dòng)的約束）單側(cè)約束（非固執(zhí)單側(cè)約束）——約束方程為不等式的。（只能限制質(zhì)點(diǎn)某方向的運(yùn)動(dòng)，不能限制其相反方向的運(yùn)動(dòng)）本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；雙側(cè)約束（固執(zhí)約束）——約束方程是等式的4

自由度：

在一般情況下，若由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受到S個(gè)定常完整約束的限制，則其約束方程為：

此即確定質(zhì)點(diǎn)系位置的3n個(gè)坐標(biāo)所應(yīng)滿足的S個(gè)關(guān)系式。由此可見(jiàn)，如果在3n個(gè)坐標(biāo)xi、yi、zi(i=1,2,…,n)中知道了3n-S個(gè)彼此獨(dú)立的坐標(biāo)，并利用此S個(gè)約束方程，即可解出其余S個(gè)未知的坐標(biāo)，于是，便可完全確定質(zhì)點(diǎn)系的位置。

4

自由度：此即確定質(zhì)點(diǎn)系位置的3n個(gè)坐標(biāo)所自由度數(shù)：

確定具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為該質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)。以k表示自由度數(shù)，則上述具有S個(gè)完整約束并由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)：

k＝3n－S,具有k個(gè)自由度（平面k＝2n－S）

例如：雙擺的約束方程為：約束為完整約束，所以在確定雙擺位置的4個(gè)坐標(biāo)xA,yA,xB,yB中只有2個(gè)是獨(dú)立的（如xA,yB），因此，雙擺的自由度為：k=2n-2=2

自由度數(shù)：例如：雙擺的約束方程為：約束為完整約束，所以在

事實(shí)上，該例中只要確定φ1、φ2，那么A.B的位置坐標(biāo)也就完全確定了，位置坐標(biāo)可表示為：

φ1、φ2起到了確定該質(zhì)點(diǎn)位置的作用，稱為廣義坐標(biāo)。事實(shí)上，該例中只要確定φ1、φ2，那么A.5

廣義坐標(biāo)：凡能借以確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量稱為質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)可以是直角坐標(biāo)x，y，z，球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)，弧坐標(biāo)，轉(zhuǎn)角等，也可以是其它的任何確定質(zhì)點(diǎn)系位置的量，甚至還可以是壓強(qiáng)和體積。

而且，對(duì)于完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度數(shù)與廣義坐標(biāo)數(shù)相等。如前例中雙擺，自由度數(shù)為2，廣義坐標(biāo)亦為2。一般來(lái)說(shuō)，由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的并具有定常的完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，若自由度數(shù)為k，則可選取k個(gè)獨(dú)立的參變量q1,q2,…,qk作為其廣義坐標(biāo)。5

廣義坐標(biāo)：而且，對(duì)于完整約束的質(zhì)點(diǎn)系

——此即用廣義坐標(biāo)表示的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，其中隱含了約束條件。于是有：——此即用廣義坐標(biāo)表示的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，虛位移

（1）定義：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在約束允許的條件下，所可能發(fā)生的任何的微小位移稱為質(zhì)點(diǎn)的虛位移。(2)實(shí)例：如圖所示的質(zhì)點(diǎn)，受一曲面約束，質(zhì)點(diǎn)在此曲面上運(yùn)動(dòng)，在法線w方向上，約束質(zhì)點(diǎn)限制運(yùn)動(dòng)。約束所能允許的微小位移（虛位移）只能沿切平面。虛位移（1）定義：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在約束允許的條件下，所可能(3)實(shí)位移與虛位移的共同點(diǎn)：（1）虛位移和實(shí)位移都是約束所允許的位移。（2）在定常約束條件下，實(shí)位移是若干虛位移中的一個(gè)。(3)實(shí)位移與虛位移的共同點(diǎn)：(3)實(shí)位移與虛位移的區(qū)別：實(shí)位移――質(zhì)點(diǎn)在一定的時(shí)間內(nèi)所完成的真實(shí)位移，可以是有限量，也可以是無(wú)限量的，決定于物體的主動(dòng)力和約束條件，初始條件（初速度，初位移等）虛位移――不受時(shí)間限制，與力的作用無(wú)關(guān)，決定于約束的幾何位置，只要約束允許，其虛位移即可以沿不同的方向，但只能是微小量。

(3)實(shí)位移與虛位移的區(qū)別：(3)實(shí)位移與虛位移的區(qū)別：（1）虛位移是假想的，實(shí)位移是真實(shí)的。（2）虛位移可以朝約束允許的任意方向運(yùn)動(dòng)，實(shí)位移只有一運(yùn)動(dòng)方向。（3）靜止時(shí)，可以有虛位移，而無(wú)實(shí)位移。（4）實(shí)位移可以是微小值dr,也可能是有限值△r，虛位移只能是δr。（5）完成實(shí)位移需要時(shí)間，而虛位移不同的瞬時(shí)處于不同位置就有不同的虛位移。(3)實(shí)位移與虛位移的區(qū)別：例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)：

