導波與波導1課件

第三章導波與波導3.1引言3.2規(guī)則金屬波導3.3矩形金屬波導3.4金屬圓波導3.5同軸線與平行雙線3.6傳輸線理論的推廣3.7帶線和微帶線3.8介質波導3.9光纖簡介3.10激勵耦合1第三章導波與波導3.1引言13.1引言在微波工程中使用著多種類型的傳輸線，如同軸線、平行雙線、矩形波導、圓波導、介質線、帶狀線等，如圖3.1所示。工程技術人員根據(jù)所選用的工作頻段和微波工程系統(tǒng)的要求不同，選用不同類型的傳輸線。這些傳輸線起著引導能量和傳輸信息的作用，它們所傳輸?shù)碾姶挪ńy(tǒng)稱為導波。研究各種類型的傳輸線都要涉及到下述一些概念和問題，諸如導波分類、場型分析、臨界波數(shù)、傳播常數(shù)、波阻抗、特性阻抗、等效阻抗、功率容量、工作頻帶、損耗衰減、結構尺寸、制造工藝、體積重量、工作環(huán)境等。我們不可能對每一種類型的傳輸線都做全面的討論，因此，首先對導波的一般規(guī)律加以研究，然后再分析幾種常用的傳輸線，希望能達到舉一反三的目的。在微波工程中有兩類基本的分析方法，其一是場的方法，其二是路的方法。23.1引言在微波工程中使用著多種類型圖3.1各種類型的傳輸線3圖3.1各種類型的傳輸線3圖3.1所示各種具體的傳輸線，有的是單根空心導體，如矩形波導、圓波導；有的是多根柱狀導體，如同軸線、平行雙線；有的是導體與介質的混合結構，如微帶線、耦合微帶線；有的是單純由介質構成的傳輸線，如介質光波導與光纖。這些導波機構所傳播的電磁波的場的構造，因導波機構的不同而有所區(qū)別，是不同類型的導波。每一種導波機構又可以有多種形式的導波場或稱導波模，每一個導波模就是電磁場方程的一個解，這個解滿足導波機構所給定的邊界條件。

根據(jù)激勵條件可判斷產生哪些導波模。存在著三類比較簡單的但卻是基本的導波模：橫電波、橫磁波、橫電磁波。4圖3.1所示各種具體的傳輸線，有的是單根空心導體（1）橫電波，又稱TE波，H波，其電場的縱向分量為零，即Ez＝0，但磁場的縱向分量不等于零，即Hz≠0。（2）橫磁波，又稱TM波、E波，其磁場的縱向分量為零，即Hz＝0，但電場的縱向分量不等于零，即Ez≠0。（3）橫電磁波，又稱TEM波，其電場和磁場的縱向分量都為零，即Ez＝Hz＝0。當單獨一種TE波或TM波不能滿足邊界條件時，可以用TE波和TM波的組合來滿足邊界條件，稱之混合模。混合模的縱向電場和縱向磁場都不為零，但可以有某一橫向場分量為零。有些導波機構，如微帶線不是嚴格的TEM波，稱之為準TEM波。5（1）橫電波，又稱TE波，H波，其電場的縱向分量為零，即E3.2規(guī)則金屬波導的一般理論

3.2.1直接法求解

在柱狀邊界條件下求解無源電磁場有兩種方法，一是直接法，即直接求解電磁場的某一分量，然后再根據(jù)電磁場方程組計算其余的各個場分量；二是輔助位函數(shù)法，即首先求出矢量位A，或相應的赫茲矢位，然后再求各個電場和磁場分量。直接法求解大致可以分為以下四步：（1）將時間變量與空間變量分離，簡稱“時空分離”。（2）將場的縱向分量與場的橫向分量分離，簡稱“縱橫分離”。（3）按照分離變量法對待求的函數(shù)進行空間變量的分離，便于求解。（4）最后，根據(jù)已求得的一個場分量的表示式求出其余的全部場分量。63.2規(guī)則金屬波導的一般理論3.2.1直接法求解

3.2.2縱向場分量和橫向場分量的關系假定波沿著z方向傳播，垂直于z方向的場分量稱作橫向分量，平行于z方向的場分量稱作場的縱向分量。將算子▽也分解為橫向部分和縱向部分，得(3.2.1)在直角坐標系和圓柱坐標系中，算子▽的橫向部分分別為算子為

