2022高考數(shù)學(xué)（理）一輪通用版講義：10.5直線與圓錐曲線

1、PAGE14第五節(jié)直線與圓錐曲線1了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用2理解數(shù)形結(jié)合的思想突破點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系eqavs4al基本知識判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程AByC0A，B不同時為0代入圓錐曲線C的方程F，y0，消去y也可以消去得到一個關(guān)于變量或變量y的一元方程即由eqblcrcavs4alco1AByC0，,F，y0消去y，得a2bc01當(dāng)a0時，設(shè)一元二次方程a2bc0的根的判別式為，則eqblcrcavs4alco10直線與圓錐曲線C相交；,0直線與圓錐曲線C相切；,0直線與圓錐曲線C相離2當(dāng)a0，b0時，即得到一個一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有

2、一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸平行或重合eqavs4al基本能力一、判斷題對的打“”，錯的打“”1直線l與橢圓C相切的充要條件是：直線l與橢圓C只有一個公共點2直線l與雙曲線C相切的充要條件是：直線l與雙曲線C只有一個公共點3直線l與拋物線C相切的充要條件是：直線l與拋物線C只有一個公共點答案：123二、填空題1設(shè)拋物線y28的準(zhǔn)線與軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_答案：1,12已知斜率為1的直線l過橢圓eqf2,4y21的右焦點，交橢圓于A，B兩點，弦AB的長為_答案：eqf8,53

3、雙曲線eqf2,9eqfy2,161的右頂點為A，右焦點為F，過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則AFB的面積為_答案：eqf32,15典例12022河南九校聯(lián)考已知直線yt與圓2y121相切且與拋物線C：24y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是A，30，B，20，C3,0D2,02若過點0,1作直線，使它與拋物線y24僅有一個公共點，則這樣的直線有A1條B2條C3條D4條解析1因為直線與圓相切，所以eqf|t1|,r121，即2t2244t0，于是16216t16t22t16t0，解得t0或t2結(jié)合圖形圖略分析可知，滿足題意的直線共有3條，分別為直線0，直線y1以

4、及過點0,1且與拋物線相切的直線非直線0故選C答案1A2C方法技巧直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法1代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于，y的方程組，消去y或得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標(biāo)2幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)提醒聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后，應(yīng)注意討論二次項系數(shù)是否為零的情況針對訓(xùn)練1若直線mny4和圓O：2y24沒有交點，則過點m，n的直線與橢圓eqf2,9eqfy2,41的交點個數(shù)為A至多一個B2C1D0解析：選B直線mny4和圓O：2y24沒有交點，圓心到直線的距離deqf4,rm2n22，m2n24eq

5、fm2,9eqfn2,4eqfm2,9eqf4m2,41eqf5,36m21，點m，n在橢圓eqf2,9eqfy2,41的內(nèi)部，過點m，n的直線與橢圓eqf2,9eqfy2,41的交點有2個2雙曲線C：eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是Aeqfb,aBeqfb,aCeqfb,a或eqfb,aDeqfb,aeqfb,a解析：選D由雙曲線漸近線的幾何意義知eqfb,aeqfb,a突破點二圓錐曲線中弦長及中點弦問題eqavs4al基本知識圓錐曲線的弦長公式設(shè)斜率為0的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A

6、1，y1，B2，y2，則|AB|eqr12|12|eqr12eqr122412eqr1f1,2|y1y2|eqr1f1,2eqry1y224y1y2eqavs4al基本能力一、判斷題對的打“”，錯的打“”1如果直線tya與圓錐曲線相交于A1，y1，B2，y2兩點，則弦長|AB|eqr1t2|y1y2|2過拋物線y22，由1知F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為1,0，1,0，所以以線段F1F2為直徑的圓為2y21，由題意知圓心0,0到直線l的距離deqf|m|,r21，得|m|eqr2|AB|2eqr1d22eqr1fm2,2eqr2eqr2m2，聯(lián)立得eqblcrcavs4alco1f2,4fy2,31，

7、,ym，消去y，得728m4m2120，由題意得8m2474m21233648m2487m20，解得m27，設(shè)C1，y1，D2，y2，則12eqf8m,7，12eqf4m212,7，|CD|eqr2|12|eqr2eqrblcrcavs4alco1f8m,724f4m212,7eqr2eqrf33648m2,49eqf4r6,7eqr7m2eqf8r3,7|AB|eqf8r3,7eqr2eqr2m2，解得meqfr3,3即存在符合條件的直線l，其方程為yeqfr3,3方法技巧求解弦長的4種方法1當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解2聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點

8、坐標(biāo)，代入兩點間的距離公式求解3聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關(guān)于或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到122或y1y22，代入兩點間的距離公式4當(dāng)弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長提醒利用弦長公式求弦長要注意斜率不存在的情形，若不存在，可直接求交點坐標(biāo)再求弦長涉及焦點弦長時要注意圓錐曲線定義的應(yīng)用考法二中點弦問題考向一由中點弦確定直線方程例2在橢圓eqf2,16eqfy2,91中，以點M1,2為中點的弦所在直線方程為_解析設(shè)弦的兩端點為A1，y1，B2，y2，代入橢圓方程得eqblcrcavs4alco1foal2,1,16fyoal2,1,91，,foal2,2,16fyoal2,

