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專題4巧解一元二次方程知識解讀同學們在學習解一元二次方程時,已經(jīng)掌握了公式法,配方法,因式分解法等諸多方法,然而面對一個一元二次方程求解時,我們到底該選用哪一種方法呢?這就需要我們仔細觀察方程,根據(jù)方程的系數(shù)特點和結(jié)構(gòu)特征,選擇恰當?shù)姆椒?,簡潔、快速的解?本文重點介紹因式分解法和換元法。一、因式分解法因式分解法解一元二次方程的步驟可簡記為:“右化零,左分解,兩因式,各求解”.因式分解法解一元二次方程除了大家熟悉的提公因式法,公式法(完全平方公式或平方差公式)外,重點介紹用十字相乘法來求解,主要有兩種類型.類型一:對于方程,若,,則.原方程可化為.步驟:①分解二次項系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角;②分解常數(shù)項,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角;③交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項系數(shù);④橫寫因式.如圖4-1.要領(lǐng)是:豎分常數(shù)交又驗,橫寫因式不能亂.其可因式分解的充分必要條件是是完全平方數(shù)。類型二:對于方程,若,,,其中a,p,q均大于0,則.如圖4-2.要領(lǐng)是:“頭尾分解,交叉相乘,求和湊中,觀察試驗”.其可因式分解的充分必要條件是是完全平方數(shù).二、換元法換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體,并用一個新的字母替代這個整體來運算,從而使運算過程簡明清晰.一元二次方程的題目中,有些用常規(guī)方法解,既費時又費力,如果用換元法解,那就方便得多.換元法也可以稱為整體思想法,在數(shù)學中,整體思想是重要思想之一,要掌握牢固.培優(yōu)學案典例示范例1解方程.【提示】容易發(fā)現(xiàn),,所以左邊可分解為(x+7)(x-1).解方程:(1);(2);(3);(4).【提示】當常數(shù)項是正數(shù)時,分解的兩個數(shù)必同號,交又相乘之和等于一次項系數(shù)。當常數(shù)項是負數(shù)時,分解的兩個數(shù)必異號,交又相乘之和仍等于一次項系數(shù)。因此因式分解時,不但要注意首尾分解,而且需十分注意一次項的系數(shù),才能保證因式分解的正確性.例2 解方程.【提示】如圖4-3,左邊可分解為(2x-1)(3x-10).跟蹤訓練解方程:(1);(2);(3);(4).例3解方程.【提示】因為二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為2的整數(shù)倍,且常數(shù)項較大,故適合選用配方法。將原方程配方得.該題若用因式分解法,則需將9996進行分解因式,有點困難;若用求根公式法則計算量太大.例4 解方程.【提示】該方程左邊的兩個因式比較相像,故可以采用換元法來解。令,原方程變形為(a+1)(t-1)=1,,,即,從而求出x.該題若利用多項式的乘法轉(zhuǎn)化為一般式求解,相當麻煩,利用換元法則可事半功倍。例5 已知,求的值.【提示】把當作一個整體來考慮,設,,則原方程變?yōu)閠(t-2014)=2015.求得t即可.跟蹤訓練1.用換元法解方程.【提示】設,則,通過y求出x.2.已知實數(shù)x滿,求的值.【提示】原方程化為,令,則.例6解方程.【提示】本題含有絕對值符號,因此求解方程時,要考慮到絕對值的意義。跟蹤訓練1.解方程.【提示】解法1:顯然x≠3.分x>3和x<3兩種情況討論;解法2:將原方程化為,因式分解得,然后求解。2.解方程.【提示】顯然.分和兩種情況討論.例7解方程.【提示】本題用常規(guī)方法解非常麻煩,可移項變形得,,采用十字相乘法分解因式。跟蹤訓練解方程.【提示】為使二次項系數(shù)簡單,方程兩邊同乘以,得,再用十字相乘法進行因式分解,解法頗為巧妙. 競賽鏈接例8(2013數(shù)學周報杯全國初中數(shù)學競賽)已知實數(shù)x,y滿足,求的值?!咎崾尽堪岩阎膬蓚€方程分別看作關(guān)于和的一元二次方程.跟蹤訓練若k為正整數(shù),且關(guān)于x的方程有兩個不相等的正整數(shù)根,求k的值.【提示】原方程變形為,.培優(yōu)訓練直擊中考1.★是一元二次方程的兩個解,且,下列說法正確的是()A.小于-1,大于3B.小于-2,大于3C.,在-1和3之間D.,都小于32.★關(guān)于x的方程(m,h,k均為常數(shù),m≠0)的解是,則方程的解是()A.,B.
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