(3.2.2)(3.2.3)上述三式中為相應坐標方向的單位矢量?？v向部分為7

3.2.2縱向場分量和橫向場分量的關系縱向部分為7

在無源區(qū)域，電磁場方程組的兩個旋度方程可改為

(3.2.4)

(3.2.5)

式中，。式（3.2.4）和式（3.2.5）的橫向部分和縱向部分分別相等，于是兩個方程分解為下述四個方程:

(3.2.6)

(3.2.7)

(3.2.8)

(3.2.9)

由（3.2.6）和（3.2.7）推導得

（3.2.10）

8在無源區(qū)域，電磁場方程組的兩個旋度方程可改為8由無源電磁場對偶性，得

(3.2.11)k2=2,兩式的右端僅含場的縱向分量，左端僅含場的橫向分量，即已知場的縱向分量可以求場的橫向分量.9由無源電磁場對偶性，得93.2.3TE波、TM波和TEM波的特點

(1)TE波

Ez＝0，且假定k2－kz2≠0，那么

(3.2.12)

得到ET和HT的關系：

（3.2.13）

或

(3.2.14)

ET和HT的數(shù)值關系之比為（／ｋz），它具有阻抗的量綱，稱作TE波的波阻抗，記作ηTE，即

(3.2.15)

103.2.3TE波、TM波和TEM波的特點10注：此式說明TE波的ET、HT和相互垂直，且成右手關系。理想導體邊界上Hz滿足邊界條件

(3.2.16)(2)TM波Hz＝0，且假定k2－kz2≠0，那么(3.2.17)

(3.2.18)得到ET和HT的關系：(3.2.19)(3.2.20)11注：此式說明TE波的ET、HT和相互垂直，且成右手關系

式中ηTM為TM波的波阻抗，且

(3.2.21)

注：此式說明ET、HT和成右手關系，三者相互垂直。

對于TM波，應首先求解Ez。在導波機構邊界上，Ez是電場的切向分量，因此當邊界為理想導體時(3.2.22)(3)TEM波Ez和Hz同時為零，得(3.2.23)(3.2.24)1212

假設電場和磁場的橫向分量有非零解，若上述二式成立，則必有kz＝k，這意味著沿方向傳播的TEM波的傳播常數(shù)等于均勻平面波的傳播常數(shù)。令TE波波阻抗中的kz＝k，便得到TEM波波阻抗TEM為(3.2.25)

這表明TEM波的波阻抗就等于均勻平面波的波阻抗，記作亦可。將TEM波作為TE或TM波的特殊情況處理，令kz＝k，可得

(3.2.26)

此式表明TEM波的ET、HT和相互垂直，且成右手關系。13假設電場和磁場的橫向分量有非零解，若上述二式成立

(4)向方向傳播的TE波、TM波和TEM波

以上敘述中，我們曾假設波是向方向傳播的。如果假設波向方向傳播，電磁場的各個分量必定包含這一因子，與式（3.2.13）、式（3.2.20）和式（3.2.26）相應的關系將變?yōu)?/p>

(3.2.27)(3.2.28)(3.2.29)

在廣義傳輸線理論中（參看3.6.1小節(jié)），我們將采用下述符號：ET-和HT-表示向+方向傳播的波，ET+和HT+表示向-方向傳播的波。這里，下角表與指數(shù)因子的符號相一致。14(4)向方向傳播的TE波、TM波和TEM波3.2.4導波的坡印亭矢量

一般情況下，將電場和磁場分解為橫向分量和縱向分量后，其復數(shù)坡印亭矢量可分解為三項，即為

（3.2.30）

式中，*號表示取共軛。對于TEM波，復數(shù)坡印亭矢量中僅含上式中的第一項；對于TE波或TM波則僅含上式中的兩項，為第一、二項或第一、三項。Ez或Hz都可寫成實的橫向分布函數(shù)與指數(shù)因子e-jkz相乘的形式，如果媒質和導波機構是無耗的，可以證明上式中的第二項和第三項都是純虛數(shù)。因此式（3.2.30）中的第一項代表了沿z方向傳播的功率，記作Sz，且

(3.2.31)153.2.4導波的坡印亭矢量15

在本節(jié)的最后，我們給出兩個簡單而重要的矢量關系圖，如圖3.2所示。圖中描述了TE波、TM波和TEM波的ET+、HT+和Sz的矢量關系。式（3.2.13）、式（3.2.20）和式（3.2.26）與圖（3.2（a））對應，表明了傳播因子為的波向正z方向傳播；式（3.2.27）、式（3.2.28）和式（3.2.29）與圖（3.2.（b））對應，表明了傳播因子為的波向負z方向傳播。

