西南2018年春0773《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)讀》作業(yè)答案及解析

.17/17單項(xiàng)選擇題1、中學(xué)數(shù)學(xué)課程要把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生接受的：

教育形態(tài)

理論形態(tài)2、中學(xué)數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理,更要講：

公理

道理

3、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展表明,數(shù)學(xué)全面形式化是：

完全可能的

不可能的

4、高中數(shù)學(xué)要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識,否則會(huì)將什么淹沒在形式化海洋里：

數(shù)學(xué)思維活動(dòng)

解題訓(xùn)練活動(dòng)5、數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)什么要求：

過高

基本

6、strong>哪種正多邊形可以尺規(guī)作圖？

正五邊形

正十七邊形7、strong>《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》是哪位數(shù)學(xué)家的著作？

牛頓

萊布尼茲8、strong>等邊三角形的幾何對稱群共包含多少元素？

3

6

9、strong>根據(jù)歐拉圓函數(shù)公式,根號-1開根號-1次方是一個(gè)什么數(shù)？

實(shí)數(shù)

虛數(shù)10、strong>歐幾里德《幾何原本》包含多少個(gè)幾何定理？

265

465

11、strong>每幾個(gè)專題可組成1個(gè)模塊：

2

412、strong>每個(gè)專題幾學(xué)分：

1

213、其中系列1、2由若干個(gè)模塊組成,系列3、4由若干個(gè)專題組成；每個(gè)模塊幾學(xué)分：

2

414、strong>選修課程包含幾個(gè)系列：

2

4

15、strong>高中數(shù)學(xué)課程分必修和選修。必修課由幾個(gè)模塊組成：

4

5

16、形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一,高中數(shù)學(xué)課程對形式推理的要求是：

建立嚴(yán)格的形式體系

適度形式化

以公理化形式呈現(xiàn)17、〔4為了培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識,高中數(shù)學(xué)課程設(shè)置了什么教學(xué)內(nèi)容：

計(jì)算機(jī)語言

計(jì)算機(jī)作圖

數(shù)學(xué)建模

18、高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)學(xué)生采取的學(xué)習(xí)方式：

記憶模仿

強(qiáng)化練習(xí)

自主探索

19、為了使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展,高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)具有：

D.多樣性與選擇性

E.普遍性與統(tǒng)一性

F.創(chuàng)造性與挑戰(zhàn)性20、高中數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)是：

A.基礎(chǔ)性

B.普及性

C.強(qiáng)制性多項(xiàng)選擇題21、strong>列入高中數(shù)學(xué)選修課的是：

微分方程初步

初等數(shù)論初步

對稱與群

22、strong>列入高中數(shù)學(xué)課程數(shù)列內(nèi)容是：

等差數(shù)列

差分?jǐn)?shù)列

遞歸數(shù)列23、strong>屬于高中平面解析幾何的內(nèi)容是：

直線方程

射影平面

圓錐曲線

24、strong>屬于高中立體幾何的內(nèi)容是：

三視圖

空間向量

工程制圖25、strong>屬于高中數(shù)學(xué)課程的函數(shù)內(nèi)容是：

指數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

多項(xiàng)式函數(shù)判斷題26、選擇性是整個(gè)高中課程的基本理念,是本次高中課程改革的最大變化之一。

A.√

B.×27、在高中數(shù)學(xué)課程中,數(shù)形結(jié)合主要有三個(gè)載體：解析幾何

、向量幾何、函數(shù)。A.√

B.×28、算法是設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)課程的主線之一。

A.√

B.×29、高中數(shù)學(xué)課程除了應(yīng)具有基礎(chǔ)性,還要具有多樣性與選擇性,使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

A.√

B.×30、數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展表明,數(shù)學(xué)全盤形式化是不可能的。

A.√

B.×31、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)加強(qiáng)幾何直觀,重視圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀進(jìn)行思考。

