空間向量知識點歸納2

文檔編碼:CQ7F9A1F6O10——HW5E8N2B9H9——ZJ5G9P1Q6T1空間向量期末復習學問要點：１、 空間向量得概念：在空間,我們把具有大小與方向得量叫做向量；注:（1〕向量一般用有向線段表示 同向等長得有向線段表示同一或相等得向量 .（2）空間得兩個向量可用同一平面內得兩條有向線段來表示；2、 空間向量得運算；定義:與平面對量運算一樣,空間向量得加法、減法與數乘運算如下 〔如圖〕；；;運算律：⑴加法交換律 :⑵加法結合律：⑶數乘支配律:３、 共線向量； 〔1）假如表示空間向量得有向線段所在得直線平行或重合,量或平行向量,平行于,記作；那么這些向量也叫做共線向 當我們說向量、共線 〔或／/）時,表示、得有向線段所在得直線可能就是同始終線,也可能就是平行直線；（2〕共線向量定理:空間任意兩個向量、（≠）,/／存在實數 λ,使=λ.4、共面對量

〔1〕定義:一般地,能平移到同一平面內得向量叫做共面對量； 說明:空間任意得兩向量都就是共面得 .〔2）共面對量定理：假如兩個向量不共線,與向量共面得條件就是存在實數使；5、空間向量基本定理：假如三個向量不共面,那么對空間任一向量,存在一個唯獨得有序實數組,使.如三向量不共面 ,我們把叫做空間得一個基底,叫做基向量 ,空間任意三個不共面得向量都可以構成空間得一個基底 .推論：設就是不共面得四點6、空間向量得數量積.,就對空間任一點,都存在唯獨得三個有序實數,使；〔１〕空間向量得夾角及其表示：已知兩非零向量,在空間任取一點,作,就叫做向量與得夾角,記作；且規(guī)定,明顯有；如,就稱與相互垂直,記作：；（2〕向量得模：設,就有向線段得長度叫做向量得長度或模,記作： ；〔3〕向量得數量積：已知向量,就叫做得數量積,記作,即；（4）空間向量數量積得性質：

①；②；③.〔5）空間向量數量積運算律：

①.②〔交換律）；③〔支配律）；7、空間向量得坐標運算 :

（1〕、向量得直角坐標運算

設=,=就（1）+=；〔2〕－＝;（4〕·＝;（３）λ=〔λ∈R〕;〔２〕、設A,B,就＝、

〔3）、設,,就=

; 、〔4〕、夾角公式 設=,=,就、（5〕；異面直線所成角=、

（6）、直線與平面所成得角得求法如以下圖,設直線l得方向向量為e,平面α得法向量為n,直線ｌ與平面α所成得角為φ,兩向量e與n得夾角為θ,就有ｓiｎφ＝|coｓ（7〕、 二面角得求法θ｜＝＼f（｜ｎ·e｜,|ｎ｜|ｅ｜〕、（１）如圖①,AＢ,CD就是二面角α.ｌ-β得兩個面內與棱ｌ垂直得直線,就二面角得大小θ=〈,〉；（２〕如圖②③,n1,n２分別就是二面角α；l.β得兩個半平面α,β得法向量,就二面角得大小θ＝〈n1,ｎ2〉或π—〈n1,ｎ２〉.練習題：1.已知a=〔－3,2,5）,b=（1,x,-1）且a·b＝2,就x得值就是（ 〕A；3 Ｂ.４ Ｃ.5 D；６２．已知ａ=〔2,4,5）,b＝（3,x,y）,如a∥ｂ,就（ 〕A．x＝6,y=15 B.ｘ＝3,y＝錯誤.C；ｘ＝3,y＝1５ D.x＝6,y＝＼f〔１5,2）3；已知空間三點 A（0,2,３〕,B（-2,1,6〕,C〔1,—1,5）.如｜ａ｜=＼r〔3〕,且ａ分別與錯誤.,錯誤.垂直,就向量a為（ ）A.〔1,1,1）B；〔—1,-1,—1〕C.（１,１,1〕或（-1,-1,－1）Ｄ；〔１,－1,1）或〔—１,1,－1）4.如a=（２,－3,5〕,b=〔－3,1,—4〕,就｜a－2ｂ｜=_____＿＿_、5；如以下圖,已知正四周體ＡBＣＤ中,AＥ=＼f〔1,4〕AB,ＣＦ=錯誤.CD,就直線DE與ＢＦ所成角得余弦值為___＿_＿＿＿．４、＼r〔258）解析∵a－２b=（８,－5,１3〕,BCＤ得垂心,∴｜a－2ｂ｜=＼r（８２＋－52+１３2）＝錯誤.、５、錯誤.解析因四周體ＡＢCD就是正四周體,頂點A在底面BCD內得射影為△所以有BC⊥DA,AB⊥CD、設正四周體得棱長為4,就錯誤.·錯誤.＝〔錯誤.+錯誤.）·（錯誤.＋錯誤.）=0＋錯誤.·錯誤.+錯誤.·錯誤.+0=4×1×cｏs１20°＋１×４×cos１20°＝-４,BF＝DE＝錯誤.=錯誤.,所以異面直線 DE與ＢF得夾角θ得余弦值為:cｏsθ==錯誤.、６、如以下圖,在平行六面體ABCＤ-A１B１C1Ｄ1中,設=a,=b,=ｃ,M,N,P分別就是ＡＡ1,BC,C１D1得中點,試用a,ｂ,c表示以下各向量 :〔1）；