圖3.2ET、HT和Sz的矢量關系圖（a）傳播因子為（b）傳播因子為16在本節(jié)的最后，我們給出兩個簡單而重要的矢量關系圖，如圖3.2.5空心金屬波導內不存在TEM波

可以證明，空心波導內不能傳播TEM波。如前所述，所謂TEM波，指的是Ez、Hz為零的橫電磁波，且由式（3.2.9）可知

(3.2.32)

上式表明，在垂直于傳播方向的平面內，電場是無旋的，因此可以令，φ是標量位?？招牟▽炔淮嬖陔姾?，故電位移矢量D的散度等于零，。若媒質是均勻的，于是（3.2.33）

上式表明TEM波在橫截面內的位函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程。上兩式表明在橫截面內TEM波的位函數(shù)與二維靜電場的電位滿足同樣的方程，由此可以推論，在某一傳輸線中若能建立起二維靜電場，也必定能建立起TEM波的場，反之亦然，但是在單根空心導體內不可能建立起靜電場，因而空心波導內不可能傳輸TEM波。173.2.5空心金屬波導內不存在TEM波173.3矩形金屬波導

矩形金屬波導簡稱矩形波導，矩形波導的理論是成熟的并且是嚴格的，我們將結合這一具體波導進一步說明波導的特點和性質，包括矩形波導的通解、力線圖、色散方程、k空間、相速、群速、功率、衰減等。

3.3.1矩形波導的通解

圖3.3所示是矩形波導的示意圖。矩形波導的形狀簡單，邊界與直角坐標系平行，易于得出嚴格的理論解。矩形波導是單根導體構成的空心波導,它不能傳播TEM波，但可以傳播TE波或TM波.設波導在±z方向為無限長，波導內填充各向同性均勻媒質，通常媒質為空氣，ε＝ε0，μ＝μ0。

圖3.3矩形波導與直角坐標系183.3矩形金屬波導矩形金屬波導簡

(1)TE波

Ez＝0，滿足波動方程(3.3.1)在直角坐標系中上式的具體形式為

(3.3.2)設波導的傳播方向為+z，傳播因子為，對z的二次偏導數(shù)可用-kz2代替，令(3.3.3)于是，式（3.3.2）變?yōu)?3.3.4)

式（3.3.3）稱作色散方程，kc稱作臨界波數(shù)。應用分離變量法求解式（3.3.4），令(3.3.5)將式（3.3.5）代入式（3.3.4），得(3.3.6)19(1)TE波19

用X（x）Y（y）除上式，并移項，得（3.3.7）

kc是與坐標x、y無關的常數(shù)，上式的左端僅是x的函數(shù)，右端僅是y的函數(shù)，因此可令(3.3.8)(3.3.9)kx和ky也是與坐標x、y無關的常數(shù)。于是式（3.3.7）變?yōu)椋?.3.10）

若求出kx和ky，便求得臨界波數(shù)kc，進一步可由色散方程求得z方向的傳播常數(shù)kz。式（3.3.8）和式（3.3.9）的解可以是三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)，兩種形式的解各具有其特定的物理解釋，本小節(jié)討論三角函數(shù)形式的解，在3.3.3節(jié)中再說明指數(shù)形式解的物理意義。令(3.3.11)20用X（x）Y（y）除上式，并移項，得20

在波導的內壁上，Hz所滿足的邊界條件已由式（3.3.32）給出，具體化為(3.3.12)

(3.3.13)(3.3.14)

（3.3.15）

前兩式可分別求得B＝0和D＝0。將其余兩常數(shù)A和C合并，記作Hmn

(3.3.16)

代入邊界條件(3.3.17)(3.3.18)

稱作矩形波導的導行條件。21在波導的內壁上，Hz所滿足的邊界條件已由式（3.3.