A.√

B.×32、形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求。

A.√

B.×33、〔51/2+1/3+1/4+…+1/99=24/25A.√B.×

34、1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=63/64A.√

B.×35、1+2+4+8+16+32+64=63+64A.√

B.×36、1+3+5+7+…+99=50×50。A.√

B.×37、1+2+3+4+…+100=5050。A.√

B.×38、長度為1的線段上的黃金分割點(diǎn)分該線段長度之比是一個(gè)有理數(shù)。A.√B.×

39、黃金分割是三條線段之間的比例關(guān)系。A.√

B.×40、黃金分割是兩條線段之間的比例關(guān)系。A.√B.×

41、正五邊形兩條對角線的交點(diǎn)將正五邊形的對角線黃金分割。A.√

B.×42、指出下列論斷正或誤：〔1黃金矩形可以尺規(guī)作圖。A.√

B.×43、在立體幾何內(nèi)容的教學(xué)中,可以用長方體內(nèi)點(diǎn)、線、面的關(guān)系為載體,使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上,認(rèn)識空間點(diǎn)、線

、面的位置關(guān)系。A.√

B.×44、我國的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重視基礎(chǔ)知識教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng),新世紀(jì)的高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)發(fā)揚(yáng)這種傳統(tǒng)。

A.√

B.×主觀題45、

數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理,更要講道理,通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng),使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程,體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法,追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡,把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的。參考答案：

教育形態(tài)46、

數(shù)學(xué)探究、、數(shù)學(xué)文化是貫徹于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容,這些內(nèi)容不單獨(dú)設(shè)置,滲透在每個(gè)模塊或?qū)ｎ}中。參考答案：

數(shù)學(xué)建模47、選擇高中數(shù)學(xué)課程中的某一具體內(nèi)容,以此內(nèi)容完成一項(xiàng)探究性教學(xué)設(shè)計(jì),并對你的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行簡單的點(diǎn)評分析。參考答案：解答:教學(xué)設(shè)計(jì)：平方差公式"探究式"教學(xué)。引入語：象整數(shù)的算術(shù)演算中存在某些"縮算法"一樣,代數(shù)式的演算中同樣存在"縮算法",而這些"縮算法"依賴一些形式簡便的乘法公式,這些乘法公式由來簡單,但是靈活運(yùn)用它們,可能會(huì)使復(fù)雜的代數(shù)式運(yùn)算變得簡單快捷。通過直接的計(jì)算,同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)下面的等式：介紹一則有關(guān)"平方差公式"的故事：美國北卡羅萊納大學(xué)教授CarlPomerance是一位當(dāng)代著名的計(jì)算數(shù)論家。Pomerance回憶中學(xué)時(shí)代曾經(jīng)參加一次普通的數(shù)學(xué)競賽,其中有一道題是分解整數(shù)8051。Pomerance沒有采用常規(guī)的因數(shù)檢驗(yàn)法,從小到大逐個(gè)驗(yàn)證,由2到的素?cái)?shù),哪些能夠整除8051。其實(shí)這樣做并不困難。象所有愛動(dòng)腦筋孩子一樣,Pomerance力圖尋找一個(gè)簡便算法,更快捷地發(fā)現(xiàn)8051的因數(shù),但是他沒有能夠在規(guī)定的時(shí)間之內(nèi)完成任務(wù),他失敗了。事實(shí)上,存在簡捷的分解方法：但是,失敗并沒有使這位未來的數(shù)論家放棄對問題的進(jìn)一步思考。事后Pomerance向自己提出下面一個(gè)非常有趣的問題。Pomerance問題：是否一個(gè)能夠分解的整數(shù)必定是兩個(gè)整數(shù)的平方差？上面問題的答案是肯定的,也就是說,我們有下面的定理。定理