（２）；〔3〕＋、

解:（１〕∵P就是C１D1得中點,

∴＝++

＝ａ++＼f（1,2〕=ａ+c+＼f〔１,2）

＝a＋ｃ＋錯誤.ｂ、〔2〕∵N就是BC得中點,

∴=++=－ａ＋b＋錯誤.＝-ａ＋b+錯誤.＝-ａ＋ｂ+錯誤.c、

（３）∵Ｍ就是ＡＡ1得中點,

∴=+＝＼f〔１,2）＋=－錯誤.a＋錯誤.=錯誤.a+錯誤.b+c,

又＝＋=錯誤.＋=錯誤.＋＝錯誤.ｃ+a,

∴＋＝錯誤.＋錯誤.=錯誤.a+錯誤.b+錯誤.c、7、已知直三棱柱ABC；A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC＝90°,且AB＝ＡA1,D,Ｅ,Ｆ分別為B1A,C1C,ＢC得中點；〔1）求證：ＤＥ∥平面ＡＢC；〔2）求證：B1F⊥平面AEF、證明：以A為原點,ＡB,ＡＣ,AＡ1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如以下圖得空間直角坐標系Ａ-xyz,令ＡB=AA1=4,就A（0,0,０）,Ｅ（0,4,2）,F（2,2,０〕,B１〔4,0,4〕,Ｄ〔2,0,2）,Ａ1（0,0,4〕,〔1〕＝（—2,4,0〕,平面ＡＢＣ得法向量為＝〔０,0,４）,∵·＝0,DE.平面ABＣ,∴DE∥平面ABC、

（2〕＝（－2,2,－4）,＝（2,－2,－2）,·=（－2）×2＋2×〔—2）＋（－4）×〔—2）＝0,∴⊥,B1F⊥ＥＦ,

·＝〔－2〕×２＋２×2＋〔－4）×0=0,

∴⊥,∴Ｂ１F⊥AF、

∵AF∩EF=Ｆ,∴B1F⊥平面AEF、8、如以下圖,在四棱錐P；AＢＣD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形AＢCD中,∠B＝∠C=90°,AB＝4,CD=1,點M在PB上,PB＝4PM,PＢ與平面ABＣD成3０°得角.求證:

（1）ＣM∥平面ＰAＤ；

〔2）平面ＰAB⊥平面 PＡD、

證明:以C為坐標原點,CB為ｘ軸,CD為ｙ軸,CP為z軸建立如以下圖得空間直角坐標系C-xyｚ、∵PC⊥平面ABCＤ,

∴∠PBC為PＢ與平面ABCD所成得角,

∴∠ＰBC＝30°,

∵PC=2,∴BC=2錯誤.,PB=4,

∴D（０,１,0〕,Ｂ（2錯誤.,0,0〕,Ａ〔2錯誤.,４,０〕,P（0,０,2）,M錯誤.,∴＝（0,－１,2〕,＝（2錯誤.,３,0〕,=錯誤.、

〔1）設ｎ＝（x,ｙ,z〕為平面ＰAＤ得一個法向量,

由錯誤.即錯誤.令y=2,得n=（－錯誤.,2,1〕；∵n·=－錯誤.×錯誤.＋２×0＋1×錯誤.＝０,

∴n⊥、又CM.平面PＡD,

∴CM∥平面PＡD、

〔２）如圖,?。罰得中點E,連接BE,就E（錯誤.,2,１〕,＝（-錯誤.,2,１）．

∵PＢ=ＡＢ,∴BE⊥PA、又∵·=（-錯誤.,2,1〕·（2錯誤.,3,0〕=０,

∴⊥、∴BE⊥DA、

又PＡ∩ＤＡ＝A,∴BE⊥平面PAD、

又∵BE.平面PAB,

∴平面ＰAB⊥平面PAD、9、如圖,在正方體AＢCＤ-A１B1Ｃ1D１中,Ｅ為AB得中點.（1）求直線AD與直線B1C所成角得大小；

（2）求證：平面 EＢ1D⊥平面B1CD、解：不妨設正方體得棱長為 2個單位長度,以 DA,DＣ,DD１分別為ｘ軸、y軸、z軸,建立如以下圖得空間直角坐標系 D；xyz、依據已知得：D〔0,0,0）,Ａ〔2,0,0）,B（2,2,0〕,C〔0,２,０）,B1〔2,２,2〕.（１〕∵=〔２,０,０）,=〔2,0,2〕,∴cos〈,〉＝錯誤.＝錯誤.、

∴直線AD與直線B1C所成角為錯誤.、

（2）證明：?。?Ｄ得中點F,得F〔1,１,1）,連接ＥF、

∵E為AB得中點,∴E〔2,1,0〕,

∴＝（－1,0,１）,＝〔0,2,0）,

∴·=0,·=０,

∴EF⊥DC,EＦ⊥CB１、

∵ＤC∩CＢ1＝C,∴EＦ⊥平面B１CD、

又∵EＦ.平面ＥB1D,∴平面ＥＢ1D⊥平面B1CD、１0.如圖,直角梯形ABCＤ與等腰直角三角形ＡＢE所在得平面相互垂直．AB∥ＣD,AＢ⊥ＢC,AB=2CＤ=2ＢＣ,ＥA⊥ＥＢ、

（1）求證:ＡB⊥DE;（２）求直線ＥC與平面ABＥ所成角得正弦值；（３〕線段EA上就是否存在點F,使EC∥平面FBD？如存在,求出錯誤.；如不存在,請說明理由.解:（１）證明：取 ＡB得中點O,連接EＯ,ＤO、

由于ＥB=ＥA,所以ＥO⊥AB、

由于四邊形 ABＣD為直角梯形；ＡＢ＝2CD＝２BC,AＢ⊥BC,所以四邊形OBCD為正方形,所以AB⊥OD、由于EO∩ＤO＝Ｏ,所以AB⊥平面EOD,所以ＡB⊥EＤ、

