第二十四章 相似三角形（50道壓軸題專練）

第二十四章相似三角形50題（5類壓軸題專練）壓軸題型一相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（2023春·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，C． D．2．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知F是內(nèi)的一點(diǎn)，，，若四邊形的面積為2，，，則的面積是（）．A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·福建·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，將沿的方向平移至，使得，其中E是與的交點(diǎn)，F(xiàn)是與的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，給出結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個(gè)．

A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為矩形的對(duì)角線，平分交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，．若，，則線段的長(zhǎng)為．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為．

7．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)．若，，，則線段的長(zhǎng)為．

8．（2023春·重慶南岸·九年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是．9．（2023春·山東日照·九年級(jí)?？计谥校┮阎冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為4．(1)如圖，在邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，求證：；

(2)如圖，若點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上，滿足，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，求的面積．10．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，直線EF過(guò)點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，．將矩形沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)P，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點(diǎn)M，連接．判斷，和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．壓軸題型二函數(shù)中的相似三角形問(wèn)題1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，，，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，，交于點(diǎn)，將沿折疊得到，與四邊形重疊部分的面積為，則下列圖像能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）．

A．

B．

C．

D．

2．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交四邊形另一邊于點(diǎn)．設(shè)，的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系圖象可能是（）

A．

B．

C．

D．

3．（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)．若將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)點(diǎn)恰好落在y軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）4．（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)淅川縣第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，點(diǎn)沿從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則圖中最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為（）A． B． C． D．5．（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)，點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，頂點(diǎn)C，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點(diǎn)A在第一象限，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為點(diǎn)F．若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，則k的值為．

7．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知中，，，，將的頂點(diǎn)O與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)B落在x軸上，另一頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上．將通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移變換得到，若斜邊在x軸上，且直角頂點(diǎn)也在反比例函數(shù)的第一象限的圖象上，則．8．（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至，兩點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，以為邊在右側(cè)作正方形，連接并延長(zhǎng)交軸的正半軸于點(diǎn)，連接，若以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的坐標(biāo)是．

9．（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖1，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．的長(zhǎng)度為，與的函數(shù)圖象如圖2所示．

(1)當(dāng)恰好平分時(shí)，求的值；(2)滿足（1）的條件下，求證：．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)在射線上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，連接，在射線上是否存在點(diǎn)，連結(jié)，使為等腰三角形．若存在，求出的長(zhǎng)．壓軸題型三動(dòng)點(diǎn)關(guān)系的相似三角形問(wèn)題1．（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)即停．當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對(duì)2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C．設(shè)BE＝x，BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣3．（2023春·重慶渝中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，D為的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），連接，當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，t的值為（

）A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.54．（2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．作于點(diǎn)G，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AG的最大值為（

）A． B． C． D．85．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，作于點(diǎn)G，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則AG的最大值是．6．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過(guò)點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)Q，設(shè)O是線段的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為．7．（2023秋·河北保定·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知在中，，，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），，射線與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交射線于點(diǎn)．（1）若，則的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．8．（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點(diǎn)A，B分別落在E，F(xiàn)處，且點(diǎn)F在線段CD上（不與兩端點(diǎn)重合），若，則折疊后重疊部分的面積為．9．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)D、E分別為邊、的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連結(jié)．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)線段的長(zhǎng)為；(2)當(dāng)點(diǎn)P在折線上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求t的取值范圍；(4)當(dāng)與相等時(shí)，直接寫出t的值．10．（2023·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連，，，過(guò)作的平行線交射線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，（不考慮，，在同一直線的情況）

(1)當(dāng)時(shí)，試求出的長(zhǎng)；(2)當(dāng)與相似時(shí)，求的值；(3)當(dāng)在線段上時(shí)，設(shè)面積為，周長(zhǎng)為，①求與的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出的最小值．壓軸題型四相似三角形中最值問(wèn)題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上，，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．13．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作且分別交對(duì)角線，直線于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．184．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B是線段上任意一點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)C，使，在射線上取一點(diǎn)D，使．所在直線的關(guān)系式為，點(diǎn)F、G分別為線段的中點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．85．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)分別在邊上，且，連接，相交于點(diǎn)，則面積最大值為．

6．（2023·江蘇泰州·校考三模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，相交于點(diǎn)，則的最小值為．7．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，P是的中點(diǎn)，連接，若，則的最小值為．

8．（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，連接．若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值為．

