測量平差第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理課件

同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了誤差理論的基本概念。那么如何處理觀測數(shù)據(jù)、在處理數(shù)據(jù)中遵循何種原則？本次課程我們將簡要地敘述這一問題。第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理§4.1測量平差概述§4.2函數(shù)模型§4.3函數(shù)模型線性化§4.4測量平差的數(shù)學(xué)模型§4.5參數(shù)估計與最小二乘原理Chapter4MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares§4.1測量平差概述Chapter4Mathemati§4.1測量平差概述General一、測量控制網(wǎng)簡介1.高程控制網(wǎng)(水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng))

包括閉合水準(zhǔn)網(wǎng)和符合水準(zhǔn)網(wǎng)、三角高程網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知高程點，未知高程點和高差觀測值距離測站數(shù)2.平面控制網(wǎng)1）三角網(wǎng)：包括測角三角網(wǎng)、測邊三角網(wǎng)和邊角同測三角網(wǎng)。（1）測角三角網(wǎng)：包括獨立三角網(wǎng)和符合三角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點、未知、角度觀測值§4.1測量平差概述General一、測量控制網(wǎng)簡介2.（2）測邊三角網(wǎng)：包括獨立測邊網(wǎng)和符合測邊網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知點，未知點和觀測邊長（3）邊角三角網(wǎng)：包括獨立邊角網(wǎng)和符合邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長（2）測邊三角網(wǎng)：（3）邊角三角網(wǎng)：2）導(dǎo)線網(wǎng)：包括獨立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長。3）三維GPS控制網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知點，未知點，基線向量。2）導(dǎo)線網(wǎng)：包括獨立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)①水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：②測角網(wǎng)：③測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：：一個已知點高程確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)：一確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)②測角網(wǎng)：

（1）兩個相鄰點坐標(biāo)（2）一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長。確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)（1③測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長或兩個相鄰點坐標(biāo)。③測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，三、必要觀測必要觀測/必要元素：唯一確定一個確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進行的觀測稱為必要觀測，其符號用符號t表示。必要元素的特點：（1）元素的個數(shù)僅與幾何模型有關(guān)而與實際觀測量無關(guān)（2）必要元素之間函數(shù)獨立

三、必要觀測

必要觀測量？條件方程？必要觀測量？條件方程？

必要觀測量？四、多余觀測必要觀測之外的觀測稱為多余觀測，其數(shù)目用符號r表示。多余觀測數(shù)＝觀測總數(shù)－必要觀測數(shù)（r=n-t）與控制網(wǎng)有關(guān)幾個基本概念：必要觀測、觀測量、起算數(shù)據(jù)、多余起算數(shù)據(jù)待求量四、多余觀測必要觀測的特點：

元素的個數(shù)僅與幾何模型有關(guān)而與實際觀測量無關(guān)必要元素之間函數(shù)獨立問題：多余觀測：r=n-tn>t條件方程：觀測誤差存在使得測量平差有必要，多余觀測使得測量平差得以實現(xiàn)僅有必要觀測能否完成測量工作？觀測結(jié)果是否可靠？必要觀測的特點：僅有必要觀測能否完成測量工作？觀測結(jié)果是否可幾何量符號表示1、必要觀測次數(shù)t（個數(shù)和類型）2、實際觀測次數(shù)n3、多余觀測次數(shù)r4、觀測值5、真值6、真誤差7、估值8、平差值幾何量符號表示1、必要觀測次數(shù)t（個數(shù)和類型）五、幾何模型 1、確定幾何模型的必要元素（必要觀測量）（1）幾何模型的形狀2個（2）形狀、大小3個（3）形狀、大小、位置6個 2、必要元素的選取與性質(zhì)（1）能唯一確定該模型（2）最少需要（3）元素間不存在任何確定的函數(shù)關(guān)系五、幾何模型 1、確定幾何模型的必要元素（必要觀測量）測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位。三角形大地四邊形中心多邊形扇形測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位。三角形大地

由于觀測不可避免地存在偶然誤差，當(dāng)n>t時，幾何模型中應(yīng)該滿足r=n-t個條件方程，實際存在閉俁差而并不滿足，如何調(diào)整觀測值，即對觀測值合理地加上改正數(shù)，使其達(dá)到消除閉合差的目的，這是測量平差的主要任務(wù)。一個測量平差問題，首先要由觀測值和待求量間組成數(shù)學(xué)模型，然后采用一定的平差原則對待求量進行估計，這種估計要求是最優(yōu)的，最后計算和分析成果的精度。