由導行條件可確定kx和ky的具體形式為(3.3.19)

式中，m，n＝0，1，2，…。最后得Hz（x，y，z）的表示式(3.3.20)

現(xiàn)在用kc2取代k2－kz2，并且具體化為直角坐標系，式（3.2.12）改寫為(3.3.21)

則：(3.3.22)

(3.3.23)(3.3.24)

一組m、n的標號代表了一個TE波的模，注意，標號m、n不能同時為零。22由導行條件可確定kx和ky的具體形式為22

(2)TM波(3.3.25)(3.3.26)(3.3.27)

式中Emn為常數(shù)，m，n＝1，2，3…。場的橫向分量(3.3.28)(3.3.29)(3.3.30)(3.3.31)

注意：標號m、n中任一個都不能為零。

23(2)TM波23

3.3.2矩形波導中的力線圖本小節(jié)用電力線和磁力線來描繪矩形波導中的導波模，以期對導波模有一個比較形象的了解。

①力線的疏密表示場的強弱，方向代表電場強度和磁場強度的方向。

②均勻填充各向同性媒質的金屬波導中，TE波或TM波的每一個模式的電場強度E和磁場強度H是正交的，因而力線圖中實線和虛線相交處應是互相垂直的。

③磁力線是封閉的；電力線可以封閉，也可以起始并終止于波導壁。

④在波導壁附近電力線應垂直于波導壁，或沒有電力線，磁力線應與波導壁平行和相切。243.3.2矩形波導中的力線圖24⑥電力線與電力線不得相互交叉，磁力線與磁力線不得相互交叉。沿z方向描繪的力線顯示出波動現(xiàn)象，電力線和磁力線的疏密和方向有周期性的變化。⑦TE波僅有橫向電力線，無縱向電力線；TM波僅有橫向磁力線，無縱向磁力線。⑧對于單一模式的導行波，橫向電力線的方向、橫向磁力線的方向和波的傳播方向成右手關系。25⑥電力線與電力線不得相互交叉，磁力線與磁力線不得相互交叉。⑦26262727圖3.4矩形波導中的力線圖

28圖3.4矩形波導中的力線圖28圖3.5假想的無界TE波和TM波力線圖（a）TE11波（b）TM11波四個基本模：TE10、TE01、TE11、TM11

29圖3.5假想的無界TE波和TM波力線圖四個基本模：TE1

3.3.3矩形波導的色散方程與k空間

在矩形波導中，TE波和TM波的色散方程具有相同的形式，式中，kz是傳播常數(shù)。傳播狀態(tài)當k>kc時，kz為實數(shù)，開方取正號，此時傳播因子代表向正方向傳播的波，傳播因子代表向負方向傳播的波，矩形波導中的波處于傳播狀態(tài)，故k>kc為波的傳播條件。截止狀態(tài)

當k<kc時,kz為虛數(shù)，令kz＝－jαz，αz為正實數(shù)，于是，這表明沿傳播方向是衰減的波，或稱凋落的波，但這種衰減不是由于損耗引起的，稱之為截止衰減，此時波處于截止狀態(tài)，而不是傳播狀態(tài)。臨界狀態(tài)從傳播狀態(tài)過渡到截止狀態(tài)，有一個臨界點，即k＝kc，kz＝0的狀態(tài)，稱之為臨界狀態(tài)，kc稱為臨界波數(shù)。303.3.3矩形波導的色散方程與k空間30

仿照自由空間波數(shù)與自由空間波長的關系k＝2π/λ，引入臨界波長λc，臨界波長與臨界波數(shù)的關系為(3.3.32)仿照自由空間波數(shù)k與工作頻率f和角頻率ω的關系，引入臨界頻率fc和臨界角頻率ωc，它們與臨界波數(shù)的關系為(3.3.33)式中，c是光速。

(3.3.34)

在傳播狀態(tài)下，引入導波波長g，g與傳播常數(shù)kz的關系為(3.3.35)在傳播狀態(tài)下,k>kc,λ<λc，所以λg>λ，即導波波長大于自由空間波長。對于TEM波，kc等于零，kz等于k，那么導波波長等于自由空間的波長。31仿照自由空間波數(shù)與自由空間波長的關系k＝2π/λ

不同的導波模對應同一個臨界波數(shù)kc的現(xiàn)象稱為模簡并。一般情況下，矩形波導的TEmn和TMmn模，當下腳標mn相同時為簡并模，但TMmn的任意一個下角標都不得為零。因而不存在與TEm0和TE0n相對應的TM波的簡并模。為了更進一步討論矩形波導的色散方程，現(xiàn)在來討論矩形波導的解的指數(shù)函數(shù)形式解的物理意義，實際上這是將矩形波導的解改寫成幾個不同方向傳播的平面波的疊加，這就在矩形波導的解中引入了k矢量，又稱波矢，從而建立起k空間，又稱為波矢空間，然后在k空間中討論色散方程。以TEmn模為例，將Hz(x,y,z)的表示式中的三角函數(shù)寫成指數(shù)相加的形式，得：