9．（2023·江蘇泰州·?？既＃?一)感知：如圖，是的中位線，，、分別是、的中點(diǎn)，則；用字母表示與間有怎樣的相等關(guān)系：．二探索：如圖，在四邊形中，，其中，，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則．用字母，表示在上，在上，，且使四邊形四邊形，則用字母，表示在上，在上，，且平分四邊形的面積，求的長(zhǎng)用字母，表示三猜想：、、間的大小關(guān)系：，用、的表達(dá)式表示并對(duì)與間的關(guān)系進(jìn)行證明；四應(yīng)用：如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在、上，平分的面積，求周長(zhǎng)的最小值．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E是從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)D點(diǎn)，則點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為_(kāi)_____；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為_(kāi)_____．

壓軸題型五相似三角形中的綜合題型1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是邊的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．以下結(jié)論：①；②；③若四邊形的面積為2，則正方形的面積為24；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（

）

A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等腰三角形，．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（2023·黑龍江佳木斯·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤5．（2023春·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，在的左側(cè)作等腰直角三角形，，連接．

（1）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為時(shí)，的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為時(shí)，的長(zhǎng)最短．6．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)拿出如圖所示的矩形紙片，其中，他們將紙片對(duì)折使、重合，展開(kāi)后得折痕，又沿折疊使點(diǎn)C落在處，展開(kāi)后又得到折痕，再沿折疊使點(diǎn)A落在上的處，大家發(fā)現(xiàn)了很多有趣的結(jié)論．就這個(gè)圖形，請(qǐng)你探究的值為．

7．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，分別是，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在射線上，交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的值為．

8．（2023春·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，邊長(zhǎng)為8的正方形中，為邊的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

9．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，點(diǎn)E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)矩形是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．如圖1，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點(diǎn)E在線段上，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在矩形的外部作直角三角形，且，連接．判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明；(3)如圖3，若點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，M是中點(diǎn)，連接，，求的值．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)M，N，連接，可得．探究一：如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線上．求證：；探究二：在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：；探究三：把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交于點(diǎn)O，求的值．

第二十四章相似三角形50題（5類壓軸題專練）壓軸題型一相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（2023春·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，C． D．【答案】C【分析】A由題意知，是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；B如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得，四邊形是矩形，進(jìn)一步得到FG是的中位線，從而作出判斷；C如圖2所示，根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；D易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由題意知四邊形是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到，依此即可作出判斷.【詳解】解：由題意知，是等腰直角三角形，∴，故A正確；如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，

∴，∵，∴，∴，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴FG是的中位線，∴，故B正確；如圖2所示，

∵，∴．將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則；∵，∴，∴．在和中，∴（），∴．∵，∴，∴，即，故C錯(cuò)誤；∵，∵，∴，∴，∴，由題意知四邊形是矩形，∴，∴，即，∴，∴，故D正確．故選C．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．2．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知F是內(nèi)的一點(diǎn)，，，若四邊形的面積為2，，，則的面積是（）．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】延長(zhǎng)、分別交于點(diǎn)M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)、分別交于點(diǎn)M、N，∵，∴．∵，∴，，∴令，則，∴，∴，∴，∴，．∵,∴,,∴，．∴設(shè)，則，∴，∴．∵,∴,∴，解得，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，平行線分線段成比例．一定的難度，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長(zhǎng)度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，將沿的方向平移至，使得，其中E是與的交點(diǎn)，F(xiàn)是與的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平移的性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)易證四邊形為菱形，即得出．根據(jù)勾股定理可求出，又易證，即得出．設(shè)，則，代入，即可求出x的值，從而可求出，最后再次利用勾股定理即可求解．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，，，．∵四邊形為矩形，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴平行四邊形為菱形，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握上述知識(shí)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．4．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，給出結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個(gè)．

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于M，作于N，由，可得，從而判斷①；由，，得出，從而判斷②；先證，可得，從而判斷③，由結(jié)合等角的轉(zhuǎn)化，得出，從而判斷④．【詳解】解：延長(zhǎng)交于M，作于N，則，

∵，∴，故①不符合題意；∵，，∴，∴，∵，∴，故②符合題意；∵，∴，∴，∵，∴，故③符合題意；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理的含義，平行線分線段成比例的應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)．5．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為矩形的對(duì)角線，平分交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，．若，，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)由勾股定理求出，的長(zhǎng)，證明，求出，，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的面積即可解決問(wèn)題．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，為邊的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，，平分，，，，，，，，線段的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】通過(guò)導(dǎo)角證明，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，證明，得出，設(shè)，，依次證明，，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】解：，，又，，，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，

