(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)1.4《基本不等式》課時(shí)跟蹤檢測(cè)(含詳解)

PAGE第8頁共8頁課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四）基本不等式一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．(2021·豫北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)a>0，則a＋eq\f(a＋4,a)的最小值為()A．2eq\r(a＋4) B．2C．4 D．5解析：選Da＋eq\f(a＋4,a)＝a＋1＋eq\f(4,a)≥1＋2eq\r(a·\f(4,a))＝5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí)取等號(hào)，故選D.2．設(shè)x為實(shí)數(shù)，則“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C若x<0，則－x>0，x＋eq\f(1,x)＝－(－x)＋eq\f(1,－x)≤－2，∴“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的充分條件；若x＋eq\f(1,x)≤－2，則eq\f(x2＋2x＋1,x)≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的必要條件．綜上，“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的充要條件．故選C.3．(2021·沈陽模擬)在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C．y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))D．y＝ex＋eq\f(4,ex)－2解析：選D對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)x>0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2；當(dāng)x<0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)≤－2，故A不合題意．對(duì)于選項(xiàng)B，由于0<x<eq\f(π,2)，因此0<sinx<1，函數(shù)的最小值取不到2，故B不合題意．對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為y＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))≥eq\f(5,2)，故C不合題意．故選D.4．(多選)若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)b有最大值eq\f(1,4) B.eq\r(a)＋eq\r(b)有最小值eq\r(2)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4 D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)解析：選AC∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，∴ab有最大值eq\f(1,4)，∴A正確．∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)≤a＋b＋2×eq\f(a＋b,2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，即eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)，B錯(cuò)誤．∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)≥eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4，∴C正確．∵a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，∴a2＋b2的最小值不是eq\f(\r(2),2)，∴D錯(cuò)誤，故選A、C.5．用一段長8cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形模型，則這個(gè)模型面積的最大值為()A．9cm2 B．16cm2C．4cm2 D．5cm2解析：選C設(shè)矩形模型的長和寬分別為xcm，ycm，則x>0，y>0，由題意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面積S＝xy≤eq\f(x＋y2,4)＝eq\f(42,4)＝4(cm2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)矩形模型的長和寬都為2cm時(shí)，面積最大，為4cm2.故選C.6．若x>1，則x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．解析：x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3時(shí)等號(hào)成立．答案：5二、綜合練——練思維敏銳度1．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：選D由1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)，變形為2x＋y≤eq\f(1,4)，即x＋y≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)．則x＋y的取值范圍是(－∞，－2]．2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，則a＋b的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B法一：由于a＋b＝ab≤eq\f(a＋b2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，故選B.法二：由題意，得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，故選B.3．已知a>0，b>0，并且eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差數(shù)列，則a＋9b的最小值為()A．16 B．9C．5 D．4解析：選A∵eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差數(shù)列，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝10＋eq\f(a,b)＋eq\f(9b,a)≥10＋2eq\r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(9b,a)且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，即a＝4，b＝eq\f(4,3)時(shí)等號(hào)成立，故選A.4．已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是()A．1 B．3C．6 D．12解析：選B∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq\f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq\f(3－x2,2x)＝eq\f(3x2＋3,2x)＝eq\f(3x,2)＋eq\f(3,2x)≥2eq\r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3x,2)＝eq\f(3,2x)，即x＝1時(shí)取等號(hào)．故選B.5．若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，則a＋b的最小值是()A．7＋2eq\r(3) B．6＋2eq\r(3)C．7＋4eq\r(3) D．6＋4eq\r(3)解析：選C由題意得eq\r(3a＋4b)＝eq\r(ab)，∴3a＋4b＝ab，∴eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1(a>0，b>0)．∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝4＋3＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥7＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(3)a＝2b時(shí)取等號(hào)．故選C.6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A.eq\f(5,3) B.eq\f(8,3)C．8 D．24解析：選C因?yàn)閍∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,3)(2x＋3y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\f(2,y)))＝eq\f(1,3)12＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y)≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值為8，故選C.7．