專題十九解析版

1、專題十九 證明不等式之參數(shù)放縮問題1已知f（x）ex1+ln（+1）（1）若函數(shù)f（x）在（1，0）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a（0，1且x0，證明：f（x）2x【分析】（1）由+10在（1，0）上恒成立對a分類討論可得：a（，0）1，+）根據(jù)f（x）在（1，0）上單調(diào)遞增，當(dāng)a1時，容易得出單調(diào)性當(dāng)a0時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出（2）a（0，1且x0，f（x）2xex1+ln2xx+1，故只要證明：x0，ex1+ln（x+1）2x利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【解答】解：（1）由+10在（1，0）上恒成立當(dāng)a0時，xa，a1，可得a1當(dāng)a0時，xa，a0，可得a0故a（

2、，0）1，+）當(dāng)a1時，可得f（x）在（1，0）上單調(diào)遞增當(dāng)a0時，f（x）ex+0在（1，0）上恒成立，此時x+a0故ex（x+a）+10，aexxg（x），x（1，0），g（x）ex10，ag（1）1e綜上可得：f（x）在（1，0）上單調(diào)遞增，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，1e1，+）（2）證明：a（0，1且x0，f（x）2xex1+ln2xx+1，故只要證明：x0，ex1+ln（x+1）2x令h（x）ex1+ln（x+1）2x（x0）h（x）ex+2，h（x）ex，即h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，h（x）h（0）0h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，h（x）h（0）0故a（0，1且x0時，f（x）

3、2x【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題2已知函數(shù)f（x）（exx）a（ex+x）（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)ae且x0時，f（x）2【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，（2）利用（1）的結(jié)論，可知當(dāng)a1時，f（x）2恒成立，當(dāng)1ae時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）f（lna）alna1alna，再構(gòu)造函數(shù)設(shè)g（a）alna1alna，1ae，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可證明【解答】解：（1）f（x）（exx）a（ex+x），f（x）（ex1）a

4、（ex+1）ex1+aexa，當(dāng)a0時，exa0即，令f（x）0，解得x0，當(dāng)x（，0）時，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x（0，+）時，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)a0時，令f（x）0，解得x0，或xlna，當(dāng)0a1時，當(dāng)x（lna，0）時，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x（，lna），（0，+）時，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)a1時，當(dāng)x（0，lna）時，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x（，0），（lna，+）時，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)a1時，f（x）0恒成立，則函數(shù)f（x）在（，+）上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)a0時，函數(shù)f（x）在（，0）上單調(diào)遞減，在（0，+）上單調(diào)遞增，當(dāng)0a1時，函數(shù)

5、f（x）在（lna，0）上單調(diào)遞減，在（，lna），（0，+）上單調(diào)遞增，當(dāng)a1時，函數(shù)f（x）在（，+）上單調(diào)遞增，當(dāng)a1時，函數(shù)f（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，在（，0），（lna，+）上單調(diào)遞增，證明：（2）由（1）可知，當(dāng)a0時，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，f（x）f（0）1a2恒成立，當(dāng)0a1時，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，f（x）f（0）1a2恒成立，當(dāng)a1時，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，f（x）f（0）1102恒成立，當(dāng)1ae時，函數(shù)f（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增，f（x）f（lna）alnaa（+lna）alna1al

6、na，設(shè)g（a）alna1alna，1ae，g（a）1（1+lna）lna0恒成立，g（a）在（1，e單調(diào)遞減，g（a）ming（e）elne1elne2，f（x）2恒成立，綜上所述當(dāng)ae且x0時，f（x）2【點(diǎn)評】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于難題3已知函數(shù)f（x）aexlnx1（1）設(shè)x2是f（x）的極值點(diǎn)，求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)a時，f（x）0【分析】（1）推導(dǎo)出x0，f（x）aex，由x2是f（x）的極值點(diǎn)，解得a，從而f（x）exlnx1，進(jìn)而f（