，，，在和中，，，．，，．，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是通過(guò)導(dǎo)角證明．7．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)．若，，，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】或【分析】①當(dāng)在邊上時(shí)，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)，連接，，可證四邊形是矩形，可得，可證，可得，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可求：，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)在邊上時(shí)，如圖，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)，連接，，

，，，為的中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，

同理可求：，，．故答案：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形性中位線定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等，找到點(diǎn)的不同位置，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·重慶南岸·九年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是．【答案】/【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義可得、、，再運(yùn)用勾股定理可得，，再由平行線等分線段定理可得，可求得，再運(yùn)用勾股定理求得再證，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴、，、∴，∴∵，∴,即，解得：,∴，∵，∴，∵，∴，∴，即,解得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理鞥知識(shí)點(diǎn)，理解題意、綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．（2023春·山東日照·九年級(jí)?？计谥校┮阎冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為4．(1)如圖，在邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，求證：；

(2)如圖，若點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上，滿足，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)7(3)【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和得出，再用平角得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于，構(gòu)造出含角的直角三角形，求出的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出，進(jìn)而求出的值，再判斷出，得出比例式即可得出結(jié)論；（3）先求出的值，進(jìn)而得出的值，再構(gòu)造出直角三角形求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出的值，再求出的長(zhǎng)度，最后用面積差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴；（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)作于，

∴，∵是等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，∴，，∴，在中，，，∴，根據(jù)勾股定理得，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如下圖，

由（2）知，，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，，∵，∴，，過(guò)點(diǎn)作于，在中，，根據(jù)勾股定理得，，過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用．10．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，直線EF過(guò)點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，．將矩形沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)P，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點(diǎn)M，連接．判斷，和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用證明，推出，即可證明．（2）由對(duì)稱的性質(zhì)可得，，等量代換可得，進(jìn)而可得，．根據(jù)，，可得，進(jìn)而可得，，推出，即可證明；（3）首先證明，推出，進(jìn)而可得．再依次證，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，變形可得，即．【詳解】（1）證明∵四邊形是矩形，∴，，∴，．∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴．∴，∴，∴．（2）證明：由對(duì)稱可得，．∵，∴．∴．∴．由（1）得，∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）解：數(shù)量關(guān)系是：．∵，∴．由對(duì)稱可得，∵，∴，由（2）知，即，在和中，，∴，∴．∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∴，∴．∵，∴．同理可證，∴．∴．∴．即．∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)，逐步進(jìn)行推導(dǎo)論證是解題的關(guān)鍵．壓軸題型二函數(shù)中的相似三角形問(wèn)題1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，，，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，，交于點(diǎn)，將沿折疊得到，與四邊形重疊部分的面積為，則下列圖像能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】如圖：當(dāng)G在上時(shí)，可求得函數(shù)關(guān)系式為可排除B、D；當(dāng)G在的延長(zhǎng)線上時(shí)，可求得函數(shù)關(guān)系式為，可排除A選項(xiàng)即可解答．【詳解】解：①當(dāng)G在上時(shí)，作于H，則四邊形為矩形，

，，,∵，，∴，即，解得：，∴，即，即以y軸為對(duì)稱軸開(kāi)口向上，可排除B、D；②當(dāng)G在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作于H，則四邊形為矩形，作于H，

，，，∵∵，，∴，即，解得：，同理：；∴，，∴，即開(kāi)口方向向下，可排除A選項(xiàng)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交四邊形另一邊于點(diǎn)．設(shè)，的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系圖象可能是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由平行四邊形的判定推出四邊形是平行四邊形，從而得到，通過(guò)證明，得到，由勾股定理得出，再分，，三種情況討論即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

，四邊形是平行四邊形，，在和中，，，，，，，①當(dāng)時(shí)，

，，，，，即，，；②當(dāng)，此時(shí)，

，；③當(dāng)時(shí)，

，，，，，，，，綜上，第一段為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，第二段為一次函數(shù)，第三段為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，相似三角形的判定與性質(zhì)等，全的三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，明確題意，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)等，全的三角形的判定與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)．若將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)點(diǎn)恰好落在y軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）【答案】A【分析】連接,過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作軸，先求出，再證明得出，，，再證明，推出，，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作軸，，，點(diǎn)到軸的距離為4，，，，，，，，，即，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，故選：A．\