已知△ABC的面積為1，內(nèi)切圓半徑也為1，若△ABC的三邊分別為a，b，c，則eq\f(4,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)的最小值為()A．2 B．2＋eq\r(2)C．4 D．2＋2eq\r(2)解析：選D因?yàn)椤鰽BC的面積為1，內(nèi)切圓半徑也為1，所以eq\f(1,2)(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，所以eq\f(4,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(2a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)＝2＋eq\f(2c,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)≥2＋2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＋b＝eq\r(2)c，即c＝2eq\r(2)－2時(shí)，等號(hào)成立，所以eq\f(4,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)的最小值為2＋2eq\r(2).8．正數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(－∞，6] D．[6，＋∞)解析：選D因?yàn)閍>0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq\f(b,a)＋eq\f(9a,b)≥10＋2eq\r(9)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(9a,b)，即a＝4，b＝12時(shí)，等號(hào)成立．由題意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，令f(x)＝x2－4x－2，則f(x)＝(x－2)2－6，所以f(x)的最小值為－6，所以－6≥－m，即m≥6.9．實(shí)數(shù)x，y滿足|x＋y|＋|x－y|＝2，若z＝4ax＋by(a>0，b>0)的最大值為1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有()A．最大值9 B．最大值18C．最小值9 D．最小值18解析：選C根據(jù)|x＋y|＋|x－y|＝2，可得點(diǎn)(x，y)滿足的圖形是以A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，D(1，－1)為頂點(diǎn)的正方形，可知x＝1，y＝1時(shí)，z＝4ax＋by取得最大值，故4a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋b)＝5＋eq\f(4a,b)＋eq\f(b,a)≥9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)時(shí)取等號(hào)．故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值9.故選C.10．已知a>0，b>0，若直線(a－1)x＋2y－1＝0與直線x＋by＝0互相垂直，則ab的最大值是________．解析：由兩條直線互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝eq\f(1,2)(a·2b)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))2＝eq\f(1,8)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時(shí)取等號(hào)．故ab的最大值是eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)11．若關(guān)于x的不等式x＋eq\f(4,x－a)≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．解析：∵x＋eq\f(4,x－a)＝x－a＋eq\f(4,x－a)＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.則(x－a)＋eq\f(4,x－a)≥2eq\r(x－a·\f(4,x－a))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－a＝2即x＝a＋2時(shí)，上式取得最小值4，又∵x－a＋eq\f(4,x－a)≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.答案：112．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若對(duì)于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是__________．解析：對(duì)任意x∈N*，f(x)≥3，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3.設(shè)g(x)＝x＋eq\f(8,x)，x∈N*，則g(x)＝x＋eq\f(8,x)≥4eq\r(2)，當(dāng)x＝2eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，又g(2)＝6，g(3)＝eq\f(17,3)，∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq\f(17,3).∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq\f(8,3)，∴a≥－eq\f(8,3)，故a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞))13．(1)當(dāng)x＜eq\f(3,2)時(shí)，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值．解：(1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)＋eq\f(3,2).當(dāng)x＜eq\f(3,2)時(shí)，有3－2x＞0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函數(shù)的最大值為－eq\f(5,2).(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，∴y＝eq\r(x4－2x)＝eq\r(2)·eq\r(x2－x)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值為eq\r(2).14．運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時(shí))．假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元．(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值．解：(1)設(shè)所用時(shí)間為t＝eq\f(130,x)(h)，y＝eq\f(130,x)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq\f(130,x)，x∈[50,100]．所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y＝eq\f(130×18,x)＋eq\f(2×130,360)x，x∈[50,100]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝\f(2340,x)＋\f(13,18)x，x∈[50，100])).(2)y＝eq\f(130×18,x)＋eq\f(2×130,360)x≥26eq\r(10)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(130×18,x)＝eq\f(2×130,360)x，即x＝18eq\r(10)時(shí)等號(hào)成立．故當(dāng)x＝18eq\r(10)千米/時(shí)時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26eq\r(10)元．三、自選練——練高考區(qū)分度1．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若直線eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝－2(m＞0，n＞0)也經(jīng)過點(diǎn)A，則3m＋n的最小值為()A．16 B．8C．12 D．14解析：選B由題意，函數(shù)f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，∴圖象恒過定點(diǎn)A(－3，－1)．∵直線eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝－2(m＞0，n＞0)也經(jīng)過點(diǎn)A，∴eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)＝2，即eq\f(3,2m)＋eq\f(1,2n)＝1.∴3m＋n＝(3m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2m)＋\f(1,2n)))＝eq\f(9,2)＋eq\f(1,2)＋eq\