如果ω方向確定了，A點(diǎn)及B點(diǎn)的實(shí)際位移方向就決定于ω的轉(zhuǎn)向。而虛位移則不論ω的方向如何，只要是約束允許的即可隨意假設(shè)。符號(hào)區(qū)別：

定常約束情況下，實(shí)位移是所有虛位移中的一個(gè)。對(duì)于非定常約束，虛位移指某一個(gè)瞬時(shí)將時(shí)間固定，約束所能允許的微小位移。而實(shí)位移是不能固定時(shí)間的。例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)：如果ω方向確定了，A點(diǎn)及B點(diǎn)虛位移的求法：

①幾何法：非自由質(zhì)點(diǎn)系在中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)應(yīng)位置必須滿足相應(yīng)的約束條件，因而在各點(diǎn)虛位移之間就存在著一定的關(guān)系。對(duì)于剛體或剛體系統(tǒng)而言，各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系與該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)各點(diǎn)速度之間的關(guān)系相同。虛位移的求法：如上述曲柄連桿機(jī)構(gòu)：若給A點(diǎn)虛位移δrA，則曲柄的虛轉(zhuǎn)角為：δφ＝δrA

／r。曲柄上各點(diǎn)的虛位移與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體各點(diǎn)的速度一樣求法，為到轉(zhuǎn)軸的距離×δφ。同理，由于連桿AB的限制，A,B兩點(diǎn)間的距離不能改變，故可以認(rèn)為B點(diǎn)與δrA

相應(yīng)的虛位移δrB是由于連桿AB繞瞬心I轉(zhuǎn)過(guò)一虛轉(zhuǎn)角δφI

而得到的，且：如上述曲柄連桿機(jī)構(gòu)：若給A點(diǎn)虛位移δrA，則曲柄的虛轉(zhuǎn)角從而得到B點(diǎn)的虛位移δrB

為：

顯然，A,B兩點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系與速度關(guān)系完全相同。對(duì)于作平面運(yùn)動(dòng)的A,B桿上其余各點(diǎn)的虛位移可以同樣求得。（用速度瞬心法）從而得到B點(diǎn)的虛位移δrB為：顯然，A,B兩點(diǎn)虛第十四章--虛位移原理課件②解析法：

解析法是將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)以廣義坐標(biāo)表示，對(duì)廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)之和表示其虛位移。如前述的復(fù)擺，自由度為2(k=2n-2=2),約束方程為2，這時(shí)，只要選擇了兩個(gè)廣義坐標(biāo)φ1，φ2，A,B兩質(zhì)點(diǎn)的位置即可完全確定。②解析法：第十四章--虛位移原理課件解析法求虛位移公式推導(dǎo)：

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，并且由S個(gè)完整約束，自由度k＝3n－S，選擇k個(gè)廣義坐標(biāo)q1，q2，…，qk以表示質(zhì)點(diǎn)系中k個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置。若給質(zhì)點(diǎn)系以任意的虛位移，則各廣義坐標(biāo)均應(yīng)有相應(yīng)的微小改變（稱為廣義虛位移），并分別以δq1，δq2，…，δqk表示。質(zhì)點(diǎn)系中任一點(diǎn)Mi的任一坐標(biāo)，如xi就有相應(yīng)的微小改變量δxi，則Mi以廣義坐標(biāo)表示的位置坐標(biāo)為：

利用多元函數(shù)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略去二階以上的微量，則有：解析法求虛位移公式推導(dǎo)：利用多元函數(shù)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，推得到解析法求虛位移的公式推得到解析法求虛位移的公式1定義：其表達(dá)式為

約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上所作元功為0的約束稱為理想約束。換言之：理想約束的約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上不作功。理想約束1定義：其表達(dá)式為約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上2幾種理想約束（1）光滑支承面約束：(2)中間鉸（包括固定鉸支座，軸承，活動(dòng)鉸等）FN和FN’為其兩桿反力，且有FN＝－FN’，二力的作用點(diǎn)在O點(diǎn)的虛位移所作的元功之和為0，即：2幾種理想約束(2)中間鉸（包括固定鉸支座，軸承，活動(dòng)鉸連桿（二力桿）連接兩質(zhì)點(diǎn)

A,B兩質(zhì)點(diǎn)以無(wú)重剛體相連，所受的約束反力分別為：

連桿（二力桿）連接兩質(zhì)點(diǎn)連接兩點(diǎn)不可伸長(zhǎng)的的柔性約束兩質(zhì)點(diǎn)A和B以不可伸長(zhǎng)且跨過(guò)滑輪的受拉柔繩相連，繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力分別為：

0δrFδrFABFFFFBTBATATBTATBTA=×+×\=：所作的功之和為0，即約束反力在虛位移上從而，可得出：繩上的投影應(yīng)相等，兩點(diǎn)的虛位移在繩子不可伸長(zhǎng)，（大小相等），且有：與Q連接兩點(diǎn)不可伸長(zhǎng)的的柔性約束0δrFδrFABFFFFBTB1虛位移原理：