(3.3.36)

(3.3.37)3232

式中的四項代表了向四個不同方向傳播的平面波，k1、k2、k3和k4為四個平面波的波矢，其模為自由空間的波數(shù)，其方向為平面波的傳播方向，即(3.3.38)(3.3.39)(3.3.40)(3.3.41)

r為矢徑，且

(3.3.42)式中的kx、ky和kz都為正數(shù)。若kx、ky和kz是可正可負的數(shù)，那么任意方向的波矢就可寫作

(3.3.43)k矢量與自身的點積為(3.3.44)33式中的四項代表了向四個不同方向傳播的平面波，k1、k

矩形波導的色散方程也可寫(3.3.45)

在形式上兩式是相同的，但出發(fā)點同，一個是平面波的k矢量，一個是矩形波導的色散方程?，F(xiàn)在將兩者統(tǒng)一在矩形波導的k空間示意圖中，如圖3.6所示。一般矩形波導的尺寸b≈a/2，但b不等于a/2，以免出現(xiàn)更多的簡并模。按照這樣的比例關系，在k空間的kx和ky軸上分別標出和。因為，如果給定媒質的電容率ε和導磁率μ以及角頻率ω，那么就可以在k空間做出一個k球面，即k矢量的端點所繪的球面。上半球代表向正z方向傳播的波，下半球代表向負z方向傳播的波，上半球四個象限的k矢量為（3.3.38)－(3.3.41）給出的k1、k2、k3和k4。為了簡化，圖3.6中只畫出了1/8的k空間。34矩形波導的色散方程也可寫34圖3.6矩形波導的k空間示意圖在矩形波導中，kx和ky軸上標注的和代表了kx和ky所能取的值，它們是離散的點，而在自由空間kx和ky可取任意值。Kx-ky平面稱作kc平面，kc也是一系列的離散的值，相應于kc平面上的一系列的點。35圖3.6矩形波導的k空間示意圖在矩形波導中，kx和

以m=1、n=1為例，，從這一點到原點的距離就是TE11或TM11的臨界波數(shù)。從點作平行于kz軸的直線與k球的交點即為k4矢量的端點，由此點向kz軸引垂線得一交點便是kz的值。在kx和ky軸上的點，，，僅與TEm0模和TE0n模相對應，沒有簡并模。除了軸上的點外，kx－ky平面上的點都有簡并模。當kc點落在k球之內時，其對應的?？梢詡鞑?；當kc點落在k球之外時，其對應的模為凋落的波，處于截止狀態(tài)；當kc點恰好落在k球上時，波處于臨界狀態(tài)。通常應保證矩形波導只有單模工作，必須使k球內只包含最靠近原點的一個kc點，即，這相應于TE10模，稱作最低模，它是非簡并的模，其余稱作高次模。k空間的原點，kc＝0，對應于TEM波，它在矩形波導中不存在。3636圖3.7矩形波導中臨界波數(shù)分布圖（a）與臨界波長分布圖（b）37圖3.7矩形波導中臨界波數(shù)分布圖（a）與臨界波長分布圖（3.3.5矩形波導的傳輸功率與儲能

傳輸?shù)墓β?/p>

(3.3.46)

P表示在矩形波導中沿z方向傳輸?shù)墓β剩?號表示共軛，S是矩形波導的橫截面，ET和HT是向正z方向傳播的波的橫向電場和橫向磁場。(3.3.47)其中，ETi和HTj可以代表TE波和TM波中的某一個模，當ETi和HTj中的i和j相同時，為同一個模，當i≠j時為不同的模。根據(jù)三角函數(shù)的正交性，可以驗證(3.3.48)這又稱為矩形波導中的不同模之間的正交性。383.3.5矩形波導的傳輸功率與儲能

(3.3.49)

無耗規(guī)則波導中的每一個模獨立地傳輸自身所攜帶的功率;無耗規(guī)則波導中不會發(fā)生功率從一個模式向另一個的轉移，彼此之間沒有耦和,除非規(guī)則波導的規(guī)則性受到破壞。如果規(guī)則矩形波導中傳輸?shù)哪Ｓ衝個，那么就相當于有n條相互獨立的傳輸線。上述無耗規(guī)則矩形波導的模的正交性對于其他的規(guī)則波導，如圓波導，也同樣成立，這里不去進行一般性的說明。假設只存在一個模式，利用TE波或TM波的ET、HT的關系式：