7、x），由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）法一：當(dāng)a時，f（x）lnx1，設(shè)g（x）lnx1，x0，則，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)a時，f（x）0法二：f（x）0，即a，x0，令g（x），x0，則，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減，g（x）g（1），由此能證明當(dāng)a時，f（x）0法三：當(dāng)a時，f（x），即只需證明，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解【解答】解：（1）函數(shù)f（x）aexlnx1x0，f（x）aex，x2是f（x）的極值點(diǎn)，f（2）ae20，解得a，f（x）exlnx1，f（x），當(dāng)0 x2時，f（x）0，當(dāng)x2時，f（x）0，f（x）的單

8、調(diào)遞減區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+）（2）證法一：當(dāng)a時，f（x）lnx1，設(shè)g（x）lnx1，x0，則，由0，得x1，當(dāng)0 x1時，g（x）0，當(dāng)x1時，g（x）0，x1是g（x）的最小值點(diǎn)，故當(dāng)x0時，g（x）g（1）0，當(dāng)a時，f（x）aexlnx10證法二：函數(shù)f（x）aexlnx1，f（x）0，即a，x0，令g（x），x0，則，x0，g（1）0，當(dāng)0 x1時，lnx0，g（x）0，當(dāng)x1時，lnx0，g（x）0，g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減，g（x）g（1），a，ag（x）當(dāng)a時，f（x）0證法三：當(dāng)a時，f（x），即只需證明，由于，則exelnex

9、xexexlnexxexelnexlnex，令g（x）xex，則g（x）ex（x+1）0，即g（x）為增函數(shù)，又易證xlnexlnx+1，故g（x）g（lnex），即xexelnexlnex成立，故當(dāng)時，f（x）0【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力，是中檔題4已知函數(shù)f（x）（1）求曲線yf（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線方程；（2）證明：當(dāng)a1時，f（x）+e0【分析】（1）由f（0）2，可得切線斜率k2，即可得到切線方程（2）可得可得f（x）在（），（2，+）遞減，在（，2）遞增，注意到a1時，函數(shù)g（x）ax2+x1在（2，+）單調(diào)遞增，且g

10、（2）4a+10只需（x）e，即可【解答】解：（1）f（0）2，即曲線yf（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率k2，曲線yf（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為y（1）2x即2xy10為所求（2）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋篟，可得令f（x）0，可得，當(dāng)x時，f（x）0，x時，f（x）0，x（2，+）時，f（x）0f（x）在（），（2，+）遞減，在（，2）遞增，注意到a1時，函數(shù)g（x）ax2+x1在（2，+）單調(diào)遞增，且g（2）4a+10，故g（x）在（2，+）上恒大于零，即f（x）在（2，+）上恒大于零函數(shù)f（x）的圖象如下：a1，則e，f（x）e，當(dāng)a1時，f（x）+e0【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)

11、數(shù)的幾何意義，及利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題5已知函數(shù)f（x）（x2+a）exa（x+1）（1）當(dāng)a0時，求函數(shù)f（x）在（1，f（1）處的切線方程；（2）若a2，證明：當(dāng)x0時，f（x）0【分析】（1）把a(bǔ)0代入函數(shù)解析式，求得導(dǎo)函數(shù)，得到f（1），求得f（1），再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)行二次求導(dǎo)，可得原函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性證明當(dāng)x0時，f（x）0【解答】（1）解：當(dāng)a0時，f（x）x2ex，f（x）（x2+2x）ex，f（1）3e，f（1）e，函數(shù)f（x）在（1，f（1）處的切線方程ye3e（x1），即3exy2e0

12、；（2）證明：f（x）（x2+2x+a）exa，令g（x）（x2+2x+a）exa，則g（x）（x2+4x+a+2）ex，a2，當(dāng)x0時，（x2+4x+a+2）ex（x2+4x）ex0，即g（x）0g（x）在0，+）上是增函數(shù)，故g（x）g（0）0，即f（x）0，f（x）在0，+）上是增函數(shù)，f（x）f（0）0，即f（x）0故若a2，則當(dāng)x0時，f（x）0【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題6已知函數(shù)f（x）lnxkx+k（）若f（x）0有唯一解，求實(shí)數(shù)k的值；（）證明：當(dāng)a1時，x（f（x）+kxk）exax21（附：ln20.69，ln31.