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中作出輔助線證明三角形全等是解題關(guān)鍵．4．（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)淅川縣第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，點(diǎn)沿從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則圖中最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，由菱形的性質(zhì)可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，在中，解直角三角形可得，，于是，，易證，，由相似三角形的性質(zhì)分別求出和，易知，則為直角三角形．再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，四邊形為菱形，點(diǎn)在上，，垂直平分，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，的最小值為，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題、兩點(diǎn)之間線段最短、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正確理解題意，學(xué)會(huì)利用模型思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．5．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)，點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】聯(lián)立方程求得點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得，，利用兩點(diǎn)間距離公式建立方程求解即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)，點(diǎn)，令，整理得：解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，，∴，，∵，∴，設(shè)，則，，故，解得：，（不符合題意，舍去）∴點(diǎn)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，頂點(diǎn)C，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點(diǎn)A在第一象限，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為點(diǎn)F．若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，則k的值為．

【答案】4【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，得，再根據(jù)，可得，再證明，得到的長(zhǎng)，設(shè)，，得到的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)在同一反比例函數(shù)上，可解得的值，從而可得，再利用勾股定理解得，從而求得的值．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

軸，

，，，是的中點(diǎn)，，，，，即，同理可得，，，，設(shè)，則，，，都在反比例函數(shù)上，，解得，，在中，，，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，理解反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積相同，是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，已知中，，，，將的頂點(diǎn)O與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)B落在x軸上，另一頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上．將通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移變換得到，若斜邊在x軸上，且直角頂點(diǎn)也在反比例函數(shù)的第一象限的圖象上，則．【答案】【分析】利用勾股定理可得，即，即可得反比例函數(shù)為，根據(jù)旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)可得，，，，作軸于D，證明，即有，進(jìn)而可得，，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.8，進(jìn)而有，問(wèn)題隨之得解．【詳解】解：中，，，，∴，∴，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)為，由題意可知，，，，，作軸于D，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.8，代入，得，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至，兩點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，以為邊在右側(cè)作正方形，連接并延長(zhǎng)交軸的正半軸于點(diǎn)，連接，若以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的坐標(biāo)是．

【答案】或或【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)是可以確定，又四邊形是正方形，所以，即可證明的邊，再根據(jù)“以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似”分：①，②兩種情況討論，根據(jù)與相似，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列出比例式計(jì)算即可求出正方形的邊長(zhǎng)，從而的長(zhǎng)即可求出．【詳解】解：如圖當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵點(diǎn)坐標(biāo)是，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∵以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，①當(dāng)時(shí)，可得：，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，可得：，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)坐標(biāo)是，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，在四邊形中，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，①當(dāng)，∴，則點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；②當(dāng)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是或或．故答案為：或或．

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)確定出，注意要分情況討論，避免漏解．也考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．9．（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖1，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．的長(zhǎng)度為，與的函數(shù)圖象如圖2所示．

(1)當(dāng)恰好平分時(shí)，求的值；(2)滿足（1）的條件下，求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）由圖象可得，通過(guò)證明，可求的長(zhǎng)，即可求解；（2）根據(jù)（1）中，，，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，連接，由圖2可得，，，，平分，，，，，，，，，，，（負(fù)值舍去），；（2）證明：由（1）知，，，，．

