2017年高考物理 專題集錦(二)利用速度偏折角確定磁場邊界圓

利用速度偏折角確定磁場邊界圓當(dāng)帶電粒子垂直于磁場方向經(jīng)過圓形邊界的勻強磁場時，如果已知帶電粒子進人磁場時的方向和離開磁場時的方向，則可求出這種有界磁場的圓形區(qū)域面積的最小值。由平面幾何可知，若從圓外一點引圓的兩條切線，則夾角的平分線必過圓心，且為切點弦的垂直平分線。因此，對于勻速圓周運動，圓心位于兩個速度矢量所在直線夾角的平分線上。那么對于帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動問題，如果已知初、末速度的方向和半徑大小，則可確定圓心的位置。即圓周運動軌跡的圓心位于兩個速度矢量偏折角的平分線上。這里所說的兩個速度矢量的偏折角，是指初速度的正方向與末速度的反方向的夾角，與速度的偏向角或偏轉(zhuǎn)角不同，其實偏折角與偏轉(zhuǎn)角互補。下面對有關(guān)帶電粒子在有界磁場中圓周運動所設(shè)置磁場的圓形區(qū)域最小面積問題進行舉例分析?！纠?】如圖1所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m電量為q,以平行于x軸的速度v從y軸上的a點射人第一象限。為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以速度v沿Ox軸夾角為60°的方向射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xOy平面，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。質(zhì)點重力忽略不計，若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這個圓形區(qū)域的最小面積。圖】cmv2【解析】質(zhì)點在磁場中做半徑為R的圓周運動，洛倫茲力提供向心力，即qvB=-R廠mv可知半徑R=二.qB如圖2所示，過b點作速度矢量的反向延長線，與初速度矢量所在直線相交于d點，作Zadc心的平分線，則質(zhì)點做圓周運動的圓心一定在角平分線上。圖2在角平分線上找一點o'使其到兩速度方向所在直線的垂直距離等于軌跡半徑R,則o'點就是質(zhì)點做勻速圓周運動的圓心，a'點和c點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。在通過a'點和c點的不同圓中，最小的一個圓是以線段a'c為直徑的圓。由于速度偏向角為60°，則半徑轉(zhuǎn)過的角度為60。，可知Za'Od二30。，因此所求圓形區(qū)域的最小半徑11為r二2代二R血30。=2R-1mv所以磁場區(qū)域的最小面積為S=兀r2=-n()2。4qB【點評】利用了圓周運動的性質(zhì)“圓周運動軌跡的圓心位于兩個速度矢量偏折角的平分線上”“圓周運動的速度偏轉(zhuǎn)角等于對應(yīng)半徑轉(zhuǎn)過的角度即圓心角”以及“圓周運動的速度沿切線方向”；利用了圓的性質(zhì)“圓的切線與經(jīng)過切點的半徑垂直”和“若以一條線段為弦作圓，則以線段為直徑的圓的面積最小”?！纠?】在科學(xué)研究中，可以通過施加適當(dāng)?shù)拇艌鰜韺崿F(xiàn)對帶電粒子運動軌跡的控制。冗如圖3所示，空間存在直角三角形MNQ,ZM為直角，-有一束質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子流以相同速度v由M點沿MQ方向射出。在MN所在直線的右側(cè)適當(dāng)區(qū)域施加垂直于MNQ平面的有界勻強磁場，使帶電粒子偏轉(zhuǎn)后能沿著QN方向到達N點，所加磁場的磁感應(yīng)強度為B。帶電粒子所受重力忽略不計。求：若所加磁場的橫截面為圓形，其最小面積為多少(q、m、v、B均已知)？磁場方向向里還是向外？若MN的長度L=1.5m,帶電粒子的質(zhì)量為m=4.0X10-8kg，電量為q=+4.0X10-3C、速度為v=5.0X104m/s，所加磁場的磁感應(yīng)強度為B=l.0T，橫截面仍為圓形，帶電粒子能沿著QN方向到達N點，貝帶電粒子由M點到N點的時間為多少(計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)?