具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置的必要充分條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)處于該位置時(shí)的任何虛位移上所作的元功之和為0。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

虛位移原理注：“處于平衡位置”是指質(zhì)點(diǎn)系在該位置所受的主動(dòng)力與約束反力相平衡，從而質(zhì)點(diǎn)系的加速度為0，如速度亦為0，則質(zhì)點(diǎn)系靜止。

1虛位移原理：虛位移原理注：“處于平衡位置”是指質(zhì)點(diǎn)系在該如圖示單擺：在OA位置，

OA為平衡位置。如采用直角坐標(biāo)，則得虛位移原理的解析表達(dá)式為：

如圖示單擺：OA為平衡位置。2原理的證明：（1）必要性―――即要證明：若質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置，上式必然成立。若質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置，其中任一質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力Fi與約束反力FNi互成平衡，即有：

2原理的證明：主動(dòng)力與約束反力在質(zhì)點(diǎn)的虛位移上作的元功：對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)一個(gè)該方程（即認(rèn)為i＝1，2，…，n）,然后連加起來(lái)得：主動(dòng)力與約束反力在質(zhì)點(diǎn)的虛位移上作的元功：對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)一（2）充分性：即要證明若成立，質(zhì)點(diǎn)必平衡。采用反證法，設(shè)質(zhì)點(diǎn)不平衡，有成立，那么質(zhì)點(diǎn)系從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，并在微元時(shí)間內(nèi)發(fā)生微小實(shí)位移，則有微小動(dòng)能：（2）充分性：即要證明若成立，第十四章--虛位移原理課件3討論：（1）如果質(zhì)點(diǎn)系有摩擦力和彈性力，則將其看作主動(dòng)力，同樣應(yīng)用虛位移原理；（2）如質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力包括有主動(dòng)力矩，那么相應(yīng)的虛位移應(yīng)為虛轉(zhuǎn)角。4虛位移原理的應(yīng)用（1）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)間的位置；（2）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時(shí)，未知的約束力。

3討論：例題1在曲柄式壓榨機(jī)OAB的中間銷(xiāo)釘A上作用一水平力F，此力位于OAB平面內(nèi)，如

求物體M所受的壓力。設(shè)O為光滑鉸鏈，壓板D與鉛垂接觸面間為光滑接觸，且板和桿的質(zhì)量均不計(jì)。例題1在曲柄式壓榨機(jī)OAB的中間銷(xiāo)釘A上作用一求物體M解：（1）研究由桿OA，OB和壓板D所組成的系統(tǒng)的平衡（2）建立圖示坐標(biāo)，受力分析(主動(dòng)力)

（3）約束分析：因光滑鉸且光滑接觸，所以均是定常的理想約束，如對(duì)其建立約束方程，則方程中不會(huì)顯含t，所以可用虛位移解題。解：（1）研究由桿OA，OB和壓板D所組成的系統(tǒng)（4）求出虛位移：質(zhì)點(diǎn)系為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，其自由度為1，選θ為廣義坐標(biāo)，由解析法可得：

（4）求出虛位移：質(zhì)點(diǎn)系為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，其(5)應(yīng)用虛位移原理求解(5)應(yīng)用虛位移原理求解如用幾何法求解：

給一虛位移轉(zhuǎn)角δθ，則A點(diǎn)虛位移如用幾何法求解：與用幾何法求解的結(jié)果一樣。

與用幾何法求解的結(jié)果一樣。例2圖示為一多跨靜定梁，試求支座B的約束反力。

例2圖示為一多跨靜定梁，試求支座B的約束反力。解：為求支座B的反力，應(yīng)撤去支座B而代之以相應(yīng)的反力RB，視其為主動(dòng)力之一，于是系統(tǒng)可有微小的移動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）給系統(tǒng)以虛位移，如圖（注意虛位移應(yīng)是約束允許的，故不能破壞其約束），由虛位移原理得：解：為求支座B的反力，應(yīng)撤去支座B而代之以相應(yīng)第十四章--虛位移原理課件例均質(zhì)桿OA及AB在A點(diǎn)用鉸鏈連接，并在O處用固定鉸支座支承，兩桿長(zhǎng)度分別為2a和2b，重分別為G1和G2，設(shè)在B點(diǎn)施加一水平力F，求系統(tǒng)平衡時(shí)兩桿與鉛垂線的夾角φ和ψ。例均質(zhì)桿OA及AB在A點(diǎn)用鉸鏈連接，并在O處用解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取廣義坐標(biāo)φ和ψ，建立坐標(biāo)如圖。采用解析法求虛位移：解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取廣義坐標(biāo)第十四章--虛位移原理課件第十四章--虛位移原理課件例：機(jī)構(gòu)如圖，已知：OA=O1B＝L，O1B⊥OO1，作用于OA上的力偶矩為M，試用虛位移原理求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)F力的大小。解：A點(diǎn)的虛位移如圖所示，例：機(jī)構(gòu)如圖，已知：OA=O1B＝L，O1B⊥OO1，作例圖示為一多跨靜定梁，試求B處約束反力。解要求支座B處反力，應(yīng)將支座B除去，代之以相應(yīng)的約束反力FB，并將其視為主動(dòng)力之一。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度系統(tǒng)，選δrB為獨(dú)立虛位移。給B點(diǎn)一虛位移δrB