觀測誤差存在使得測量平差有必要，多余觀測使得測量平差得以實現(xiàn)

由于觀測不可避免地存在偶然誤差，當(dāng)n>t時，幾何觀測函數(shù)模型：

是描述觀測量與未知量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系模型，是確定客觀實際的本質(zhì)或特征的模型。幾何模型：各種測量控制網(wǎng)幾何觀測量：方向、角度、高差、邊長物理模型：與時間、速度、加速度等物理量相關(guān)的模型；物理觀測量：時間、速度、加速度§4.2測量平差函數(shù)模型FunctionalModel函數(shù)模型：§4.2測量平差函數(shù)模型Functional一、條件平差的函數(shù)模型以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。出發(fā)點：觀測量之間的函數(shù)關(guān)系式——條件方程在具體測量問題中，實際觀測次數(shù)n，必要觀測次數(shù)t，則多余觀測次數(shù)r，那么可建立(n-t)個條件方程，即：

測量平差函數(shù)模型一、條件平差的函數(shù)模型測量平差函數(shù)模型二、間接平差法選擇幾何模型中t個獨立量為平差的參數(shù)，將每一個觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法。在具體測量問題中，實際觀測次數(shù)n，必要觀測次數(shù)t，則多余觀測次數(shù)r=(n-t)。選擇t個函數(shù)獨立的參數(shù)后可列出觀測方程：線性方程情況下其中二、間接平差法選擇幾何模型中t個獨立量為平差的參數(shù)，將每一個

三、附有參數(shù)的條件平差法

線性方程情況下

三、附有參數(shù)的條件平差法線性方程情況下四、附有限制條件的間接平差法線性方程情況下四、附有限制條件的間接平差法線性方程情況下§4.3函數(shù)模型線性化LinearizationofFunctionalModel四種平差方法的一般形式分別為條件平差法：間接平差法：§4.3函數(shù)模型線性化Linearizationof附有參數(shù)的條件平差法：附有條件的間接平差法：附有參數(shù)的條件平差法：若平差的函數(shù)是非線性的，平差之前就要進行線性化。線性化的方法是應(yīng)用臺勞級數(shù)展開，保留一次項對于函數(shù)按臺勞級數(shù)展開則有若平差的函數(shù)是非線性的，平差之前就要進行線性化。對于函數(shù)按臺令則函數(shù)F的線性形式是令則函數(shù)F的線性形式是§4.4測量平差的數(shù)學(xué)模型MathematicalModel數(shù)學(xué)模型函數(shù)模型隨機模型：§4.4測量平差的數(shù)學(xué)模型MathematicalMo

一、平差的隨機模型隨機模型：描述平差問題的中隨機量及其相互間統(tǒng)計相關(guān)性質(zhì)的模型,隨機模型描繪的是觀測值的統(tǒng)計性質(zhì)，是通過觀測值的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣（協(xié)因數(shù)陣）來表示，借以說明觀測值是否受系統(tǒng)誤差的影響、觀測值的精度季它們是否相關(guān)等。

一、平差的隨機模型隨機模型：描述平差問題的中隨機量及其相互二、數(shù)學(xué)模型1、條件平差2、間接平差（Gauss-Markoff模型）二、數(shù)學(xué)模型1、條件平差3、附有參數(shù)的條件平差4、附有限制條件的間接平差法3、附有參數(shù)的條件平差§4.5參數(shù)估計與最小二乘原理

EstimationofParametersandPrinciplesofLeastSquares一、參數(shù)估計及最優(yōu)性質(zhì)

平差問題是由于測量中進行了多余觀測而產(chǎn)生，不論何種平差方法，平差最終目的都是對參數(shù)和觀測量（或Δ）作出某種估計，并評定其精度。所謂評定精度，就是對待估量的方差與協(xié)方差作出估計。所以，可統(tǒng)稱為對平差模型的參數(shù)進行估計。無偏性