【點(diǎn)睛】本題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)在射線上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，連接，在射線上是否存在點(diǎn)，連結(jié)，使為等腰三角形．若存在，求出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)的長(zhǎng)為1或或【分析】（1）當(dāng)，，則，當(dāng)，，則，由，可知當(dāng)，，則，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行求解即可；（2）當(dāng)在線段上，，如圖1，由題意知，，，，證明，則，即，整理得，，當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)，，如圖2，同理求解即可；（3）由題意知，，如圖3，由題意知，為等腰三角形，分，，，三種情況求解求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，，則，當(dāng)，，則，∵，∴當(dāng)，，則，∴，，，∵，∴是直角三角形，；（2）解：當(dāng)在線段上，，如圖1，由題意知，，，，又∵，∴，∴，即，整理得，，當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)，，如圖2，同理，，∴，即，整理得，，綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為；（3）解：由題意知，，如圖3，由題意知，為等腰三角形，分，，，三種情況求解：①當(dāng)，則為底邊的高，∴，∴；②當(dāng)，由勾股定理得，，∴，∴；③當(dāng)，設(shè)，如圖3，過(guò)作于，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，當(dāng)，，則，∴，解得，，∴，∴；綜上所述，的長(zhǎng)為1或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．壓軸題型三動(dòng)點(diǎn)關(guān)系的相似三角形問(wèn)題1．（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)即停．當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對(duì)【答案】C【分析】首先設(shè)秒鐘與以、、為頂點(diǎn)的三角形相似，則，，，然后分兩種情況當(dāng)和當(dāng)討論．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．，，，當(dāng)，，即，解得；當(dāng)，，即，解得，綜上所述，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C．設(shè)BE＝x，BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣【答案】A【分析】作點(diǎn)F作FG⊥BC于G，依據(jù)已知條件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后證得△FGC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】作點(diǎn)F作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE與△EGF中，，∴△DBE≌△EGF（AAS），∴EG＝DB，F(xiàn)G＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y(tǒng)﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，∴△FGC∽△ABC，∴CG：BC＝FG：AB，即＝，∴y＝﹣．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶渝中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，D為的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），連接，當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，t的值為（

）A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5【答案】C【分析】求出，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，得出，即可得出；②當(dāng)時(shí)，證出，得出，因此，得出，；即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∴，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，∵D為的中點(diǎn)，∴，E為的中點(diǎn)，，∴；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∴，∴，∴；綜上所述：當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，t的值為2或3.5；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟記相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意分類討論．4．（2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．作于點(diǎn)G，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AG的最大值為（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】連接OB交PQ于F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC于H，連接AF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則由已知易證明△BFQ∽△OFP，則可得PQ過(guò)定點(diǎn)F；再證明△OFH∽△OBC，則可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AF的長(zhǎng)，則由垂線段最短可確定AG的最大值．【詳解】連接OB交PQ于F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC于H，連接AF，如圖．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則BQ=2t，OP=3t，∵B、C的縱坐標(biāo)相同，∴BC∥OA，∴△BFQ∽△OFP，∴，∴PQ恒過(guò)定點(diǎn)F．∵FH∥BC，∴△OFH∽△OBC，∴，即，∴，∴．∴由勾股定理得：．∵PQ恒過(guò)定點(diǎn)F，且AG⊥PQ，∴AG≤AF，∴AG的最大值為AF，即AG的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，確定PQ過(guò)定點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，作于點(diǎn)G，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則AG的最大值是．【答案】【分析】如圖，連接交于，由題意知，，證明，則，可得過(guò)定點(diǎn)，，，如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，證明，則，即，解得，，，由，過(guò)定點(diǎn)，可知當(dāng)與重合時(shí)，有最大值，為，在中，由勾股定理求的值，進(jìn)而可得最大的值．