，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖中虛線所示形狀。圖中各主動(dòng)力作用點(diǎn)處的虛位移分別用δr1、δr2

、δr3

及δθ表示。例圖示為一多跨靜定梁，試求B處約束反力。解要求支座B處反由虛位移原理有解得從而有由虛位移原理有解得從而有例5圖示為一多跨靜定梁，試求A端處約束反力偶矩及鉛垂反力。已知例5圖示為一多跨靜定梁，試求A端處約束反力偶矩及鉛垂反力。解①要求A端約束反力偶矩，可將固定端支座變成固定鉸支座，用約束反力偶矩MA代之去掉的相應(yīng)約束，并視為主動(dòng)力之一。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度系統(tǒng)，選δθ為獨(dú)立虛位移，給AB梁一虛位移δθ，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖虛線所示。解①要求A端約束反力偶矩，圖中各主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移分別用、和表示。由虛位移原理，得解得由圖知從而有圖中各主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移分別用、和表示。解得②要求A處鉛垂反力，可將固定端支座變成定向支座，用鉛垂約束反力FAY代之去掉的相應(yīng)約束，并視為主動(dòng)力。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度系統(tǒng)，選δrA為獨(dú)立虛位移，給AB梁A處一虛位移δrA，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖中虛線所示。同理，由虛位移原理可得解得由圖知從而有②要求A處鉛垂反力，可將固定端支座變成定向支座，用鉛垂同理，例6

剛架受荷載如圖所示，試求支座B處水平反力。解將B處的水平約束解除，代之以相應(yīng)的水平反力FBx，并將其視為主動(dòng)力之一。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度系統(tǒng)，選δrB為獨(dú)立虛位移，給B處的一虛位移δrB

，則系統(tǒng)的相應(yīng)虛位移如圖所示。例6剛架受荷載如圖所示，試求支座B處水平反力。解將B處由幾何法可知故(1)式可改寫(xiě)為由于，所以由虛位移原有由幾何法可知故(1)式可改寫(xiě)為由于，所以由虛位移原有

求：主動(dòng)力之間的關(guān)系。例圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中,連桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng),滑塊Ａ,Ｂ與桿重均不計(jì),忽略各處摩擦,機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。求：主動(dòng)力之間的關(guān)系。例圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中,解:(1)給虛位移由于在A,B連線上投影相等)代入虛功方程,有即解:(1)給虛位移由于(2)用解析法.建立坐標(biāo)系,由有得(2)用解析法.建立坐標(biāo)系,由有得(3)虛速度法定義:為虛速度

由速度投影定理,有代入上式得(3)虛速度法定義:例如圖所示機(jī)構(gòu),不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦,求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí),主動(dòng)力偶矩Ｍ與主動(dòng)力Ｆ之間的關(guān)系.例如圖所示機(jī)構(gòu),不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦,求機(jī)構(gòu)在圖解:給虛位移由圖中關(guān)系有代入虛功方程得解:給虛位移由圖中關(guān)系有代入虛功方程得用建立坐標(biāo),取變分的方法,有用虛速度法:代入到解得用建立坐標(biāo),取變分的方法,有用虛速度法:代入到解得求:例15-5求圖所示無(wú)重組合梁支座Ａ的約束力。求:例15-5求圖所示無(wú)重組合梁支座Ａ的約束力。解：解除A處約束，代之，給虛位移，如圖（b）代入虛功方程,得解：解除A處約束，代之，給虛位移，如圖（b）

通過(guò)以上的例子，可以看出，利用虛位移原理解題的基本步驟為：1）分析研究對(duì)象的組成情況，弄清已知條件，判斷約束是否為理想約束。2）正確進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力分析圖，弄清各主動(dòng)力間的關(guān)系及待求之系統(tǒng)的平衡位置，若求約束反力則需解除所求處約束并用相應(yīng)的約束反力代之。3）確定系統(tǒng)的自由度，合理選取廣義坐標(biāo)，并用解析法或幾何法求出各主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移及各有關(guān)點(diǎn)的虛位移與廣義坐標(biāo)變分間的關(guān)系式。4）根據(jù)虛位移原理，列方程，令廣義坐標(biāo)變分不為零，則可求得所需結(jié)果。通過(guò)以上的例子，可以看出，利用虛位移原理解題的基本步虛位移原理

靜力學(xué)中研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。對(duì)于一般的非自由質(zhì)點(diǎn)（包括可變形的剛體系統(tǒng)）而言，其平衡條件比剛體復(fù)雜。例如，以無(wú)重剛體連接的兩質(zhì)點(diǎn)在等值，反向，共線的兩軸向拉力和壓力的作用下均可平衡，但是若將剛桿換為柔繩，則在軸向壓力下，雖然力系也滿足平衡條件，但此兩質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)卻不能平衡。由此可見(jiàn)，剛體平衡必要充分條件對(duì)一般的非自由質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)就不是充分的。因此，不能只依靠剛體平衡必要充分條件去解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。虛位移原理靜力學(xué)中研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。對(duì)