每個(gè)奇合數(shù)必定能用平方差的方式分解為兩個(gè)大于1的整數(shù)之積。評述：本案例中的"自主探究"是以一位數(shù)學(xué)家真實(shí)的故事而引出的,故事中引出與"乘法公式"密切相關(guān)的"Pomerance問題",并通過數(shù)學(xué)家Pomerance之口,導(dǎo)出了一個(gè)多少有些使人感到意外的數(shù)學(xué)結(jié)果〔定理。我們認(rèn)為,這樣的結(jié)果對學(xué)生的啟發(fā)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過案例4中所列的一串"數(shù)字運(yùn)算等式"。自主探究應(yīng)當(dāng)采用生動(dòng)活潑、真正發(fā)人深思的形式,教師與教材編寫者應(yīng)該不斷研究、不斷改進(jìn)教學(xué)的思想方法,創(chuàng)建富有個(gè)性特點(diǎn)的"發(fā)現(xiàn)法"教學(xué)方法。48、從若干方面論述教師知識結(jié)構(gòu)對于高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的適應(yīng)性問題。參考答案：新課標(biāo)對教師的知識結(jié)構(gòu)提出了新的要求,系列3、4的選修課程涉及大量的以往高中數(shù)學(xué)課程中沒有的知識。對稱與群,歐拉公式與必曲面分類,三等分角與數(shù)域擴(kuò)充,初等數(shù)論與密碼,球面幾何,矩陣與變換,統(tǒng)籌法與圖論,等等。這些知識雖然都是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)能夠覆蓋的,但是如何在中學(xué)階段、在中學(xué)生的知識背景和理解能力的條件之下實(shí)施課程教學(xué),這是非常值得研究和探討的問題。越是復(fù)雜高深的知識在知識背景比較淺近的人群之內(nèi)傳播,對于教師本人在知識理解和講授方法方面的要求越高。從這個(gè)意義上說,對中學(xué)生講授高等數(shù)學(xué)比在大學(xué)對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生講授高等數(shù)學(xué),教師所面臨的困難更大。