【解析】（1）帶電粒子離開磁場時，速度方向沿QN方向，由于進入磁場時的初速度和離開磁場時的末速度都與運動軌跡相切，因此圓心位于角a的平分線上，可在角a平分線上找一點O使該點到垂直于初、末速度的方向所在直線上距離等于軌跡半徑，則該點即為圓周運動的圓心，―為其半徑。線段PS為運動軌跡圓弧的弦，點P、S恰好在磁場的邊界,I曲如圖4所示。I曲當(dāng)線段PS為所加圓形區(qū)域磁場直徑時，邊界圓的面積最小。Ob為圓形有界磁場的圓心，r2為其半徑。質(zhì)點在磁場中做半徑為n的圓周運動，洛mv2倫茲力提供向心力，即qvB=，可知半徑為ri兀=rcos—i\3mv6=麗?所以最小面積mva兀兀=rcos—i\3mv6=麗?所以最小面積ri=qB-ZO1QP=I=6'則zOiPO2=6'因此r2小3,mv、為S刃r2=4兀（亦）2磁場的方向垂直紙面向外。=rJ3=0.5\'3m。=rJ3=0.5\'3m。⑵把數(shù)據(jù)代人〔=亦，得-=。?5m。則PQ=°iPtan60。而MQ=Ltan30°=0.5\/3m，因此P點與M點重合，即粒子必須在M點進人磁場，在S點離開磁場，如圖5所示。運動軌跡對應(yīng)的圓心角為ZMOp=丁，即為三分之一周角。因此運動時間為三分之一周期。2兀m而周期為T==6.3x10-5s，所以帶電粒子在磁場中運動時間t=2.1x10-5s。qB1由圖5可知ON=1.0mSN=ONcos=￡m，因此帶電粒子在磁場外運動的1162時間為t=SN=1.7x10-5s，所以總時間為t=t+1=3.8x10-5s.2V12【點評】解題關(guān)鍵是證明P點與M點重合，即粒子必須在M點進人磁場，在S點離開磁場;對于粒子在磁場中的運動時間是通過圓心角和周期得出的?！纠?】如圖6所示，一質(zhì)量為m,帶電量為q的粒子以某一速度v從x軸上一點P射人第一象限的勻強磁場中，點P在磁場邊界上。速度v與z軸夾角為30°,—段時間后,粒子從y軸上的N點與軸正方向夾角60°的方向飛出，已知0P=a,ON二b二爲(wèi)a,不計粒子重力，求：勻強磁場磁感應(yīng)強度的大??；有界磁場所在圓形區(qū)域面積的最小值?！窘馕觥?1)作粒子圓周運動的偏折角的平分線，平行于x軸方向，如圖7所示。已知點P在磁場邊界上，則點D在磁場邊界上，那么運動軌跡的圓心0在速度偏折角的平分線上，可知PD=2Rsin60R,，又PD=b—atan30??？蓮Smv2廠mv3mv洛倫茲力提供向心力，即qvB=，所以磁感應(yīng)強度B==—q^R2qa(2)在以一條線段為弦的各圓中，面積最小的圓是以該線段為直徑的圓，則PD為直徑,因此圓形區(qū)域磁場的半徑為R二PD=斗R，所以磁場區(qū)域的最小面積為【點評】解題的關(guān)鍵是通過作圖并利用幾何關(guān)系求圓周運動的半徑R以及圓形區(qū)域的半徑r?！纠?】一質(zhì)量為m,帶電量q的粒子，以速度v°從0點沿y軸的正方向射人磁感應(yīng)強度為B的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b點穿過x軸，速度方向與z軸正方向的夾角為30°，如圖8所示，粒子的重力不計，求這個圓形磁場區(qū)域面積的最小值。

bb【解析】質(zhì)點在磁場中做半徑為R圓周運動，洛倫茲力提供向心力，可知半徑mv過b點作末速度矢量的反向延長線，與初速度矢量所在直線相交于d點，作的ZOdb的平分線，則質(zhì)點做圓周運動的圓心一定在角平分線上。若認為O點為磁場邊界，則運動軌跡的圓心在X軸上，那么角平分線與X軸的交點0'為運動軌跡的圓心，半徑為O'O=R。粒子在磁場中運動的偏向角為90°+30°=120°,則半徑轉(zhuǎn)過的角度為120°。即ZOO'a=120。，如圖9所示，0點和a點應(yīng)在所求有界磁場的圓形邊界上。在通過O點和a點的不同圓中，最小的一個是以線段Ob為直徑的圓。可知ZOO'd=60。，因此所求圓形區(qū)域的最小半徑為r二*Oa=Rsin60o=^lR，所以磁22場區(qū)域的最小面積為S場區(qū)域的最小面積為S=兀r2=若0點不在磁場邊界上，則磁場邊界必經(jīng)過y軸上C點，如圖10所示?？芍獔A周運動軌跡的半徑為O'c=R.在通過c點和a點的不同圓中，最小的一個是以_73線段ca為直徑的圓，則圓形區(qū)域的半徑為r二-Oa二Rsin60。=計R。2【點評】雖然利用兩個圖形計算有界磁場的最小圓形半徑相同，但兩個圖形是有本質(zhì)區(qū)別的，其中圖9是特殊情形，圖10是一般情形。在前面的例題中，圖4是一般情形，圖5是特殊情形，實際運動情況究竟是哪個圖，需由題給數(shù)據(jù)進行驗證。