一致性有效性§4.5參數(shù)估計與最小二乘原理

Estimationof

一、參數(shù)估計及最優(yōu)性質(zhì)

數(shù)理統(tǒng)計理論證明，具有無偏性、最優(yōu)性的估計量必然是一致性估計量，所以測量平差中參數(shù)的最佳估值要求是最優(yōu)無偏估計量。由于平差模型是線性的，最佳估計也稱為最優(yōu)線性無偏估計。

一、參數(shù)估計及最優(yōu)性質(zhì)二、最小二乘原理測量平差就是測量數(shù)據(jù)調(diào)整，調(diào)整原則是使得觀測值殘差的平方和極小為原則：觀測量：調(diào)整后的估值改正數(shù)\殘差觀測值權(quán)陣二、最小二乘原理觀測量：小結(jié)重點：理解必要觀測、必要起算數(shù)據(jù)、多余觀測的概念掌握：函數(shù)模型、隨機模型的涵義、作用和實質(zhì)理解：四種平差方法的函數(shù)模型函數(shù)模型線性化的方法最小二乘原理了解：最小二乘估計的性質(zhì)小結(jié)重點：理解必要觀測、必要起算數(shù)據(jù)、多余觀測的概念

同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了誤差理論的基本概念。那么如何處理觀測數(shù)據(jù)、在處理數(shù)據(jù)中遵循何種原則？本次課程我們將簡要地敘述這一問題。第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理§4.1測量平差概述§4.2函數(shù)模型§4.3函數(shù)模型線性化§4.4測量平差的數(shù)學(xué)模型§4.5參數(shù)估計與最小二乘原理Chapter4MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares§4.1測量平差概述Chapter4Mathemati§4.1測量平差概述General一、測量控制網(wǎng)簡介1.高程控制網(wǎng)(水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng))

包括閉合水準(zhǔn)網(wǎng)和符合水準(zhǔn)網(wǎng)、三角高程網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知高程點，未知高程點和高差觀測值距離測站數(shù)2.平面控制網(wǎng)1）三角網(wǎng)：包括測角三角網(wǎng)、測邊三角網(wǎng)和邊角同測三角網(wǎng)。（1）測角三角網(wǎng)：包括獨立三角網(wǎng)和符合三角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點、未知、角度觀測值§4.1測量平差概述General一、測量控制網(wǎng)簡介2.（2）測邊三角網(wǎng)：包括獨立測邊網(wǎng)和符合測邊網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知點，未知點和觀測邊長（3）邊角三角網(wǎng)：包括獨立邊角網(wǎng)和符合邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長（2）測邊三角網(wǎng)：（3）邊角三角網(wǎng)：2）導(dǎo)線網(wǎng)：包括獨立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長。3）三維GPS控制網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知點，未知點，基線向量。2）導(dǎo)線網(wǎng)：包括獨立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)①水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：②測角網(wǎng)：③測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：：一個已知點高程確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)：一確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)②測角網(wǎng)：

（1）兩個相鄰點坐標(biāo)（2）一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長。確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)（1③測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長或兩個相鄰點坐標(biāo)。③測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，三、必要觀測必要觀測/必要元素：唯一確定一個確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進行的觀測稱為必要觀測，其符號用符號t表示。必要元素的特點：（1）元素的個數(shù)僅與幾何模型有關(guān)而與實際觀測量無關(guān)（2）必要元素之間函數(shù)獨立

三、必要觀測

必要觀測量？條件方程？必要觀測量？條件方程？

必要觀測量？四、多余觀測必要觀測之外的觀測稱為多余觀測，其數(shù)目用符號r表示。多余觀測數(shù)＝觀測總數(shù)－必要觀測數(shù)（r=n-t）與控制網(wǎng)有關(guān)幾個基本概念：必要觀測、觀測量、起算數(shù)據(jù)、多余起算數(shù)據(jù)待求量四、多余觀測必要觀測的特點：