本章介紹虛位移原理，又稱為分析靜力學(xué)。虛位移原理是非自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的一般規(guī)律，它給出了任一非作自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件，是解答平衡問(wèn)題的最一般的原理。剛體在力的作用下不變形，在剛體靜力學(xué)中僅從作用于剛體上的力系的簡(jiǎn)化結(jié)果就可得出剛體的平衡條件。由于非自由質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置可以改變，并且相對(duì)位置的改變又因約束的存在而受到某些限制，問(wèn)題較為復(fù)雜。必須首先研究約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響，以及質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)所可能發(fā)生的位移等。本章介紹虛位移原理，又稱為分析靜力學(xué)。

約束與約束方程,自由度與廣義坐標(biāo)

1約束

在靜力學(xué)中，曾經(jīng)將限制某物體運(yùn)動(dòng)的其它物體稱為約束，約束對(duì)被約束物體的作用表現(xiàn)為約束反力。現(xiàn)在從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看約束的作用，給約束下一廣義的定義：如一非自由質(zhì)點(diǎn)系的位置和速度受到某些預(yù)定條件的限制，這種限制條件稱為約束。例如，車(chē)輪限制在直線軌跡上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，這時(shí)約束就表現(xiàn)為限制車(chē)輪中心到軌跡的距離不變，車(chē)輪上每瞬時(shí)與軌跡接觸點(diǎn)（瞬心）的速度為0。該限制條件就是約束。約束與約束方程,自由度與廣義坐標(biāo)1約束例如，車(chē)輪限制在2約束方程約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的限制以通過(guò)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和速度的數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，這方程稱為約束方程。3

約束分類（1）按約束的作用分：幾何約束——只限制質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系幾何位置的約束；運(yùn)動(dòng)約束——能限制質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)速度的約束；2約束方程幾何約束的約束方程：即質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)在約束的限制條件下所必須滿足的條件。

例如圖示小球借剛桿而懸于o，小球運(yùn)動(dòng)限制在圖示鉛垂平面內(nèi)繞點(diǎn)作以桿長(zhǎng)L為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。

則其約束方程為確定M點(diǎn)位置的方程：M點(diǎn)在任何位置都滿足這一方程。幾何約束的約束方程：例如圖示小球借剛桿而懸于o，小

又如：圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)，可簡(jiǎn)化為由曲柄銷(xiāo)A和滑塊B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系。軸承，剛性桿A和AB以及滑道形成了對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的約束，其相應(yīng)的約束方程為：又如：圖示曲柄其相應(yīng)的約束方程為：(b)運(yùn)動(dòng)約束的約束方程：約束方程中含有質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)的速度稱為運(yùn)動(dòng)約束。例如：沿直線軌道只滾不滑的車(chē)輪約束的限制條件為：限制輪緣上與地面相接觸點(diǎn)I的速度為0，其約束方程為：

(b)運(yùn)動(dòng)約束的約束方程：約束的限制條件為：（2）按約束方程是否可積分分類：完整約束——可積分的運(yùn)動(dòng)約束和幾何約束非完整約束——不可積分的運(yùn)動(dòng)約束

如以下的運(yùn)動(dòng)方程中：

式中雖然有對(duì)時(shí)間t的微分項(xiàng)，但可以積分為有限形式。（2）按約束方程是否可積分分類：如以下的運(yùn)動(dòng)方程中：（3）約束按是否隨時(shí)間變化而分：定常約束——質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)其運(yùn)動(dòng)的限制條件不隨時(shí)間變化的約束。非定常約束——凡約束條件隨時(shí)間變化的約束。

定常約束，即質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)其運(yùn)動(dòng)的限制條件不隨時(shí)間變化的約束稱為定常約束，定常約束的約束方程中不含時(shí)間變量，如前面幾個(gè)例子中的約束均為定常約束。

（3）約束按是否隨時(shí)間變化而分：定常約束，即質(zhì)點(diǎn)系所

非定常約束的約束方程中顯含時(shí)間變量t,例如圖示擺，其懸掛點(diǎn)o’沿鉛垂方向按

規(guī)律運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)M的約束方程為：式中顯含時(shí)間t，屬于非定常約束。非定常約束的約束方程中顯含時(shí)間變量t,規(guī)律雙側(cè)約束（固執(zhí)約束）——約束方程是等式的（同時(shí)限制質(zhì)點(diǎn)某方向及相反方向運(yùn)動(dòng)的約束）單側(cè)約束（非固執(zhí)單側(cè)約束）——約束方程為不等式的。（只能限制質(zhì)點(diǎn)某方向的運(yùn)動(dòng)，不能限制其相反方向的運(yùn)動(dòng)）本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；雙側(cè)約束（固執(zhí)約束）——約束方程是等式的4