9、2,91，兩式相減得eqf1212,16eqfy1y2y1y2,90，所以eqf1212,16eqfy1y2y1y2,9，即eqf912,16y1y2eqfy1y2,12，因為122，y1y24，所以eqfy1y2,12eqf9,32，故該直線方程為y2eqf9,321，即932y730答案932y730考向二由中點弦確定曲線方程例3過點M2，2對稱，且MN的中點在拋物線y218上，則實數(shù)m的值為_解析設(shè)M1，y1，N2，y2，MN的中點對稱，MN1，y030又y00m，,4，f3m,4，代入拋物線方程，得eqf9,16m218eqblcrcavs4alco1fm,4，解得m0或8，經(jīng)檢驗都符

10、合題意答案0或8方法技巧處理中點弦問題常用的2種方法1點差法設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有12，y1y2，eqfy1y2,12三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率2根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解提醒中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn)生漏解，需關(guān)注直線的斜率問題；點差法在確定范圍方面略顯不足eqavs4al集訓(xùn)沖關(guān)avs4al考法二考向一已知對稱，則m的值為_解析：設(shè)A1，y1，B2，y2,聯(lián)立eqblcrcavs4alco124y，,2y

11、20消去y，得2240則122，eqf12,21y1y2eqf1,21223，eqfy1y2,2eqf3,2A，B關(guān)于直線y2m對稱，AB的中點在直線y2m上，即eqf3,221m，解得meqf7,2答案：eqf7,2avs4al考法一經(jīng)過橢圓M：eqf2,a2eqfy2,b21ab0的右焦點的直線yeqr30交橢圓M于A，B兩點，由eqblcrcavs4alco1f2,6fy2,31，,ym，得3y22mym260，則y1y2eqf2m,3，y1y2eqfm26,3由弦長公式得|CD|eqr2eqry1y224y1y2eqr2eqfr728m2,34所以S四邊形ACBDeqf1,2|AB|C

12、D|eqf8r6,3當(dāng)且僅當(dāng)m0時取最大值故四邊形ACBD的面積的最大值為eqf8r6,3課時跟蹤檢測1過拋物線y22的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線A有且只有一條B有且只有兩條C有且只有三條D有且只有四條解析：選B設(shè)該拋物線焦點為F，AA，yA，BB，yB，則|AB|AF|FB|Aeqf與圓2y21相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為|,r121，m212，由eqblcrcavs4alco1ym，,2y21得1222mm210，eqblcrcavs4alco1120，,4m22412m214m21280，,12f1m2,210，21，11，由于1

13、2eqf2m,12，21eqr122412eqf2r2,|12|eqf2r2,12，021，當(dāng)20時，21取最小值2eqr2故選A112022安慶模擬設(shè)拋物線24y的焦點為F，點A，B在拋物線上，且滿足eqoAF,suy1，則直線y1，,f2,2y21m22y22my10y1y2eqf2m,m22，y1y2eqf1,m22|MN|eqr1m2|y1y2|2eqr2eqfm21,m22eqblcrcavs4alco1my，,f2,2y21m22y220y3y40，y3y4eqf2,m22|2|y3y4|2eqr2eqrfm21,m22故eqf|到焦點的距離為41求拋物線E的方程；2過F作直線l，

14、交拋物線E于A，B兩點，若直線AB中點的縱坐標(biāo)為1，求直線l的方程解：1拋物線E：y22y1，由eqblcrcavs4alco1y24，,my1消去，得y24my40設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為A1，y1，B2，y2，線段AB中點的縱坐標(biāo)為1，eqfy1y2,2eqf4m,21，解得meqf1,2，直線l的方程為eqf1,2y1，即2y20162022佛山模擬已知直線l過點y2，A1，y1，B2，y2，聯(lián)立得方程組eqblcrcavs4alco1my2，,y24，消去得y24my80，y1y28，故12eqfyoal2,1,4eqfyoal2,2,44，D在以AB為直徑的圓上，且在直線OB上，eq

15、oAD,su，與軸交于點H，若eqoF1B,suO|MA|，求直線l的方程解：1因為橢圓C的離心率為eqf1,2，所以eqfc,aeqf1,2，即a2c又a2b2c2，所以b23c2，即b2eqf3,4a2，所以橢圓C的方程為eqfy2,a2eqf2,f3,4a21把點eqblcrcavs4alco11，f2r6,3代入橢圓C的方程中，解得a24所以橢圓C的方程為eqfy2,4eqf2,312由1知，A0,2，設(shè)直線l的斜率為0，則直線l的方程為y2，由eqblcrcavs4alco1y2，,f2,3fy2,41，得3242120設(shè)BB，yB，得Beqf12,324，所以yBeqf628,324，所以Beqblcrcavs4alco1f12,324，f628,324設(shè)MM，yM，因為|MO|MA|，所以點M在線段OA的垂直平分線上，所以yM1，因為yMM2，所以Meqf1,，即Meqblcrcavs4alco1f1,，1設(shè)HH,0，又直線HM垂直于