(3.3.50)式中，η是TE波的波阻抗ηTE，也可以是TM波的波阻抗ηTM。(3.3.51)3939

當波處于傳播狀態(tài)時傳輸功率P是實數(shù)，因為傳播狀態(tài)時的kz為實數(shù)，ηTE和ηTM為實數(shù)。當波處于截至狀態(tài)時傳播常數(shù)kz為純虛數(shù)，即，將其代入到波阻抗的表示式中得(3.3.52)這表明波阻抗為虛數(shù)，且TE波的波阻抗呈感性，TM波波阻抗呈容性。(3.3.53)(3.3.54)以上兩式表明在截止狀態(tài)下矩形波導的傳輸功率為純虛數(shù)，即不能傳輸功率40當波處于傳播狀態(tài)時傳輸功率P是實數(shù)，因為傳播狀態(tài)時的k矩形波導中電場儲能與磁場儲能

設波導壁是理想導體，波導內的媒質無耗，取一段波導，其體積為V，包圍體積V的面積為S，S由波導壁和兩個截面S1和S2構成，V內無源，即J＝0，由積分形式的坡印亭定理得(3.3.55)

上式的左端為面積分，此積分在波導壁上的積分等于零(nz)，有值的僅僅是一段波導的兩個橫截面，右端是磁場和電場儲能密度。當波處于傳播狀態(tài)進入體積v的功率等于流出體積v的功率，因而上式的左端等于零。(3.3.56)

這就是說，體積v的電場儲能等于體積v內的磁場儲能。41矩形波導中電場儲能與磁場儲能41

當波處于截止狀態(tài)時，流出體積v的功率將不再等于進入體積v的功率。為了說明問題，不妨設波是向+z方向傳播的，其ET、HT和z方向如圖3.8所示，所取的一段波導足夠長，在截面S1處有場，在S2處場已消失，因此式（3.3.55）的左端的面積積分只在截面S1處有效。

對TE波，有(3.3.57)對TM波，有(3.3.58)圖3.8體積V和S表面示意圖42當波處于截止狀態(tài)時，流出體積v的功率將不再等于

對TE波對TM波(3.3.59)

這就是說，當波處于截止狀態(tài)時，TE波在體積V內的磁場儲能大于電場儲能，TM波在體積V內的電場儲能大于磁場儲能。當波處于截止狀態(tài)時TE波的波阻抗為純虛數(shù)且為感性，TM波的波阻抗亦為純虛數(shù)，且為容性。這表明從儲能的觀點和從阻抗的觀點得出的結論是一致的。當波處于傳播狀態(tài)時，單位長度內的儲能:(3.3.60)因為在傳播狀態(tài)電場儲能等于磁場儲能，故上式可以被簡化：對TE波，E=ET，故(3.3.61)對TM波，H=HT，故

(3.3.62)43對TE波對TM波43.3.6矩形波導的衰減

波導中的損耗有兩個來源：其一是波導壁為非理想導體；其二是波導中的介質損耗。通常，當波導中的媒質為空氣時，介質損耗可以忽略。對于向＋z方向傳播的波，由于衰減的存在，電場和磁場的橫向分量可寫作(3.3.63)(3.3.64)

式中，α是場的衰減系數(shù)，它是一個正實數(shù)，由兩部分組成，即(3.3.65)

αc是導體的損耗對應的衰減系數(shù)，αd是介質的損耗對應的衰減系數(shù)。P(z)=P(0)e-2z

dP/dz=-2P

443.3.6矩形波導的衰減波導中的損

衰減系數(shù)α的表示式(3.3.66)

P是波導傳輸?shù)墓β?，Pl=-dP/dz是單位長度損耗的功率，由此式可計算衰減系數(shù)α。采用微擾的方法單位長度的損耗功率Pl為(3.3.67)導體的衰減系數(shù)σc為(3.3.68)H理想導體內表面某一個導播模的磁場的切向分量，Rs是表面電阻45H理想導體內表面某一個導播模的磁場的切向分量，Rs是表面電

計算得到矩形波導TEm0、TEmn（n≠0）和TMmn的導體衰減系數(shù)的表示式如下：(3.3.69)(3.3.70)(3.3.71)

式中，＝120π，fc是相應的TEm0、TEmn和TMmn的模的截止頻率。

(3.3.72)46計算得到矩形波導TEm0、TEmn（n≠0）和TMm3.3.7矩形波導的導體壁電流

矩形波導的導體壁的面電流密度Js與表面磁場切向分量Hて的關系為

(3.3.73)