自由度：

在一般情況下，若由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受到S個(gè)定常完整約束的限制，則其約束方程為：

此即確定質(zhì)點(diǎn)系位置的3n個(gè)坐標(biāo)所應(yīng)滿足的S個(gè)關(guān)系式。由此可見(jiàn)，如果在3n個(gè)坐標(biāo)xi、yi、zi(i=1,2,…,n)中知道了3n-S個(gè)彼此獨(dú)立的坐標(biāo)，并利用此S個(gè)約束方程，即可解出其余S個(gè)未知的坐標(biāo)，于是，便可完全確定質(zhì)點(diǎn)系的位置。

4

自由度：此即確定質(zhì)點(diǎn)系位置的3n個(gè)坐標(biāo)所自由度數(shù)：

確定具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為該質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)。以k表示自由度數(shù)，則上述具有S個(gè)完整約束并由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)：

k＝3n－S,具有k個(gè)自由度（平面k＝2n－S）

例如：雙擺的約束方程為：約束為完整約束，所以在確定雙擺位置的4個(gè)坐標(biāo)xA,yA,xB,yB中只有2個(gè)是獨(dú)立的（如xA,yB），因此，雙擺的自由度為：k=2n-2=2

自由度數(shù)：例如：雙擺的約束方程為：約束為完整約束，所以在

事實(shí)上，該例中只要確定φ1、φ2，那么A.B的位置坐標(biāo)也就完全確定了，位置坐標(biāo)可表示為：

φ1、φ2起到了確定該質(zhì)點(diǎn)位置的作用，稱為廣義坐標(biāo)。事實(shí)上，該例中只要確定φ1、φ2，那么A.5

廣義坐標(biāo)：凡能借以確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量稱為質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)可以是直角坐標(biāo)x，y，z，球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)，弧坐標(biāo)，轉(zhuǎn)角等，也可以是其它的任何確定質(zhì)點(diǎn)系位置的量，甚至還可以是壓強(qiáng)和體積。

而且，對(duì)于完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度數(shù)與廣義坐標(biāo)數(shù)相等。如前例中雙擺，自由度數(shù)為2，廣義坐標(biāo)亦為2。一般來(lái)說(shuō)，由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的并具有定常的完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，若自由度數(shù)為k，則可選取k個(gè)獨(dú)立的參變量q1,q2,…,qk作為其廣義坐標(biāo)。5

廣義坐標(biāo)：而且，對(duì)于完整約束的質(zhì)點(diǎn)系

——此即用廣義坐標(biāo)表示的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，其中隱含了約束條件。于是有：——此即用廣義坐標(biāo)表示的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，虛位移

（1）定義：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在約束允許的條件下，所可能發(fā)生的任何的微小位移稱為質(zhì)點(diǎn)的虛位移。(2)實(shí)例：如圖所示的質(zhì)點(diǎn)，受一曲面約束，質(zhì)點(diǎn)在此曲面上運(yùn)動(dòng)，在法線w方向上，約束質(zhì)點(diǎn)限制運(yùn)動(dòng)。約束所能允許的微小位移（虛位移）只能沿切平面。虛位移（1）定義：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在約束允許的條件下，所可能(3)實(shí)位移與虛位移的共同點(diǎn)：（1）虛位移和實(shí)位移都是約束所允許的位移。（2）在定常約束條件下，實(shí)位移是若干虛位移中的一個(gè)。(3)實(shí)位移與虛位移的共同點(diǎn)：(3)實(shí)位移與虛位移的區(qū)別：實(shí)位移――質(zhì)點(diǎn)在一定的時(shí)間內(nèi)所完成的真實(shí)位移，可以是有限量，也可以是無(wú)限量的，決定于物體的主動(dòng)力和約束條件，初始條件（初速度，初位移等）虛位移――不受時(shí)間限制，與力的作用無(wú)關(guān)，決定于約束的幾何位置，只要約束允許，其虛位移即可以沿不同的方向，但只能是微小量。

(3)實(shí)位移與虛位移的區(qū)別：(3)實(shí)位移與虛位移的區(qū)別：（1）虛位移是假想的，實(shí)位移是真實(shí)的。（2）虛位移可以朝約束允許的任意方向運(yùn)動(dòng)，實(shí)位移只有一運(yùn)動(dòng)方向。（3）靜止時(shí)，可以有虛位移，而無(wú)實(shí)位移。（4）實(shí)位移可以是微小值dr,也可能是有限值△r，虛位移只能是δr。（5）完成實(shí)位移需要時(shí)間，而虛位移不同的瞬時(shí)處于不同位置就有不同的虛位移。(3)實(shí)位移與虛位移的區(qū)別：例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)：

如果ω方向確定了，A點(diǎn)及B點(diǎn)的實(shí)際位移方向就決定于ω的轉(zhuǎn)向。而虛位移則不論ω的方向如何，只要是約束允許的即可隨意假設(shè)。符號(hào)區(qū)別：