另外,新課程的教學(xué)法提倡啟發(fā)式、探究式教學(xué),這樣的教學(xué)方式也對教師的知識和能力提出了更高的要求。我們認(rèn)為教學(xué)中的探究與真正的數(shù)學(xué)研究沒有本質(zhì)的區(qū)別,我們難以想象完全缺乏研究能力的教師能夠啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)。49、〔1對下面有關(guān)函數(shù)概念教學(xué)的案例進(jìn)行分析,通過分析指出《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)。案例：一個(gè)圓臺形物體的上底面積是下底面積的1/4,如果該物體放置在桌面上,下底面與桌面接觸,則物體對桌面的壓強(qiáng)是200帕。若把物體翻轉(zhuǎn)過來,上底面朝下與桌面接觸,問物體對桌面的壓強(qiáng)是多少？參考答案：案例分析：我們認(rèn)為該教學(xué)案例作為函數(shù)概念的教學(xué)內(nèi)容,這是一個(gè)構(gòu)思很好的實(shí)例,它好在以下四個(gè)方面：1函數(shù)概念存在于問題背景之中。題目條件中沒有明顯地給出函數(shù)關(guān)系,但是要求學(xué)生首先判斷所要求的變量壓強(qiáng)y應(yīng)是接觸面積x的函數(shù)。2體積—質(zhì)量—壓強(qiáng)；代數(shù)—幾何—物理。強(qiáng)調(diào)了不同學(xué)科知識的聯(lián)系。3本題可以進(jìn)一步作擴(kuò)充為"桌面壓強(qiáng)y"作為"接觸面積x"的函數(shù),與物體的形狀是否相關(guān)？4把本案例與一些認(rèn)為制造的煩瑣的函數(shù)問題對比不難看到：函數(shù)教學(xué)中兩種理念、兩種結(jié)果。函數(shù)教學(xué)的一個(gè)非常重要的方面是讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)能夠作為反映現(xiàn)實(shí)世界客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在函數(shù)的教學(xué)建議中要求："在函數(shù)應(yīng)用的教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地體驗(yàn)函數(shù)是描述客觀世界的變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實(shí)問題中的作用"。50、簡述數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展中的地位和作用。參考答案：縱觀近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,可以看到數(shù)學(xué)科學(xué)是使科學(xué)技術(shù)取得重大進(jìn)展的一個(gè)重要因素,同時(shí)它提出了大量的富有創(chuàng)造性并卓有成效的思想。本世紀(jì)的數(shù)學(xué)成就,可以歸入數(shù)學(xué)史上最深刻的成就之列,它們已經(jīng)成為我們這個(gè)工業(yè)技術(shù)時(shí)代發(fā)展的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)科學(xué)的這些發(fā)展,已經(jīng)超出了它們許多實(shí)際應(yīng)用的范圍,而可載入人類偉大的智力成就的史冊。數(shù)學(xué)科學(xué)是集嚴(yán)密性、邏輯性、精確性和創(chuàng)造力與想象力于一身的一門科學(xué)。這個(gè)領(lǐng)域已被稱作模式的科學(xué)。其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對稱性。無論是探討心臟中的血液流動(dòng)這種實(shí)際的問題還是由于探討數(shù)論中各種形態(tài)的抽象問題的推動(dòng),數(shù)學(xué)科學(xué)家都力圖尋找各種模型來描述它們,把它們聯(lián)系起來,并從它們作出各種推斷。部分地說,數(shù)學(xué)探討的目的是追求簡單性,力求從各種模型提煉出它們的本質(zhì)。51、你自己對于我國數(shù)學(xué)課程教學(xué)"雙基"的認(rèn)識。參考答案：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔實(shí)驗(yàn)》要求：一方面保持我國重視基礎(chǔ)知識教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)。另一方面,隨著時(shí)代的發(fā)展,特別是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用、計(jì)算機(jī)技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展,數(shù)學(xué)課程設(shè)置和實(shí)施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識、基本技能和能力的內(nèi)涵,形成符合時(shí)代要求的新的"雙基"。例如,高中數(shù)學(xué)課程增加"算法"內(nèi)容,把最基本的數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計(jì)知識等作為新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能。同時(shí),應(yīng)刪減煩瑣的計(jì)算、人為的技巧化難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容,克服"雙基"異化的傾向。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì),注意適度形式化。數(shù)學(xué)課程教學(xué)中,需要學(xué)習(xí)嚴(yán)格的、形式化的邏輯推理方式。但是數(shù)學(xué)教學(xué),不僅限于形式化數(shù)學(xué),學(xué)生還必須接觸到生動(dòng)活潑、靈活多變的數(shù)學(xué)思維過程。要讓學(xué)生追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡,體念數(shù)學(xué)的形成過程和數(shù)學(xué)中的思想方法。教師應(yīng)該把高度嚴(yán)格的學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生樂于思考的、興趣盎然的教學(xué)形態(tài)。52、簡述高中數(shù)學(xué)課程中平面向量數(shù)量積的定義及相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容。參考答案：答：數(shù)量積定義：平面上兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積定義為a·b=|a||b|cosq,其中q是兩個(gè)向量之間的夾角。與平面向量相關(guān)的主要教學(xué)內(nèi)容包括以下三方面：1.如果兩個(gè)向量垂直,那么它們之間的夾角是直角cosq=0,因此a·b=0,反過來也對。說明兩個(gè)向量垂直的充分必要條件是它們的數(shù)量積為0。2.容易知道向量的數(shù)量積滿足條件〔la·b==l〔a·b=a·〔lb,由此數(shù)量積可以利用坐標(biāo)表示：如果x=〔a,b,y=〔c,d則x·y=〔ac,bd。3.兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積幾何意義是：a的長度與b在a上投影的長度的乘積。53、

高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對的學(xué)習(xí)要求,設(shè)立"數(shù)學(xué)史選講"等專題。參考答案：

數(shù)學(xué)文化54、

在高中"不等式選講"的教學(xué)中,應(yīng)強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的與背景,以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。參考答案：

幾何意義55、將下面兩組數(shù)字等式推廣到盡可能一般的情形：第一組：1+2+3+4+…+100=5050,1+3+5+7+…+99=50×50。第二組：1+2+4+8+16+32+64=63+64,1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=63/64參考答案：解答：第一組第一個(gè)等式的一般情形很簡單：1+2+3+…+n=n〔n+1/2

[1]但是第二個(gè)等式右邊一定是一個(gè)平方數(shù),即連續(xù)奇數(shù)之和1+3+5+7+…+〔問題的困難在于求出適當(dāng)?shù)膍,n使得[1]、[2]兩式右邊表達(dá)形式恰好是：123123,123×123之類的形式。觀察123123的數(shù)形是123123=123×〔1001=123×〔103+1=N×〔10t+1。這樣一般地我們有1+2+3+…+2N=N〔2N+1=N×〔10t+1。N=10t。也就是說只有形狀如1+2+3+…+1000=500500