是波導導體內壁的法向單位矢量，Hて是內表面磁場的切向分量。TE10波

(3.3.74)

(3.3.75)

在y＝0和y＝b處的波導寬邊，其法向單位矢量為,面電流密度為:

(3.3.76)

在x＝0和x＝a處的波導窄邊，其法向單位矢量為，，JS

(3.3.77)473.3.7矩形波導的導體壁電流矩形波導的導體壁的

當縫切斷傳導電流時，為了保護電流連續(xù)性，在縫上必有位移電流，這就是說，在縫上有電場E。如果E中含有與磁場H相互垂直的分量，那么必然存在指向波導壁外的坡印亭矢量，從而形成輻射。當縫沿z方向開在矩形波導寬壁的中央時，縫平行于傳導電流，輻射非常小，以此結構制成一種稱作測量線的儀器，將探針通過縫伸入到矩形波導內，探測波導內場的駐波分布。圖3.9矩形波導TE10模面電流密度分布示意圖波導內壁TE10模的面電流密度分布示意圖如圖3.9所示。為了測量的需要或制作縫隙天線，常常在波導上開縫，如果縫切斷壁上的傳導電流則將引起輻射，如果縫平行于壁上的傳導電流輻射就較小。48圖3.9矩形波導TE10模面電流密度分布示意圖第三章導波與波導3.1引言3.2規(guī)則金屬波導3.3矩形金屬波導3.4金屬圓波導3.5同軸線與平行雙線3.6傳輸線理論的推廣3.7帶線和微帶線3.8介質波導3.9光纖簡介3.10激勵耦合49第三章導波與波導3.1引言13.1引言在微波工程中使用著多種類型的傳輸線，如同軸線、平行雙線、矩形波導、圓波導、介質線、帶狀線等，如圖3.1所示。工程技術人員根據(jù)所選用的工作頻段和微波工程系統(tǒng)的要求不同，選用不同類型的傳輸線。這些傳輸線起著引導能量和傳輸信息的作用，它們所傳輸?shù)碾姶挪ńy(tǒng)稱為導波。研究各種類型的傳輸線都要涉及到下述一些概念和問題，諸如導波分類、場型分析、臨界波數(shù)、傳播常數(shù)、波阻抗、特性阻抗、等效阻抗、功率容量、工作頻帶、損耗衰減、結構尺寸、制造工藝、體積重量、工作環(huán)境等。我們不可能對每一種類型的傳輸線都做全面的討論，因此，首先對導波的一般規(guī)律加以研究，然后再分析幾種常用的傳輸線，希望能達到舉一反三的目的。在微波工程中有兩類基本的分析方法，其一是場的方法，其二是路的方法。503.1引言在微波工程中使用著多種類型圖3.1各種類型的傳輸線51圖3.1各種類型的傳輸線3圖3.1所示各種具體的傳輸線，有的是單根空心導體，如矩形波導、圓波導；有的是多根柱狀導體，如同軸線、平行雙線；有的是導體與介質的混合結構，如微帶線、耦合微帶線；有的是單純由介質構成的傳輸線，如介質光波導與光纖。這些導波機構所傳播的電磁波的場的構造，因導波機構的不同而有所區(qū)別，是不同類型的導波。每一種導波機構又可以有多種形式的導波場或稱導波模，每一個導波模就是電磁場方程的一個解，這個解滿足導波機構所給定的邊界條件。

根據(jù)激勵條件可判斷產生哪些導波模。存在著三類比較簡單的但卻是基本的導波模：橫電波、橫磁波、橫電磁波。52圖3.1所示各種具體的傳輸線，有的是單根空心導體（1）橫電波，又稱TE波，H波，其電場的縱向分量為零，即Ez＝0，但磁場的縱向分量不等于零，即Hz≠0。（2）橫磁波，又稱TM波、E波，其磁場的縱向分量為零，即Hz＝0，但電場的縱向分量不等于零，即Ez≠0。（3）橫電磁波，又稱TEM波，其電場和磁場的縱向分量都為零，即Ez＝Hz＝0。當單獨一種TE波或TM波不能滿足邊界條件時，可以用TE波和TM波的組合來滿足邊界條件，稱之混合模?；旌夏５目v向電場和縱向磁場都不為零，但可以有某一橫向場分量為零。有些導波機構，如微帶線不是嚴格的TEM波，稱之為準TEM波。53（1）橫電波，又稱TE波，H波，其電場的縱向分量為零，即E3.2規(guī)則金屬波導的一般理論

