高考數(shù)學(xué)專題解三角形《余弦定理、正弦定理的應(yīng)用》突破解析

11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.如圖,在河岸一側(cè)取A,B兩點(diǎn),在河岸另一側(cè)取一點(diǎn)C,若AB=12m,借助測(cè)角儀測(cè)得∠CAB=45°,∠CBA=60°,則C處河面寬CD為()A.6(3+3)mB.6(3-3)mC.6(3+23)m D.6(3-23)m答案B解析由CDsin60°=BDsin(90°-60°),CD2.如圖,D,C,B三點(diǎn)在地面同一直線上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)A的仰角分別是β,α(α<β),則點(diǎn)A離地面的高度AB等于()A.asinαsinC.asinαcos答案A解析在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得asin∴AC=asin∴AB=ACsinβ=asin3.一艘船上午9:30在A處,測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向,且與它相距82nmile,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向,則此船的航速是()A.8(6+2B.8(6-C.16(6+2D.16(6-答案D解析由題意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得SAsin105即82解得AB=8(6-故此船的航速為8(6-2)124.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉,在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,則cosθ等于()A.217 B.C.32114 D答案B解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=207.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=21由∠BAC=120°,得∠ACB為銳角,故cos∠ACB=277.故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=5.某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處,然后朝南偏西60°方向航行3海里到達(dá)C處,若A處與C處的距離為3海里,則x的值為.

答案3或23解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即x2+9-2·x·3cos30°=(3)2,即x2-33x+6=0,解得x=23或x=3.6.已知甲船在島B的正南方A處,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的島B航行,同時(shí)乙船自島B出發(fā)以6nmile/h的速度向北偏東60°的方向航行,當(dāng)甲、乙兩船距離最近時(shí),它們所航行的時(shí)間是h.

答案5解析如圖,設(shè)甲、乙兩船距離最近時(shí)航行時(shí)間為th,距離為snmile,此時(shí)甲船到達(dá)C處,則甲船距離B島(10-4t)nmile,乙船距離B島6tnmile,所以由余弦定理,得cos120°=(6t)2+(10-4t)2-s22·6t·(10-4t)=-12,化簡(jiǎn),7.緝私巡邏艇在一小島A南偏西50°的方向,距小島A12海里的B處,發(fā)現(xiàn)隱藏在小島A邊上的一走私船正開始向小島A北偏西10°方向行駛,測(cè)得其速度為每小時(shí)10海里,問巡邏艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在兩個(gè)小時(shí)后截獲該走私船?(參考數(shù)據(jù):sin38°≈0.62)解如圖所示,AC所在射線即走私船航行路線,假設(shè)巡邏艇在C處截獲走私船,巡邏艇的速度為每小時(shí)x海里,則BC=2x,AC=20.依題意∠BAC=180°-50°-10°=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°=122+202-2×12×20×-12=784,所以因?yàn)锽C=2x,所以x=14.又由正弦定理,得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=20×3228≈0而如圖所示的Rt△ADB中,∠ABD=40°.所以∠EBC=90°-38°-40°=12°.即巡邏艇用每小時(shí)14海里的速度向北偏東12°的方向航行.關(guān)鍵能力提升練8.如圖所示,在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C相對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,又測(cè)得C相對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50m,山坡的坡角為θ,則cosθ=()A.32 B.3-C.2-3 D.2答案B解析在△ABC中,由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(6由題圖知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=3-1,故選B.9.(2021福建期中)如圖,為了測(cè)量B,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上A,D兩點(diǎn),已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=26,DC=43,則BC的長(zhǎng)為()A.43 B.5C.65 D.7答案A解析在△ABD中,∠A=60°,AB=2,BD=26,由正弦定理ABsin得sin∠ADB=2×因?yàn)椤螧DC=90°-∠ADB,所以cos∠BDC=sin∠ADB=24在△BCD中,DC=43,BD=26,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2BD?DCcos∠BDC=(26)2+(43)2-2×26×43=48,所以BC=43.故選A.10.(2020江蘇高一期末)如圖,我方炮兵陣地位于A處,兩移動(dòng)觀察所分別設(shè)在C,D兩處.已知△ACD為正三角形.當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在點(diǎn)B時(shí),測(cè)得BC=1千米,BD=2千米.(1)若測(cè)得∠DBC=π3,求△ABC的面積(2)若我方炮火的最遠(yuǎn)射程為4千米,試問目標(biāo)B是否在我方炮火射程范圍內(nèi)?解(1)在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BD·BCcos∠DBC,∴CD2=1+4-2=3.∵BD2=CD2+BC2,∴∠BCD=π2∴S△ABC=12AC·BCsin∠=12×3×1×sinπ2+(2)設(shè)∠CBD=α,∠CDB=β,在△BCD中,由余弦定理得CD2=5-4cosα,由正弦定理得CDsinβ=sinα.在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcosβ+π3=9-4cosα-2ADcosβ+23ADsinβ=9-4cosα-2AD1-sin2β+=9-4cosα-2AD2-sin2=9-4cosα-2(2-cosα)+23sinα=5+4sinα-π6≤9,當(dāng)且僅當(dāng)α=2π3時(shí),AB∵3<4,∴目標(biāo)B在我方炮火射程范圍內(nèi).學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練11.如圖,A,B,C,D都在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)(與水平面垂直的平面),B,D為海島上兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于A處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)D的仰角分別為75°,30°,于C處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)D的仰角均為60°,AC=1km,求點(diǎn)B,D間的距離.解方法一在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=ACsin120在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,由正弦定理,得AB=ACsin60°sin15°=32+62.在△ADB中,∠BAD=180°-75得BD=AB3=3