13、10，e27.39）【分析】解法一：（）要使f（x）0有唯一解，只需滿足f（x）max0，且f（x）max0的解唯一，分當(dāng)k0，當(dāng)k0 討論求解；（）要證當(dāng)a1時，x（f（x）+kxk）exax21，即證當(dāng)a1時，exax2xlnx10，即證exx2xlnx10由（）得xlnxx（x1），故只需證ex2x2+x10，當(dāng)x0時成立；解法二：（）分當(dāng)k0時，當(dāng)k0時兩種情況求解，（）要證明當(dāng)a1時，x（f（x）+kxk）exax21，即證當(dāng)a1時，exax2xlnx10，（因?yàn)閍x2x2），即證exx2xlnx10【解答】解法一：（）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+）要使f（x）0有唯一解，只需滿足

14、f（x）max0，且f（x）max0的解唯一，（1分），（2分）當(dāng)k0時，f（x）0，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，且f（1）0，所以f（x）0的解集為1，+），不符合題意；（4分）當(dāng)k0時，且時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）有唯一的一個最大值為，令，得k1，此時f（x）有唯一的一個最大值為f（1），且f（1）0，故f（x）0的解集是1，符合題意；綜上，可得k1（6分）（）要證當(dāng)a1時，x（f（x）+kxk）exax21，即證當(dāng)a1時，exax2xlnx10，即證exx2xlnx10（7分）由（）得，當(dāng)k1時，f（x）0，即lnxx1，從而x

15、lnxx（x1），故只需證ex2x2+x10，當(dāng)x0時成立；（8分）令h（x）ex2x2+x1（x0），則h（x）ex4x+1，（9分）令F（x）h（x），則F（x）ex4，令F（x）0，得x2ln2因?yàn)镕（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x（0，2ln2時，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，即h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x（2ln2，+）時，F(xiàn)（x）0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，即h（x）單調(diào)遞增，所以h（ln4）58ln20，h（0）20，h（2）e28+10，由零點(diǎn)存在定理，可知x1（0，2ln2），x2（2ln2，2），使得h（x1）h（x2）0，故當(dāng)0 xx1或xx2時，h（x）0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x1xx2時

16、，h（x）0，h（x）單調(diào)遞減，所以h（x）的最小值是h（0）0或h（x2）由h（x2）0，得，h（x2），因?yàn)閤2（2ln2，2），所以h（x2）0，故當(dāng)x0時，h（x）0，所以原不等式成立（12分）解法二：（）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+）.，（1分）當(dāng)k0時，f（x）0，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，且f（1）0，所以f（x）0的解為1，+），此時不符合題意；（2分）當(dāng)k0時，所以當(dāng)時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，所以，（3分）令g（k）klnk1，（4分）當(dāng)k（0，1時，g（k）0，g（k）單調(diào)遞減，當(dāng)k（1，+）時，g（k）0，g（k）單調(diào)遞

17、增，所以g（k）g（1）0，由此可得當(dāng)k0且k1時，且當(dāng)x0+，x+時，f（x），由零點(diǎn)存在定理，使得f（x1）f（x2）0，當(dāng)x1xx2時，f（x）0，解集不唯一，不符合題意；當(dāng)k1時，f（x）f（1）0，所以f（x）0的解集是1，符合題意；綜上可得，當(dāng)k1時，f（x）0有唯一解；（6分）（）要證明當(dāng)a1時，x（f（x）+kxk）exax21，即證當(dāng)a1時，exax2xlnx10，（因?yàn)閍x2x2）即證exx2xlnx10，（7分）令F（x）exx2xlnx1（x0），則F（x）ex2xlnx1，（8分）令G（x）F（x），則在（0，+）上單調(diào)遞增，且G（1）0，G（2）0，所以x0（1，2）使得G（x0）0，即，所以當(dāng)xx0時，G（x）0，G（x）單調(diào)遞增，即F（x）遞增；當(dāng)0 xx0時，G（x）0，G（x）單調(diào)遞減，即F（x）遞減，所以，當(dāng)x（1，2）時遞減，F(xiàn)（x0）minH（