定常約束情況下，實(shí)位移是所有虛位移中的一個(gè)。對(duì)于非定常約束，虛位移指某一個(gè)瞬時(shí)將時(shí)間固定，約束所能允許的微小位移。而實(shí)位移是不能固定時(shí)間的。例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)：如果ω方向確定了，A點(diǎn)及B點(diǎn)虛位移的求法：

①幾何法：非自由質(zhì)點(diǎn)系在中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)應(yīng)位置必須滿足相應(yīng)的約束條件，因而在各點(diǎn)虛位移之間就存在著一定的關(guān)系。對(duì)于剛體或剛體系統(tǒng)而言，各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系與該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)各點(diǎn)速度之間的關(guān)系相同。虛位移的求法：如上述曲柄連桿機(jī)構(gòu)：若給A點(diǎn)虛位移δrA，則曲柄的虛轉(zhuǎn)角為：δφ＝δrA

／r。曲柄上各點(diǎn)的虛位移與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體各點(diǎn)的速度一樣求法，為到轉(zhuǎn)軸的距離×δφ。同理，由于連桿AB的限制，A,B兩點(diǎn)間的距離不能改變，故可以認(rèn)為B點(diǎn)與δrA

相應(yīng)的虛位移δrB是由于連桿AB繞瞬心I轉(zhuǎn)過(guò)一虛轉(zhuǎn)角δφI

而得到的，且：如上述曲柄連桿機(jī)構(gòu)：若給A點(diǎn)虛位移δrA，則曲柄的虛轉(zhuǎn)角從而得到B點(diǎn)的虛位移δrB

為：

顯然，A,B兩點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系與速度關(guān)系完全相同。對(duì)于作平面運(yùn)動(dòng)的A,B桿上其余各點(diǎn)的虛位移可以同樣求得。（用速度瞬心法）從而得到B點(diǎn)的虛位移δrB為：顯然，A,B兩點(diǎn)虛第十四章--虛位移原理課件②解析法：

解析法是將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)以廣義坐標(biāo)表示，對(duì)廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)之和表示其虛位移。如前述的復(fù)擺，自由度為2(k=2n-2=2),約束方程為2，這時(shí)，只要選擇了兩個(gè)廣義坐標(biāo)φ1，φ2，A,B兩質(zhì)點(diǎn)的位置即可完全確定。②解析法：第十四章--虛位移原理課件解析法求虛位移公式推導(dǎo)：

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，并且由S個(gè)完整約束，自由度k＝3n－S，選擇k個(gè)廣義坐標(biāo)q1，q2，…，qk以表示質(zhì)點(diǎn)系中k個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置。若給質(zhì)點(diǎn)系以任意的虛位移，則各廣義坐標(biāo)均應(yīng)有相應(yīng)的微小改變（稱為廣義虛位移），并分別以δq1，δq2，…，δqk表示。質(zhì)點(diǎn)系中任一點(diǎn)Mi的任一坐標(biāo)，如xi就有相應(yīng)的微小改變量δxi，則Mi以廣義坐標(biāo)表示的位置坐標(biāo)為：

利用多元函數(shù)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略去二階以上的微量，則有：解析法求虛位移公式推導(dǎo)：利用多元函數(shù)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，推得到解析法求虛位移的公式推得到解析法求虛位移的公式1定義：其表達(dá)式為

約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上所作元功為0的約束稱為理想約束。換言之：理想約束的約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上不作功。理想約束1定義：其表達(dá)式為約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上2幾種理想約束（1）光滑支承面約束：(2)中間鉸（包括固定鉸支座，軸承，活動(dòng)鉸等）FN和FN’為其兩桿反力，且有FN＝－FN’，二力的作用點(diǎn)在O點(diǎn)的虛位移所作的元功之和為0，即：2幾種理想約束(2)中間鉸（包括固定鉸支座，軸承，活動(dòng)鉸連桿（二力桿）連接兩質(zhì)點(diǎn)

A,B兩質(zhì)點(diǎn)以無(wú)重剛體相連，所受的約束反力分別為：

連桿（二力桿）連接兩質(zhì)點(diǎn)連接兩點(diǎn)不可伸長(zhǎng)的的柔性約束兩質(zhì)點(diǎn)A和B以不可伸長(zhǎng)且跨過(guò)滑輪的受拉柔繩相連，繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力分別為：

0δrFδrFABFFFFBTBATATBTATBTA=×+×\=：所作的功之和為0，即約束反力在虛位移上從而，可得出：繩上的投影應(yīng)相等，兩點(diǎn)的虛位移在繩子不可伸長(zhǎng)，（大小相等），且有：與Q連接兩點(diǎn)不可伸長(zhǎng)的的柔性約束0δrFδrFABFFFFBTB1虛位移原理：

具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置的必要充分條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)處于該位置時(shí)的任何虛位移上所作的元功之和為0。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

