初中數(shù)學講義初二上冊角的平分線的性質(提高)知識講解

角的均分線的性質（提升）【學習目標】1．掌握角均分線的性質，理解三角形的三條角均分線的性質．2．掌握角均分線的判斷及角均分線的畫法．3.嫻熟運用角的均分線的性質解決問題．【重點梳理】【高清講堂：388612角均分線的性質，知識重點】重點一、角的均分線的性質角的均分線的性質：角的均分線上的點到角兩邊的距離相等.重點解說：用符號語言表示角的均分線的性質定理：若CD均分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.重點二、角的均分線的判斷角均分線的判斷：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的均分線上.重點解說：用符號語言表示角的均分線的判斷：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD均分∠ADB重點三、角的均分線的尺規(guī)作圖角均分線的尺規(guī)作圖（1）以O為圓心，適合長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于1DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.23）畫射線OC.射線OC即為所求.重點四、三角形角均分線的性質三角形三條角均分線交于三角形內部一點，此點叫做三角形的心里且這一點到三角形三邊的距離相等.三角形的一內角均分線和此外兩極點處的外角均分線交于一點.這點叫做三角形的旁心.三角形有三個旁心.因此到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個.如下圖：△ABC的心里為P，旁心為P,P,P，這四個點到△ABC三邊所在直線距離相等.1234【典型例題】種類一、角的均分線的性質及判斷1、（2014秋?新洲區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的均分線與∠ACB的外角的均分線訂交于點P，連結AP．1）求證：PA均分∠BAC的外角∠CAM；2）過點C作CE⊥AP，E是垂足，并延伸CE交BM于點D．求證：CE=ED．【思路點撥】（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，依據(jù)角均分線性質求出PQ=PS=PT，依據(jù)角均分線性質得出即可；2）依據(jù)ASA求出△AED≌△AEC即可．【答案與分析】證明：（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如圖，∵在△ABC中，∠ABC的均分線與∠ACB的外角的均分線訂交于點P，PQ=PT，PS=PT，PQ=PS，∴AP均分∠DAC，即PA均分∠BAC的外角∠CAM；2）∵PA均分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．【總結升華】本題考察了角均分線性質和全等三角形的性質和判斷的應用，解本題的重點是能正確作出協(xié)助線并進一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角均分線上的點到角兩邊的距離相等．貫通融會：【變式】如圖，AD是∠BAC的均分線，DE⊥AB，交AB的延伸線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC.求證：BE＝CF.【答案】證明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的均分線，DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°DBDC在Rt△BDE與Rt△CDF中，，DEDFRt△BDE≌Rt△CDF（HL）BE＝CF2、如圖，AD是△ABC的角均分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為：（）A.11

C.7

【答案】B；【分析】解：過D點作DH⊥AC于H，AD是△ABC的角均分線，DF⊥AB，DH⊥ACDF＝DH在Rt△EDF和Rt△GDH中DE＝DG，DF＝DHRt△EDF≌Rt△GDH同理可證Rt△ADF和Rt△ADH∴S△AED

S△EDF=S△ADG

S△GDH∴2S△EDF

=S△ADG

S△AED

＝50－39＝11，∴△EDF的面積為5.5【總結升華】本題求△EDF的面積不方便找底和高，

利用全等三角形可用已知△

ADG和△AED的面積來表示△EDF面積.【高清講堂：

388612

角均分線的性質，例

6】3、（2016?湖州）如圖，AB∥CD，BP和CP分別均分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．若AD=8，則點P到BC的距離是（）A．8B．6C．4D．2【思路點撥】過點P作PE⊥BC于E，依據(jù)角均分線上的點到角的兩邊的距離相等即可推出P到BC的距離.【答案與分析】解：過點P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分別均分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．應選C．【總結升華】本題考察了角均分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，線是解題的重點．種類二、角的均分線的性質綜合應用

熟記性質并作協(xié)助4、如圖，

P為△ABC的外角均分線上任一點

.求證：

PB＋PC≥AB＋AC.【思路點撥】在BA的延伸線上取AD＝AC，證△PAD≌△PAC，進而將四條線段轉變到同一個△PBD中，利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.【答案與分析】證明：①當點P與點A不重合時，在BA延伸線上取一點

D，使

AD＝AC，連結

PD.∵P為△ABC的外角均分線上一點，∴∠1＝∠2∵在△PAD和△PAC中PA

PA1

2∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD∴PB＋PC＞AB＋AC.②當點P與點A重合時，PB＋PC＝AB＋AC.綜上，PB＋PC≥AB＋AC.【總結升華】利用角均分線的對稱性，在角兩邊取同樣的線段，經過（形，進而把分別的線段集中到同一個三角形中.

SAS）結構全等三角貫通融會：【變式】（2014秋?啟東市校級期中）如圖，四邊形的中點，且OA均分∠BAC．（1）求證：OC均分∠ACD；（2）求證：OA⊥OC；（3）求證：AB+CD=AC．

ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，點

O為

BD【答案】證明：（1）過點O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA均分∠BAC，∴OB=OE，∵點O為BD的中點，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC均分∠ACD；2）在Rt△ABO和Rt△AE