（２）由于平面 AＢE⊥平面AＢＣD,且ＥO⊥ＡB,

所以EＯ⊥平面ＡBCD,所以ＥO⊥OD、

由OB,OD,OＥ兩兩垂直,建立如以下圖得空間直角坐標系 O；xyz、由于三角形 EAB為等腰直角三角形 ,所以OA=OB＝OD＝OE,

設OＢ=1,

所以Ｏ（0,0,0〕,Ａ（-1,0,０〕,B〔1,0,0）,Ｃ〔1,１,0）,D（0,１,0〕,E〔0,0,1〕．所以＝（1,1,—1）,

平面ＡＢE得一個法向量為＝ 〔0,1,0〕；設直線ＥＣ與平面ABＥ所成得角為 θ,所以sinθ=｜cos〈,〉｜＝錯誤.=錯誤.,

即直線EC與平面ABＥ所成角得正弦值為 錯誤.、

１1、（１2分）如圖,在底面就是矩形得四棱錐BC=4,E就是PD得中點.〔1〕求證：平面ＰＤC⊥平面ＰAD；（2）求點B到平面PCD得距離.21、Ｐ—ＡBＣD中,PA⊥平面ＡＢCD,ＰA=AB=2,〔1）證明如圖,以A為原點,AD、AＢ、ＡP所在得直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,就依題意可知A〔0,0,0〕,B（０,2,０〕,C（4,２,0〕,D（４,0,0）,P（0,０,2〕.∴錯誤.＝〔4,0,－2）,錯誤.=〔0,—2,0〕,錯誤.=（0,0,－2〕.設平面PDC得一個法向量為 n＝〔x,y,1）,就.錯誤..錯誤.所以平面ＰCD得一個法向量為 錯誤.、∵PA⊥平面ABＣD,∴ＰA⊥ＡB,又∵AB⊥AD,PＡ∩AD=A,∴ＡB⊥平面PＡD、∴平面PAD得法向量為錯誤.=〔０,2,０〕；∵n·錯誤.＝0,∴ｎ⊥錯誤.、∴平面PDC⊥平面PAD、（2〕解由（1〕知平面PCD得一個單位法向量為＼ｆ〔n,|n｜）＝錯誤.、∴＝錯誤.＝錯誤.,∴點B到平面PCD得距離為錯誤.、１２. 如以下圖,在多面體 ABCD.A1B１C1Ｄ１中,上、下兩個底面 A1Ｂ１C1D1與ABCＤ互相平行,且都就是正方形 ,ＤＤ1⊥底面ＡBCD,AB=２A１B１＝2DＤ1=2a、〔1）求異面直線 AB1與DD1所成角得余弦值；〔２〕已知F就是ＡＤ得中點,求證:FB1⊥平面BCＣ1B１；（3）在〔2）得條件下,求二面角Ｆ；CC1；B得余弦值.解:以D為坐標原點,分別以 DＡ,ＤC,DD１所在直線為 x軸、y軸、z軸建立如圖所示得空間直角坐標系 D-xyz,就A（２a,0,０〕,B〔2ａ,2ａ,0〕,C〔0,2ａ,0）,D1（0,0,a）,F（ａ,０,0）,B1〔a,a,a〕,C1（0,ａ,a〕；〔１）∵=（－a,a,a〕,＝〔０,０,a）,

∴｜cos〈,〉｜=錯誤.＝錯誤.,∴異面直線AＢ1與ＤD１所成角得余弦值為＼f〔３）,3、〔2〕證明：∵=（-ａ,-a,a）,=〔—2a,0,０）,＝（０,ａ,a）,∴錯誤.∴FB１⊥ＢB１,FB1⊥BC、

∵BB1∩ＢＣ＝B,∴FＢ1⊥平面ＢCC1B１、

（3〕由〔２〕知,為平面 BCC1B1得一個法向量；

設n＝〔x１,y1,z1）為平面FＣC1得法向量,

∵＝（０,－ａ,a〕,=〔－ａ,２ａ,0）,∴錯誤.得錯誤.令y１=1,就ｎ=（2,１,1）,

∴cos〈,n〉=＼f〔·ｎ,｜｜·|n｜〕=錯誤.,∵二面角F.ＣC１；Ｂ為銳角,

∴二面角F.CＣ1.B得余弦值為錯誤.、13；如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,ＡB⊥AD,AD=CD=1,AＡ1=AB＝2,E為棱AA１得中點．（１〕證明:B１C1⊥ＣE;

（2）求二面角Ｂ1；ＣＥ.C1得正弦值. （3）設點M在線段C1E上,且直線ＡM與平面ADD1A1所成角得正弦值為 錯誤.,求線段ＡM得長； 解：法一：如圖,以點Ａ為原點建立空間直角坐標系０,1）,B１〔０,2,２〕,Ｃ1（１,2,1）,E（0,1,0〕.,依題意得A〔0,0,0）,B〔0,０,２）,C〔1,（1）證明：易得＝ 〔1,0,－１）,＝（—1,1,-1〕,于就是·=0,所以B1Ｃ1⊥CE、〔2）=（1,－2,－１〕.設平面Ｂ1CE得法向量m=（ｘ,ｙ,z）,就錯誤.即錯誤.消去x,得ｙ＋2z=0,不妨令ｚ=1,可得一個法向量為 m＝〔-3,－２,1）.由〔1）知,B1C1⊥CE,又ＣC１⊥B1C１,可得B１Ｃ1⊥平面CEＣ1,故＝（1,0,—1〕為平面ＣEC1得一個法向量．于就是cos〈ｍ,〉＝錯誤.=錯誤.=－錯誤.,從而sｉn〈m,〉=錯誤.、所以二面角Ｂ１-CE；Ｃ1得正弦值為錯誤.、（３〕＝〔0,１,0）,＝（1,１,１）.設＝λ＝〔λ,λ,λ）,0≤λ≤１,有＝＋=〔λ,λ+1,λ）；可取=（0,0,2〕為平面ADD1A1得一個法向量；設 θ為直線AM與平面ADD１A1所成得角,就 sinθ＝｜cos〈,〉|＝錯誤.＝錯誤.＝錯誤.、于就是錯誤.＝錯誤.,解得λ＝錯誤.,所以 AM＝錯誤.、法二