虛位移原理注：“處于平衡位置”是指質(zhì)點(diǎn)系在該位置所受的主動(dòng)力與約束反力相平衡，從而質(zhì)點(diǎn)系的加速度為0，如速度亦為0，則質(zhì)點(diǎn)系靜止。

1虛位移原理：虛位移原理注：“處于平衡位置”是指質(zhì)點(diǎn)系在該如圖示單擺：在OA位置，

OA為平衡位置。如采用直角坐標(biāo)，則得虛位移原理的解析表達(dá)式為：

如圖示單擺：OA為平衡位置。2原理的證明：（1）必要性―――即要證明：若質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置，上式必然成立。若質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置，其中任一質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力Fi與約束反力FNi互成平衡，即有：

2原理的證明：主動(dòng)力與約束反力在質(zhì)點(diǎn)的虛位移上作的元功：對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)一個(gè)該方程（即認(rèn)為i＝1，2，…，n）,然后連加起來(lái)得：主動(dòng)力與約束反力在質(zhì)點(diǎn)的虛位移上作的元功：對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)一（2）充分性：即要證明若成立，質(zhì)點(diǎn)必平衡。采用反證法，設(shè)質(zhì)點(diǎn)不平衡，有成立，那么質(zhì)點(diǎn)系從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，并在微元時(shí)間內(nèi)發(fā)生微小實(shí)位移，則有微小動(dòng)能：（2）充分性：即要證明若成立，第十四章--虛位移原理課件3討論：（1）如果質(zhì)點(diǎn)系有摩擦力和彈性力，則將其看作主動(dòng)力，同樣應(yīng)用虛位移原理；（2）如質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力包括有主動(dòng)力矩，那么相應(yīng)的虛位移應(yīng)為虛轉(zhuǎn)角。4虛位移原理的應(yīng)用（1）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)間的位置；（2）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時(shí)，未知的約束力。

3討論：例題1在曲柄式壓榨機(jī)OAB的中間銷(xiāo)釘A上作用一水平力F，此力位于OAB平面內(nèi)，如

求物體M所受的壓力。設(shè)O為光滑鉸鏈，壓板D與鉛垂接觸面間為光滑接觸，且板和桿的質(zhì)量均不計(jì)。例題1在曲柄式壓榨機(jī)OAB的中間銷(xiāo)釘A上作用一求物體M解：（1）研究由桿OA，OB和壓板D所組成的系統(tǒng)的平衡（2）建立圖示坐標(biāo)，受力分析(主動(dòng)力)

（3）約束分析：因光滑鉸且光滑接觸，所以均是定常的理想約束，如對(duì)其建立約束方程，則方程中不會(huì)顯含t，所以可用虛位移解題。解：（1）研究由桿OA，OB和壓板D所組成的系統(tǒng)（4）求出虛位移：質(zhì)點(diǎn)系為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，其自由度為1，選θ為廣義坐標(biāo)，由解析法可得：

（4）求出虛位移：質(zhì)點(diǎn)系為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，其(5)應(yīng)用虛位移原理求解(5)應(yīng)用虛位移原理求解如用幾何法求解：

給一虛位移轉(zhuǎn)角δθ，則A點(diǎn)虛位移如用幾何法求解：與用幾何法求解的結(jié)果一樣。

與用幾何法求解的結(jié)果一樣。例2圖示為一多跨靜定梁，試求支座B的約束反力。

例2圖示為一多跨靜定梁，試求支座B的約束反力。解：為求支座B的反力，應(yīng)撤去支座B而代之以相應(yīng)的反力RB，視其為主動(dòng)力之一，于是系統(tǒng)可有微小的移動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）給系統(tǒng)以虛位移，如圖（注意虛位移應(yīng)是約束允許的，故不能破壞其約束），由虛位移原理得：解：為求支座B的反力，應(yīng)撤去支座B而代之以相應(yīng)第十四章--虛位移原理課件例均質(zhì)桿OA及AB在A點(diǎn)用鉸鏈連接，并在O處用固定鉸支座支承，兩桿長(zhǎng)度分別為2a和2b，重分別為G1和G2，設(shè)在B點(diǎn)施加一水平力F，求系統(tǒng)平衡時(shí)兩桿與鉛垂線的夾角φ和ψ。例均質(zhì)桿OA及AB在A點(diǎn)用鉸鏈連接，并在O處用解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取廣義坐標(biāo)φ和ψ，建立坐標(biāo)如圖。采用解析法求虛位移：解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取廣義坐標(biāo)第十四章--虛位移原理課件第十四章--虛位移原理課件例：機(jī)構(gòu)如圖，已知：OA=O1B＝L，O1B⊥OO1，作用于OA上的力偶矩為M，試用虛位移原理求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)F力的大小。解：A點(diǎn)的虛位移如圖所示，例：機(jī)構(gòu)如圖，已知：OA=O1B＝L，O1B⊥OO1，作例圖示為一多跨靜定梁，試求B處約束反力。解要求支座B處反力，應(yīng)將支座B除去，代之以相應(yīng)的約束反力FB，并將其視為主動(dòng)力之一。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)?/p>