第二類曲線積分方案

1、第二類曲線積分第二節(jié) 第十章 一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)二、兩類曲線積分的聯(lián)系 三、第二類曲線積分的計算法第二類曲線積分第二節(jié) 第十章 一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)1. 問題引入“分割，近似, 求和, 取極限” 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用L: A B,解決辦法:求移動過程中變力聯(lián)想：恒力沿直線做功所作的功W.一、第二類曲線積分的概念及性質(zhì)1. 問題引入“分割，近似, 2 取近似把L分成 n 個小弧段,有向小弧段近似代替, 則有所做的功為F 沿則用有向線段 在上任取一點1 分割 2 取近似把L分成 n 個小弧段,有向小弧段近似代替,4 取極限(

2、其中 為 n 個小弧段的最大長度)3 求和變力沿曲線所作的功4 取極限(其中 為 n 個小弧段的最大長度)3 求設(shè) L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在(與分化和取點無關(guān)),在L 上定義了一個有界向量函數(shù)極限2. 定義10.2設(shè) L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對F(x,y)在有向曲線弧 L 上第二類曲線積分, 或?qū)ψ鴺说那€積分，記作則稱此極限值為向量值函數(shù)積分曲線F(x,y)在有向曲線弧 L 上第二類曲線積分, 或?qū)ψ鴺说牡诙惽€積分的向量形式第二類曲線積分的坐標形式對 x 的曲線積分;對 y 的曲

3、線積分.注1 關(guān)于第二類曲線積分的幾個術(shù)語2 若 為空間曲線弧 , 第二類曲線積分的向量形式第二類曲線積分的坐標形式對 x 的曲3如果L 是閉曲線, 則對坐標的曲線積分記為4對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!5 變力沿曲線所作的功3如果L 是閉曲線, 則對坐標的曲線積分記為4對坐標的曲性質(zhì)L1L2性質(zhì)L1L2(3) 有向性: 用L 表示 L 的反向弧 , 則這是第一類和第二類線積分的一個重要區(qū)別對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向.(3) 有向性: 用L 表示 L 的反向弧 , 則二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系起點： A a， 終點： B b定理二、兩類曲線積分之間的聯(lián)系起點： A a，

4、終曲線L的方程的向量形式：xyOABLM(x, y)其指向與參數(shù) t 增大時曲線 L上的點移動的方向一致.證曲線L的方程的向量形式：xyOABLM(x, y)其指向與參沿著L的方向移動時，參數(shù) t 增加.于是另一方面，一方面沿著L的方向移動時，參數(shù) t 增加.于是另一方面，一方面沿著L的方向移動時，參數(shù) t 減少.綜合(1)、 (2)，得沿著L的方向移動時，參數(shù) t 減少.綜合(1)、 (2)，得第二類曲線積分方案可以推廣到空間曲線上 從而可以推廣到空間曲線上 從而注注將積分化為對弧長的積分,解(方法1)其中L 沿上半圓周例1切向量與L方向一致.其方向余弦：將積分化為對弧長的積分,解(方法1)

5、其中L 沿上半圓周例1切第二類曲線積分方案切向量與L方向相反.與L同方向的切向量：其方向余弦： .(方法2)切向量與L方向相反.與L同方向的切向量：其方向余弦： .(方法3)(方法3)三、第二類曲線積分的計算法定理10.2 設(shè) L 是一條平面有向光滑曲線弧，其參數(shù)方程為三、第二類曲線積分的計算法定理10.2 設(shè) L 是一條平面則有首先證明：由兩類曲線的關(guān)系，得證則有首先證明：由兩類曲線的關(guān)系，得證再由第一類曲線積分的計算法，得再由第一類曲線積分的計算法，得同理可證同理可證即可；代入上式，且同時換限.注 1 a不一定小于 b !即計算定積分：即可；代入上式，且同時換限.注 1 a不一定小于 b

6、!2 如果 L 的方程為3 對空間光滑曲線弧 :2 如果 L 的方程為3 對空間光滑曲線弧 :思考定積分第二類曲線積分是！是否可看作第二類曲線積分的特例 ? xOABxOAB思考定積分第二類曲線積分是！是否可看作第二類曲線積分的特例 其中L 為沿拋物線解(方法1) 取 x 為參數(shù), 則從點的一段. 例2 計算注意積分路徑的表示形式其中L 為沿拋物線解(方法1) 取 x 為參數(shù), 則從點的 (方法2) 取 y 為參數(shù), 則-11注意積分路徑的表示形式 (方法2) 取 y 為參數(shù), 則-11注意積分其中 L 為(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點 A ( a

7、 , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ). 解 (1) L:(2) L :則則例3 計算沿不同的路徑積分，其結(jié)果不同其中 L 為(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半其中L為(1) 拋物線 (2) 拋物線 (3) 有向折線 解 (1) 原式(2) 原式(3) 原式例4 計算沿不同的路徑積分，所得到結(jié)果相同其中L為(1) 拋物線 (2) 拋物線 (3) 有向折線例5 計算其中是從點A (3, 2, 1)到點B (0, 0, 0)的直線段AB.解 直線AB為:例5 計算其中是從點A (3, 2, 1)到點B (0,作用下, 質(zhì)點由沿移動到解 (1)試求力場對質(zhì)點所作的功.其中為x例6 設(shè)

8、在力場作用下, 質(zhì)點由沿移動到解 (1)試求力場對質(zhì)點所作的功.(2) 的參數(shù)方程:x(2) 的參數(shù)方程:x內(nèi)容小結(jié)1. 定義2. 性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)1. 定義2. 性質(zhì)3. 計算4. 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!5. 兩類曲線積分之間的關(guān)系3. 計算4. 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!已知為折線 ABCOA(如圖), 計算思考題解已知為折線 ABCOA(如圖), 計算思考題解解備用題例1-1xyo解備用題例1-1xyo第二類曲線積分方案把對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分,解例1-2把對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分,解例1-2第二類曲線積分方案第二類曲線積分方案解例3-1三點連成的折線段；解例3-1三點連成的折線段；第二類曲線積分方案第二類曲線積分方案從 z 軸正向看為順時針方向.解 的參數(shù)方程:例5-1 求從 z 軸正向看為順時針方向.解 的參數(shù)方程:例5-解例5-2o解例5-2ooo人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。”通過閱讀