【詳解】解：如圖，連接交于，由題意知，，∴，又∵，∴，∴，∴過(guò)定點(diǎn)，，，如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，∴，，又∵，∴，∴，即，解得，，，∵，過(guò)定點(diǎn)，∴當(dāng)與重合時(shí)，有最大值，為，在中，由勾股定理得，∴最大值為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于確定過(guò)定點(diǎn)．6．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過(guò)點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)Q，設(shè)O是線段的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】由題意知，如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，證明，則，即，解得，如圖，過(guò)作于，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連接，作，交于，連接、中點(diǎn)、，由題意知在上運(yùn)動(dòng)，證明，則即，解得，由、分別為、中點(diǎn)，可知是的中位線，則，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵，，∴，如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，∵，，∴，∴，即，解得，如圖，過(guò)作于，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連接，作，交于，連接、中點(diǎn)、，∴由題意知，在上運(yùn)動(dòng)，∵，，∴，又∵，∴，∴即，解得，∵、分別為、中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于確定的運(yùn)動(dòng)軌跡．7．（2023秋·河北保定·九年級(jí)校考期末）如圖，已知在中，，，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），，射線與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交射線于點(diǎn)．（1）若，則的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】/2.45或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，利用外角的性質(zhì)及得出，根據(jù)相似三角形的判定得出，最后利用相似三角形的性質(zhì)建立等式求解可得．（2）設(shè)，分類討論，當(dāng)，時(shí)的兩種情況．由（1）已知，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合是等腰三角形，得出時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立等式關(guān)系求解；得出，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：（1）在中，，，．，，．．，．，即，．故答案為：．（2）如圖所示，若，設(shè)，，，．．是等腰三角形，，，是等腰三角形．．，，．，即，．如圖所示，若，設(shè)，，，．．是等腰三角形，，，是等腰三角形．，是等腰三角形．，，即．故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題考查三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用能力．涉及平行線，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)相等（等邊對(duì)等角）．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．注重分類思想，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點(diǎn)A，B分別落在E，F(xiàn)處，且點(diǎn)F在線段CD上（不與兩端點(diǎn)重合），若，則折疊后重疊部分的面積為．【答案】【分析】設(shè)BN=NF=x，則NC=（4-x），根據(jù)，AB=CD=3，確定DF=1，F(xiàn)C=2，在直角三角形NCF中，實(shí)施勾股定理確定x，利用△NCF∽△FDQ，計(jì)算DQ，F(xiàn)Q，得證△MEQ≌△FDQ，求得AM=ME，根據(jù)重疊面積等四邊形ABNM的面積與△MEQ面積的差計(jì)算即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，∵，∴DF=1，F(xiàn)C=2，∵沿著MN折疊矩形ABCD，使點(diǎn)A，B分別落在E，F(xiàn)處，∴設(shè)BN=NF=x，則NC=（4-x），∴在直角三角形NCF中，∴解得x=，4-x=，∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，∴∠NFC+∠DFQ=90°，∴∠FNC=∠DFQ，∴△NCF∽△FDQ，∴FD：NC=FQ：NF=DQ：CF=1：，解得DQ=，F(xiàn)Q=，∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，∴EQ=DQ，∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，∴△MEQ≌△FDQ，∴ME=FD=1，∴AM=ME=1，∴重疊面積=四邊形ABNM的面積-△MEQ面積==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)，會(huì)證三角形的全等，三角形相似，會(huì)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)D、E分別為邊、的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連結(jié)．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)線段的長(zhǎng)為；(2)當(dāng)點(diǎn)P在折線上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求t的取值范圍；(4)當(dāng)與相等時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)2(2)(3)，(4)或【分析】（1）利用勾股定理求出，可得結(jié)論；（2）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可；（3）分三種情況求出特殊位置的值，①當(dāng)P在A上，在線段上時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，根據(jù)，，得，，在以為圓心，為直徑的圓上，證，根據(jù)平行線分線段成比例求得，從而得解；②當(dāng)P在上時(shí)，點(diǎn)在外部；③當(dāng)P在上，在線段上時(shí)，如圖2，DP交于點(diǎn)G，同①求得，從而得解（4）由，推得A，，E三點(diǎn)共線，過(guò)D作，得點(diǎn)P在上或點(diǎn)P在上，分兩種情況根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出的值，從而可得答案．【詳解】（1）解：，，，，為中點(diǎn)，．故答案為：2．（2）為的中點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，（3）①當(dāng)P在上，在線段上時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，

