變異數(shù)與標準差

1、變異數(shù)與標準差變異數(shù):離差(資料值與期望值的差異)平方和的平均 標準差:變異數(shù)的平方根 變異數(shù)的單位是原資料單位的平方 標準差的單位同原資料的單位母體變異數(shù): 樣本變異數(shù):計算樣本變異數(shù)時，分母取(n-1)而非(n)的原因: 實務上，母體變異數(shù)通常未知，須以樣本變異數(shù)估計之，而樣本變異數(shù)會隨所 抽選樣本的不同而有變動(非固定)，若考慮很多次抽樣，每次都以” ”的 公式計算樣本變異數(shù)，則有些樣本變異數(shù)會高於母體變異數(shù)，有些則低於母體 變異數(shù)，但平均而言會與母體變異數(shù)很接近；反之，若計算樣本變異數(shù)時均除 以n，則平均而言會偏向低於母體變異數(shù)變異數(shù)(或標準準差)與與期望值值一樣，容易受受極值的的影響

2、例:(起起薪的資資料)若將最大大值改為為10,000，則起薪的資資料變異係數(shù)數(shù)(Coefficient of Variation)變異係數(shù)數(shù)定義為為CV是量量測相對對(於期期望值)分散程程度的量量數(shù)，表表示標準準差佔期期望值的的百分比比，通常常小於1例:(起起薪的資資料)表示薪資資的分散程度度約為期期望值的的5.6%變異係數(shù)數(shù)在財務務分析上上可用來來計算相相對的風風險變數(shù)變換換對期望望值與標標準差的的影響設變數(shù)Y為變數(shù)數(shù)X的函函數(shù):y=g(x)變數(shù)Y之之觀察值值的期望望值通常常無法直直接以X變數(shù)之之期望值值的相同同函數(shù)計計算，但但線性函函數(shù)則例例外若則則但對標準準差的影影響則為為 xy=ax+

3、by=axy=x+b例:假假設成成本(C)是是產量(x)的的線性函函數(shù)，變動成本本+固定定成本若每月平平均產量量為標標準準差則而產量與與成本的的變異係係數(shù)則分分別為Z分數(shù)(z-score)是一個特特殊的線線性變數(shù)變換換:未知時以以代代之之,而常常另稱之之為t分分數(shù)(t-score)正的Z分分數(shù)表示示變數(shù)值值比期望望值大z個標準準差負的Z分分數(shù)表示示變數(shù)值值比期望望值小|z|個個標準差差變數(shù)變換換後的Z分數(shù)是是無單位位的，所所以適用用於比較較不同資資料集之之資料值值在各自自資料集集裡的相相對位置置，例如如:林同同學身高高的z分分數(shù)為0.6，而體重重的z分分數(shù)為0.2；表示比比班上平平均身高高高0

4、.6個標標準差，而比平平均體重重重0.2個標標準差；所以在在班上是是屬於中中等個子子，但稍稍微高一一些經驗法則則(EmpiricalRule)若原資料料呈對稱稱如吊鐘鐘型的分分佈，則則經變數(shù)數(shù)變換後後的Z分分數(shù)會變變?yōu)閷ΨQ稱於零的的吊鐘型型分配，且分配配的型態(tài)態(tài)固定(不因標標準差的的大小而而有不同同)，此此通稱為為標準常常態(tài)分配配(Standard NormalDistribution)大約有68%的的z分數(shù)數(shù)會對稱稱分佈在在+1之間，大約有95%的的z分數(shù)數(shù)會對稱稱分佈在在+2之間，而幾乎所所有的z分數(shù)會會對稱分分佈在+3之間保齡球成成績的資資料0123-1-2-368%99.7%95%謝比

5、契夫夫(Chebyshev)不不等式式若原資料料的分佈佈非對稱稱，則至至少有的資料會會落在期望值+z倍標準準差之間，但但z須須大於1 Z275%389%494%例:(起起薪的資資料)若起薪分分配的期期望值=2,940，標準差差=165.65，則則至少有有75%畢畢業(yè)學生生的起薪薪會在2,940+2(165.65)=(2,608.7, 3,105.65)之之間89%畢畢業(yè)學生生的起薪薪會在2,940+3(165.65)=(2,443.05,3,436.95)之之間94%畢畢業(yè)學生生的起薪薪會在2,940+4(165.65)=(2,277.40,3,602.60)之之間離群值(Outliers)Z

6、分數(shù)可可用來檢檢查資料集裡是是否有離離群值:一般而言言，若Z分數(shù)的的絕對值值大於3，則稱稱對應的的資料值值為離群值離群值可可能是錯錯誤的資資料，也也可能是是較特殊殊的資料料如果是錯錯誤的資資料，須須訂正或或移除後後，才進進行統(tǒng)計計分析如果是特特殊的資資料，則則可比較較移除與與不移除除下的兩兩種分析析結果，折衷或或採其中中之一較較合理的的結果箱型圖(Box Plot)五個統(tǒng)計計量:Min, Q1,Q2,Q3, Max繪製圖型型的步驟驟:由Q1, Q3劃一個個箱型以Q2將將箱型分分成兩部部分由箱型兩兩邊各劃劃一條平平行直線線，向外外延伸到到Min與Max在箱型兩兩邊向外外 1.5倍IQR處處，各各

7、劃一條條垂直直直線在箱型兩兩邊向外外3倍倍IQR 處，各劃一一條垂直直直線Q1,Q2, Q3大約將將所有資資料平分分成四份份起薪資料料的箱型型圖Min=2,710Q1=2,865Q2=2,905Q3=3,000Max=3,325IQR=135Q1-1.5IQR=2,663Q3+1.5 IQR=3,203共變異數(shù)數(shù)(Covariance)與相關關係數(shù)(CorrelationCoefficient)量測兩量量化變數(shù)數(shù)之間線線性關聯(lián)聯(lián)程度的的量數(shù)例如:廣廣告次次數(shù)vs.銷銷售金額額溫度vs.餅餅乾乾的脆度度若觀察資資料的序序對呈呈現(xiàn)現(xiàn)狹長的的帶狀分分佈，則則表示兩兩變數(shù)具具有線性性關聯(lián)，分布越越集中，越有關關聯(lián)計算公式式:母體共變變異數(shù):樣本共變變異數(shù):母體相關關係數(shù):樣本相關關係數(shù):例:廣告次數(shù)數(shù)(x) vs.銷銷售金金額(y)相關係數(shù)數(shù)是無單單位的，且係數(shù)數(shù)值一定定會介於於+1與與-1之之間；正正的係數(shù)數(shù)表示正正向的相相關，負負的係數(shù)數(shù)表示負負向的相相關，係係數(shù)值越越接近+1，相關關程度越越高係數(shù)值接接近零，表示示無明顯顯的線性性相關，但並不不表示無無其他非非線性函函數(shù)的關關係，例如:x-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0y6.004.253.002.252.002.253.004.256.00相關係數(shù)數(shù)等於0，但兩兩變數(shù)有有拋物線線的關係係相關