3.2.1直接法求解

在柱狀邊界條件下求解無源電磁場有兩種方法，一是直接法，即直接求解電磁場的某一分量，然后再根據(jù)電磁場方程組計算其余的各個場分量；二是輔助位函數(shù)法，即首先求出矢量位A，或相應的赫茲矢位，然后再求各個電場和磁場分量。直接法求解大致可以分為以下四步：（1）將時間變量與空間變量分離，簡稱“時空分離”。（2）將場的縱向分量與場的橫向分量分離，簡稱“縱橫分離”。（3）按照分離變量法對待求的函數(shù)進行空間變量的分離，便于求解。（4）最后，根據(jù)已求得的一個場分量的表示式求出其余的全部場分量。543.2規(guī)則金屬波導的一般理論3.2.1直接法求解

3.2.2縱向場分量和橫向場分量的關系假定波沿著z方向傳播，垂直于z方向的場分量稱作橫向分量，平行于z方向的場分量稱作場的縱向分量。將算子▽也分解為橫向部分和縱向部分，得(3.2.1)在直角坐標系和圓柱坐標系中，算子▽的橫向部分分別為算子為

(3.2.2)(3.2.3)上述三式中為相應坐標方向的單位矢量?？v向部分為55

3.2.2縱向場分量和橫向場分量的關系縱向部分為7

在無源區(qū)域，電磁場方程組的兩個旋度方程可改為

(3.2.4)

(3.2.5)

式中，。式（3.2.4）和式（3.2.5）的橫向部分和縱向部分分別相等，于是兩個方程分解為下述四個方程:

(3.2.6)

(3.2.7)

(3.2.8)

(3.2.9)

由（3.2.6）和（3.2.7）推導得

（3.2.10）

56在無源區(qū)域，電磁場方程組的兩個旋度方程可改為8由無源電磁場對偶性，得

(3.2.11)k2=2,兩式的右端僅含場的縱向分量，左端僅含場的橫向分量，即已知場的縱向分量可以求場的橫向分量.57由無源電磁場對偶性，得93.2.3TE波、TM波和TEM波的特點

(1)TE波

Ez＝0，且假定k2－kz2≠0，那么

(3.2.12)

得到ET和HT的關系：

（3.2.13）

或

(3.2.14)

ET和HT的數(shù)值關系之比為（／ｋz），它具有阻抗的量綱，稱作TE波的波阻抗，記作ηTE，即

(3.2.15)

583.2.3TE波、TM波和TEM波的特點10注：此式說明TE波的ET、HT和相互垂直，且成右手關系。理想導體邊界上Hz滿足邊界條件

(3.2.16)(2)TM波Hz＝0，且假定k2－kz2≠0，那么(3.2.17)

(3.2.18)得到ET和HT的關系：(3.2.19)(3.2.20)59注：此式說明TE波的ET、HT和相互垂直，且成右手關系

式中ηTM為TM波的波阻抗，且

(3.2.21)

注：此式說明ET、HT和成右手關系，三者相互垂直。

對于TM波，應首先求解Ez。在導波機構邊界上，Ez是電場的切向分量，因此當邊界為理想導體時(3.2.22)(3)TEM波Ez和Hz同時為零，得(3.2.23)(3.2.24)6012

假設電場和磁場的橫向分量有非零解，若上述二式成立，則必有kz＝k，這意味著沿方向傳播的TEM波的傳播常數(shù)等于均勻平面波的傳播常數(shù)。令TE波波阻抗中的kz＝k，便得到TEM波波阻抗TEM為(3.2.25)

這表明TEM波的波阻抗就等于均勻平面波的波阻抗，記作亦可。將TEM波作為TE或TM波的特殊情況處理，令kz＝k，可得

(3.2.26)

此式表明TEM波的ET、HT和相互垂直，且成右手關系。61假設電場和磁場的橫向分量有非零解，若上述二式成立

(4)向方向傳播的TE波、TM波和TEM波

以上敘述中，我們曾假設波是向方向傳播的。如果假設波向方向傳播，電磁場的各個分量必定包含這一因子，與式（3.2.13）、式（3.2.20）和式（3.2.26）相應的關系將變?yōu)?/p>

(3.2.27)(3.2.28)(3.2.29)

在廣義傳輸線理論中（參看3.6.1小節(jié)），我們將采用下述符號：