與關(guān)于對(duì)稱，，，為的中點(diǎn)，又，，，，在以為圓心，為直徑的圓上，，即，，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在內(nèi)部；②當(dāng)P在EB上時(shí)，點(diǎn)在外部；③當(dāng)P在AB上，在線段上時(shí)，如圖2，交于點(diǎn)G，

與關(guān)于對(duì)稱，，，為的中點(diǎn)，又，，，，在以為圓心，為直徑的圓上，，即，，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在內(nèi)部；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)在內(nèi)部．（4）當(dāng)時(shí)，，，與關(guān)于對(duì)稱，A，，E三點(diǎn)共線，過(guò)D作，點(diǎn)P在上或點(diǎn)P在上，如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，

，，，即如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，DP交于H點(diǎn)，

，，，，，在中，，，，，，，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論的思想解決問(wèn)題．10．（2023·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連，，，過(guò)作的平行線交射線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，（不考慮，，在同一直線的情況）

(1)當(dāng)時(shí)，試求出的長(zhǎng)；(2)當(dāng)與相似時(shí)，求的值；(3)當(dāng)在線段上時(shí)，設(shè)面積為，周長(zhǎng)為，①求與的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)或或(3)①；②【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）由，推出

即推出，分三種情形當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，即時(shí)，，時(shí)，分別構(gòu)建方程求解即可；（3）利用三角形面積公式計(jì)算即可；當(dāng)周長(zhǎng)為最小時(shí)最小，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小為，根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)即可得出結(jié)論．【詳解】（1），，，，，，又，，，即：，解得：；當(dāng)，此時(shí)；（2），，又，，，即，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)：，即，解得：；當(dāng)時(shí)：有，即，解得：；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)：，即，解得：，（不合題意，舍去）；綜上，或或；（3）連接，

的面積的面積，即；如圖，

，，根據(jù)勾股定理得，，是定值，所以當(dāng)周長(zhǎng)為最小時(shí)最小，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小為，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，的最小值．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．壓軸題型四相似三角形中最值問(wèn)題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于F，過(guò)作于E，交于D，則，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比可得結(jié)論．【詳解】解：作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于F，過(guò)作于E，交于D，則，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短問(wèn)題、三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱以及垂線段最短解決最短問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上，，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】取的中點(diǎn)O，再把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接，則有，即可求出，然后過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，連接，利用勾股定理可以得到再根據(jù)求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)O，再把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接，∵，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：，∴，，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上移動(dòng)，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，連接，

則是矩形，∴，，∴，∴∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造相似三角形確定點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作且分別交對(duì)角線，直線于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．18【答案】B【分析】過(guò)C作，取，連接，根據(jù)勾股定理得到，易得，即可得到，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最短即可得到答案；【詳解】解：如圖過(guò)C作，取，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最短，∴，∴，故選B；

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．4．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)B是線段上任意一點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)C，使，在射線上取一點(diǎn)D，使．所在直線的關(guān)系式為，點(diǎn)F、G分別為線段的中點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．8【答案】A【分析】如圖所示，連接，設(shè)射線交射線于H，過(guò)點(diǎn)H作于M，連接，先根據(jù)三線合一定理得到，，進(jìn)而證明四邊形是矩形，得到，，故當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，即最小，最小值為，設(shè)，則，求出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出或（舍去），則的最小值為．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)射線交射線于H，過(guò)點(diǎn)H作于M，連接，∵，，點(diǎn)F、G分別為線段的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是矩形，∴，，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∴當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，即最小，最小值為，∵點(diǎn)H在直線上，∴可設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴的最小值為，故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，證明四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)分別在邊上，且，連接，相交于點(diǎn)，則面積最大值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得則，根據(jù)已知，可得，在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，當(dāng)時(shí)，的面積最大為：，即可求出此時(shí)的最大面積．【詳解】解：，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作，

則，，，，，，，，，在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，當(dāng)時(shí)，的面積最大為：，此時(shí)的面積最大為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形面積公式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．6．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，相交于點(diǎn)，則的最小值為．【答案】10【分析】過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)，易知四邊形、、為矩形，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得；設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，易得，；作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即取最小值，此時(shí)，在中，由勾股定理求得的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)，易知四邊形、、為矩形，，∵四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∴，設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，則有，即，∵，∴，，∵四邊形為矩形，∴，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，如圖，則，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即取最小值，此時(shí)，在中，，∴的最小值為．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，P是的中點(diǎn)，連接，若，則的最小值為．

【答案】/【分析】在上取一點(diǎn)G，使得連接．根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，則，結(jié)合，可得，利用相似三角形的性質(zhì)證得根據(jù)可知的長(zhǎng)即為的最小值，利用勾股定理求出便可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)G，使得，連接．

∵四邊形為菱形，，∴，，∵，P是的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴當(dāng)點(diǎn)G、P、C在同一直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“胡不歸”問(wèn)題模型，正確畫出輔助線，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求解．8．（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，連接．若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值為．

【答案】【分析】連接交于M，連接，取的中點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)O作于N，易得四邊形為矩形，，推出和的長(zhǎng)，根據(jù)，得到當(dāng)O，H，D共線時(shí)，最小，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接交于M，連接，取的中點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)O作于N．