元素的個數(shù)僅與幾何模型有關(guān)而與實際觀測量無關(guān)必要元素之間函數(shù)獨立問題：多余觀測：r=n-tn>t條件方程：觀測誤差存在使得測量平差有必要，多余觀測使得測量平差得以實現(xiàn)僅有必要觀測能否完成測量工作？觀測結(jié)果是否可靠？必要觀測的特點：僅有必要觀測能否完成測量工作？觀測結(jié)果是否可幾何量符號表示1、必要觀測次數(shù)t（個數(shù)和類型）2、實際觀測次數(shù)n3、多余觀測次數(shù)r4、觀測值5、真值6、真誤差7、估值8、平差值幾何量符號表示1、必要觀測次數(shù)t（個數(shù)和類型）五、幾何模型 1、確定幾何模型的必要元素（必要觀測量）（1）幾何模型的形狀2個（2）形狀、大小3個（3）形狀、大小、位置6個 2、必要元素的選取與性質(zhì)（1）能唯一確定該模型（2）最少需要（3）元素間不存在任何確定的函數(shù)關(guān)系五、幾何模型 1、確定幾何模型的必要元素（必要觀測量）測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位。三角形大地四邊形中心多邊形扇形測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位。三角形大地

由于觀測不可避免地存在偶然誤差，當(dāng)n>t時，幾何模型中應(yīng)該滿足r=n-t個條件方程，實際存在閉俁差而并不滿足，如何調(diào)整觀測值，即對觀測值合理地加上改正數(shù)，使其達(dá)到消除閉合差的目的，這是測量平差的主要任務(wù)。一個測量平差問題，首先要由觀測值和待求量間組成數(shù)學(xué)模型，然后采用一定的平差原則對待求量進行估計，這種估計要求是最優(yōu)的，最后計算和分析成果的精度。

觀測誤差存在使得測量平差有必要，多余觀測使得測量平差得以實現(xiàn)

由于觀測不可避免地存在偶然誤差，當(dāng)n>t時，幾何觀測函數(shù)模型：

是描述觀測量與未知量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系模型，是確定客觀實際的本質(zhì)或特征的模型。幾何模型：各種測量控制網(wǎng)幾何觀測量：方向、角度、高差、邊長物理模型：與時間、速度、加速度等物理量相關(guān)的模型；物理觀測量：時間、速度、加速度§4.2測量平差函數(shù)模型FunctionalModel函數(shù)模型：§4.2測量平差函數(shù)模型Functional一、條件平差的函數(shù)模型以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。出發(fā)點：觀測量之間的函數(shù)關(guān)系式——條件方程在具體測量問題中，實際觀測次數(shù)n，必要觀測次數(shù)t，則多余觀測次數(shù)r，那么可建立(n-t)個條件方程，即：

測量平差函數(shù)模型一、條件平差的函數(shù)模型測量平差函數(shù)模型二、間接平差法選擇幾何模型中t個獨立量為平差的參數(shù)，將每一個觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法。在具體測量問題中，實際觀測次數(shù)n，必要觀測次數(shù)t，則多余觀測次數(shù)r=(n-t)。選擇t個函數(shù)獨立的參數(shù)后可列出觀測方程：線性方程情況下其中二、間接平差法選擇幾何模型中t個獨立量為平差的參數(shù)，將每一個

三、附有參數(shù)的條件平差法

線性方程情況下

三、附有參數(shù)的條件平差法線性方程情況下四、附有限制條件的間接平差法線性方程情況下四、附有限制條件的間接平差法線性方程情況下§4.3函數(shù)模型線性化LinearizationofFunctionalModel四種平差方法的一般形式分別為條件平差法：間接平差法：§4.3函數(shù)模型線性化Linearizationof附有參數(shù)的條件平差法：附有條件的間接平差法：附有參數(shù)的條件平差法：若平差的函數(shù)是非線性的，平差之前就要進行線性化。線性化的方法是應(yīng)用臺勞級數(shù)展開，保留一次項對于函數(shù)按臺勞級數(shù)展開則有若平差的函數(shù)是非線性的，平差之前就要進行線性化。對于函數(shù)按臺令則函數(shù)F的線性形式是令則函數(shù)F的線性形式是§4.4測量平差的數(shù)學(xué)模型MathematicalModel數(shù)學(xué)模型函數(shù)模型隨機模型：§4.4測量平差的數(shù)學(xué)模型MathematicalMo

一、平差的隨機模型隨機模型：描述平差問題的中隨機量及其相互間統(tǒng)計相關(guān)性質(zhì)的模型,隨機模型描繪的是觀測值的統(tǒng)計性質(zhì)，是通過