[3]1+3+5+…+999=500×500

[4]諸如此類的等式才符合我們的要求。第二組等式極容易推廣：假定M是2的方冪,那么我們總有1+2+4+8+16+…+M=<M-1>+M

[5]1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/M=<M-1>/M

[6]從[3]、[4]、[5]、[6]四個(gè)等式使我們看到簡單的數(shù)列求和也會(huì)出現(xiàn)意想不到有趣等式。我們說：數(shù)字推理其樂無窮。56、用教學(xué)實(shí)例說明直觀幾何在中學(xué)幾何課程中的地位和作用。參考答案：答：幾何的直觀性是一個(gè)有目共睹的事實(shí),由于幾何的直觀性,使得幾何在數(shù)學(xué)中〔即使在數(shù)學(xué)家正在研究的高深的數(shù)學(xué)中具有非常重要的地位。下面我們引用當(dāng)代偉大的數(shù)學(xué)家MichaelAtiyah的話：現(xiàn)代數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的差別更多地是在方式上而不是在實(shí)質(zhì)上。本世紀(jì)的數(shù)學(xué)在很大程度上是在與實(shí)質(zhì)上具有的幾何困難作斗爭,這些困難是由于研究高維問題而產(chǎn)生的。集合直觀仍然是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的最有效的渠道,應(yīng)當(dāng)在各級學(xué)校盡可能廣泛地利用幾何思想。現(xiàn)在各國中學(xué)幾何課程中都加入了直觀幾何的內(nèi)容。學(xué)生能夠在直觀幾何課中遇到引人入勝的難題,例如,種種迷人的折紙與拼圖游戲,觀察和實(shí)驗(yàn)是直觀幾何的主要內(nèi)容。學(xué)生能夠通過生動(dòng)的、富有想象力的活動(dòng),發(fā)展自己的空間想象力；通過實(shí)實(shí)在在的動(dòng)手操作,了解什么是幾何變換；通過折疊、拼合建立關(guān)于對稱的直觀概念。觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、想象等認(rèn)知活動(dòng)在直觀幾何中以形形色色、豐富多彩的方式表現(xiàn)出來。幾何圖形是幫助我們進(jìn)行數(shù)學(xué)想象的最有效的工具。本來,數(shù)學(xué)中的概念都是非常抽象的概念,而真正抽象的對象是難以思考的,直觀的幾何圖形是我們最容易利用的數(shù)學(xué)形象。因此,直觀幾何不但能夠幫助初學(xué)者掌握基礎(chǔ)知識,也能夠幫助人們進(jìn)行真正的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)創(chuàng)造。直觀幾何并不僅僅停留在直觀操作的層面,經(jīng)過教師的細(xì)心引導(dǎo),直觀幾何中也可以包含豐富多彩的、嚴(yán)格的邏輯推理。57、選擇高中數(shù)學(xué)課程中的某一具體內(nèi)容,以此內(nèi)容完成一項(xiàng)探究性教學(xué)設(shè)計(jì),并對你的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行簡單的點(diǎn)評分析。參考答案：教學(xué)設(shè)計(jì)：平方差公式"探究式"教學(xué)。象整數(shù)的算術(shù)演算中存在某些"縮算法"一樣,代數(shù)式的演算中同樣存在"縮算法",而這些"縮算法"依賴一些形式簡便的乘法公式,這些乘法公式由來簡單,但是靈活運(yùn)用它們,可能會(huì)使復(fù)雜的代數(shù)式運(yùn)算變得簡單快捷。通過直接的計(jì)算,同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)下面的等式:<a+b><a-b>=a^2-b^2,例如：98×102=10000-1=9999。下面介紹一則有關(guān)"平方差公式"的故事：美國北卡羅萊納大學(xué)教授CarlPomerance是一位當(dāng)代著名的計(jì)算數(shù)論家。Pomerance回憶中學(xué)時(shí)代曾經(jīng)參加一次普通的數(shù)學(xué)競賽,其中有一道題是分解整數(shù)8051。Pomerance沒有采用常規(guī)的因數(shù)檢驗(yàn)法,從小到大逐個(gè)驗(yàn)證,由2到根號8051的素?cái)?shù),哪些能夠整除8051。其實(shí)這樣做并不困難。象所有愛動(dòng)腦筋孩子一樣,Pomerance力圖尋找一個(gè)簡便算法,更快捷地發(fā)現(xiàn)8051的因數(shù),但是他沒有能夠在規(guī)定的時(shí)間之內(nèi)完成任務(wù),他失敗了。事實(shí)上,存在簡捷的分解方法：8051=8100-49=90^2-7^2=83*97。但是,失敗并沒有使這位未來的數(shù)論家放棄對問題的進(jìn)一步思考。事后Pomerance向自己提出下面一個(gè)非常有趣的問題。Pomerance問題：是否一個(gè)能夠分解的整數(shù)必定是兩個(gè)整數(shù)的平方差？上面問題的答案是肯定的,也就是說,我們有下面的定理。定理