則：，∵矩形，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形為矩形，，，∴，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，由于M和B點(diǎn)都是定點(diǎn)，所以其中點(diǎn)O也是定點(diǎn)，當(dāng)O，H，D共線時(shí)，此時(shí)最小，∴DH的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，斜邊上的中線．解題的關(guān)鍵是條件輔助線，構(gòu)造相似三角形和直角三角形，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到線段的最小值．9．（2023·江蘇泰州·?？既＃?一)感知：如圖，是的中位線，，、分別是、的中點(diǎn)，則；用字母表示與間有怎樣的相等關(guān)系：．二探索：如圖，在四邊形中，，其中，，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則．用字母，表示在上，在上，，且使四邊形四邊形，則用字母，表示在上，在上，，且平分四邊形的面積，求的長(zhǎng)用字母，表示三猜想：、、間的大小關(guān)系：，用、的表達(dá)式表示并對(duì)與間的關(guān)系進(jìn)行證明；四應(yīng)用：如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在、上，平分的面積，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】(一)；；(二)（1）；（2）；（3）；(三)，證明見(jiàn)解析；(四)【分析】(一)由三角形的中位線定理可得出結(jié)論；連接交于點(diǎn)，分別在和，利用三角形中位線定理可得出結(jié)論；(二)（1）由(一)中的結(jié)論可直接解答；（2）利用相似圖得出線段比例關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，；由平行可得出，得出比例式用表示和，再根據(jù)平分四邊形的面積列出等式，整理即可得出結(jié)論；三利用作差法可得出結(jié)論；四由的面積的面積的一半可得出的值，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】解：(一)是的中位線，，，，；、分別是、的中點(diǎn)，：：，，，如圖，連接交于點(diǎn)，則是的中位線，是的中位線，，；由上可得，，整理得；故答案為：；；二（1）由一中的結(jié)論可得，故答案為：．（2）四邊形四邊形，：：，，故答案為：；（3）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由題意可知，，，：：；：：，設(shè)則，；平分四邊形的面積，，即，，，整理得，即；三由上可知，，，，，，，即，故答案為：；四平分的面積，，即，，，，的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的中位線定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，勾股定理等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)面積相等建立合適的等式是解題關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E是從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)D點(diǎn)，則點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為_(kāi)_____；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為_(kāi)_____．

【答案】（1）；（2）．理由見(jiàn)解析；（3）2；（4）【分析】（1）通過(guò)證明全等，得到；（2）通過(guò)證明得到，，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．可以證明；（3）作于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，證明，得出，求出，得出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，點(diǎn)G從點(diǎn)J運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M，求出結(jié)果即可；（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于G，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出此時(shí)的值最小，最小值為，根據(jù)，得出，即，從而得出的最小值就是的最小值．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；故答案為：；（2）解：．理由如下：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，點(diǎn)G從點(diǎn)J運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為2，故答案為：2．（4）解：作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于G，如圖所示：

根據(jù)解析（3）可知，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，∵，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴此時(shí)的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時(shí)出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．壓軸題型五相似三角形中的綜合題型1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是邊的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．以下結(jié)論：①；②；③若四邊形的面積為2，則正方形的面積為24；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（

）

A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作，根據(jù)條件證明即可證明①；設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，結(jié)合E是邊的中點(diǎn)，即可證明②；連接，可得，根據(jù)條件證明和即可證明③；結(jié)合，即可證明④．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作，如圖

∴，∵是正方形，∴，，∴是矩形，，∴是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故①正確；設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，∴，故②正確；連接，如圖，

∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∵四邊形的面積為2，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵是正方形，∴，∵，∴，由③得：，∴，∴，∴，由③得：∴，∴，即，故④正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等腰三角形，．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對(duì)等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯(cuò)誤；根據(jù)時(shí)，，得到,推出，④正確．【詳解】∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)．3．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯(cuò)誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結(jié)合，可得⑤正確．【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)．則，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯(cuò)誤，

如圖1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4．（2023·黑龍江佳木斯·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤【答案】A【分析】通過(guò)證明≌推出，即可判斷①；再證明，即可判斷②；利用角平分的性質(zhì)可證中邊的高與中邊的高相等，通過(guò)“等底等高”證明，即可判斷③；證明∽，∽，求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，可知當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí)，，即可判斷④；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，兩個(gè)等高的三角形面積比等于底長(zhǎng)的比，可證，即可判斷⑤．【詳解】解：四邊形是正方形，，．∵，≌，，故①正確；由①得，∵，∴，∴，∴，故②正確；

四邊形是正方形，，即是的角平分線，點(diǎn)G到邊與邊的距離相等，即中邊的高與中邊的高相等，又，，故③正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí)，，，由勾股定理得：，，，，∽，，．，，∽，，即，，，，，，當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí)，，故④正確；當(dāng)時(shí)，，，，∽，，中邊的高與中邊的高相等，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，故⑤錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是