每個(gè)奇合數(shù)必定能用平方差的方式分解為兩個(gè)大于1的整數(shù)之積。案例評述：

本案例中的"自主探究"是以一位數(shù)學(xué)家真實(shí)的故事而引出的,故事之后,我們介紹了與"乘法公式"密切相關(guān)的"Pomerance問題",并通過數(shù)學(xué)家Pomerance之口,導(dǎo)出了一個(gè)多少有些使人感到意外的數(shù)學(xué)結(jié)果〔定理。我們認(rèn)為,這樣的結(jié)果對學(xué)生的啟發(fā)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過案例4中所列的一串"數(shù)字運(yùn)算等式"。自主探究應(yīng)當(dāng)采用生動(dòng)活潑、真正發(fā)人深思的形式,教師與教材編寫者應(yīng)該不斷研究、不斷改進(jìn)教學(xué)的思想方法,創(chuàng)建富有個(gè)性特點(diǎn)的"發(fā)現(xiàn)法"教學(xué)方法。58、用教學(xué)實(shí)例說明直觀幾何在中學(xué)幾何課程中的地位和作用。參考答案：答：幾何的直觀性是一個(gè)有目共睹的事實(shí),由于幾何的直觀性,使得幾何在數(shù)學(xué)中〔即使在數(shù)學(xué)家正在研究的高深的數(shù)學(xué)中具有非常重要的地位。下面我們引用當(dāng)代偉大的數(shù)學(xué)家MichaelAtiyah的話：現(xiàn)代數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的差別更多地是在方式上而不是在實(shí)質(zhì)上。本世紀(jì)的數(shù)學(xué)在很大程度上是在與實(shí)質(zhì)上具有的幾何困難作斗爭,這些困難是由于研究高維問題而產(chǎn)生的。集合直觀仍然是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的最有效的渠道,應(yīng)當(dāng)在各級學(xué)校盡可能廣泛地利用幾何思想。現(xiàn)在各國中學(xué)幾何課程中都加入了直觀幾何的內(nèi)容。學(xué)生能夠在直觀幾何課中遇到引人入勝的難題,例如,種種迷人的折紙與拼圖游戲,觀察和實(shí)驗(yàn)是直觀幾何的主要內(nèi)容。學(xué)生能夠通過生動(dòng)的、富有想象力的活動(dòng),發(fā)展自己的空間想象力；通過實(shí)實(shí)在在的動(dòng)手操作,了解什么是幾何變換；通過折疊、拼合建立關(guān)于對稱的直觀概念。觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、想象等認(rèn)知活動(dòng)在直觀幾何中以形形色色、豐富多彩的方式表現(xiàn)出來。幾何圖形是幫助我們進(jìn)行數(shù)學(xué)想象的最有效的工具。本來,數(shù)學(xué)中的概念都是非常抽象的概念,而真正抽象的對象是難以思考的,直觀的幾何圖形是我們最容易利用的數(shù)學(xué)形象。因此,直觀幾何不但