高考數(shù)學復(fù)習第五章 平面與空間向量1至6節(jié) 人教

1、第1節(jié) 向量與向量的加減法第五章 平面與空間向量要點疑點考點1.向量的有關(guān)概念 (1)既有大小又有方向的量叫向量，長度為0的向量叫零向量，長度為1個單位長的向量，叫單位向量. (2)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量.規(guī)定零向量與任一向量平行. (3)長度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2.向量的加法與減法 (1)求兩個向量和的運算，叫向量的加法，向量加法按平行四邊形法則或三角形法則進行.加法滿足交換律和結(jié)合律. (2)求兩個向量差的運算，叫向量的減法.作法是連結(jié)兩向量的終點，方向指向被減向量. 課 前 熱 身1BC1.已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，則|2a-b

2、|=_. 2.如果AB=a,CD=b，則a=b是四點A、B、D、C構(gòu)成平行四邊形的( )(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 3.a與b為非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要條件是( ) (A)a=b (B)ab (C)ab (D)|a|=|b| CB4.下列算式中不正確的是( ) (A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC (C) 0AB=0 (D)(a)=()a 5.已知正方形ABCD邊長為1，AB=a,BC=b,AC=c,則a+b+c的模等于( ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2 能力思維方法【解題回顧】本例主

3、要復(fù)習向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而容易遺忘.為此，復(fù)習時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想.引導學生在理解的基礎(chǔ)上加以記憶.1.給出下列命題：若|a|=|b|，則a=b；若A，B，C，D是不共線的四點，則AB= DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若a=b,b=c，則a=c；a=b的充要條件是|a|=|b|且ab；若ab,bc，則ac. 其中，正確命題的序號是_，【解題回顧】解法1系應(yīng)用向量加、減法的定義直接求解；解法2則運用了求解含有未知向量x,y的方程組的方法2.在平行四邊形ABCD中，設(shè)對角線AC=a,BD=b，試用a,b表

4、示AB，BC.3.如果M是線段AB的中點，求證：對于任意一點O，有 OM= (OA+OB)【解題回顧】選用本例的意圖有二，其一，復(fù)習向量加法的平行四邊形法則，向量減法的三角形法則；其二，向量內(nèi)容中蘊涵了豐富的數(shù)學思想，如模型思想、形數(shù)結(jié)合思想、分類討論思想、對應(yīng)思想、化歸思想等，復(fù)習中要注意梳理和領(lǐng)悟.本例深刻蘊涵了形數(shù)結(jié)合思想與分類討論思想. 【解題回顧】(1)以上證明實際上給出了所證不等式的幾何解釋； (2)注意本題證明中所涉獵的分類討論思想、化歸思想. 4.對任意非零向量a,b，求證：|a|-|b|ab|a|+|b|. 【解題回顧】充分利用等腰直角三角形這兩個條件，轉(zhuǎn)化為|AB|=|BC

5、|，ABBC延伸拓展5.在等腰直角三角形ABC中，B=90,AB=(1，3)，分別求向量BC、AC誤解分析2.需要分類討論的問題一定要層次清楚，不重復(fù)，不遺漏.1.在向量的有關(guān)習題中，零向量常被忽略(如能力思維方法1.中)，從而導致錯誤第2節(jié) 實數(shù)與向量的積要點疑點考點2共線定理.向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得b=a1.實數(shù)與向量的積的概念 .(1)實數(shù)與向量a的積記作a，其長度|a|=|a|；方向規(guī)定如下：當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當=0時，a=0. (2)設(shè)、為實數(shù)，則有如下運算律：(a)=()a，(+)a=a+a，(a+b)

6、=a+b3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1,2，使a=1e1+2e2 ,其中e1，e2叫基底.1.設(shè)命題p：向量b與a共線，命題q:有且只有一個實數(shù)，使得b=a,則p是q的( ) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分又不必要條件 2.給出下列命題：若a,b共線且|a|=|b|，則(a-b)(a+b)；已知a=2e,b=3e，則a=3b/2；若a=e1-e2 ,b=-3e1+3e2，且e1e2，則|a|=3|b|；在ABC中，AD是BC上的中線，則AB+AC=2AD其中，正確

7、命題的序號是_3.(1)在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b,那么用a和b表示向量AC+DB為( ) (2)已知平行四邊形ABCD的對角線交于點E，設(shè)AB=e1，AD=e2，則用e1, e2表示ED的表達式為( ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b 課 前 熱 身B，ABD 4.平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3，1)，B(-1，3)，若點C滿足OC=OA+OB，其中a、R，且+=1,則點C的軌跡方程為( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=05.設(shè)P、Q是四邊形ABCD對角線AC、BD中

8、點，BC=a,DA=b，則PQ=_能力思維方法 1.已知AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中e1,e2不共線， (1)若A、B、C三點共線，求k值； (2)若A、B、D三點共線，求k值. 【解題回顧】可利用向量共線的充要條件證明幾何中的三點共線問題.2.設(shè)ABC的重心為G，點O是ABC所在平面內(nèi)一點，求證： OG= (OA+OB+OC) 【解題回顧】當點O是ABC重心時，有OA+OB+OC=0；反過來，若P是ABC所在平面內(nèi)一點，且PA+PB+PC=0，則P必為ABC的重心.事實上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0，所以O(shè)

9、P= (OA+OB+OC)，故P是ABC的重心3.已知OA、OB不共線，設(shè)OP=aOA+bOB，求證：A、P、B三點共線的充要條件是a+b=1. 【解題回顧】由本題證明過程可知，若P是AB中點，則有OP= (OA+OB).利用本題結(jié)論，可解決一些幾何問題.4.E是ABCD的邊AB上一點，AE/EB=1/2，DE與對角線AC交于F，求AF/FC.(用向量知識解答) 【解題回顧】利用例3結(jié)論，本題還可這樣： 設(shè)AE=e1，AD=e2，D、F、E共線，可設(shè)AF=e1+(1-)e2，又易知AC=3e1+e2根據(jù)A、F、C三點共線可得=3/4，故AF/FC=1/3.另外還可以用坐標運算的方法來解，略.

10、延伸拓展5.如圖，已知梯形ABCD中，ADCB，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點，且BC=3AD，設(shè)BA=a,BC=b，以a,b為基底表示EF，DF，CD. 【解題回顧】本題實際上是平面向量的基本定理的應(yīng)用.由于BA與BC是不共線的兩個向量，因此平面上的任何一個向量都可以用它們表示出來. 誤解分析1.很多人認為“若ab，則存在唯一實數(shù)使ba.”這是典型錯誤.事實上，它成立的前提是a0.同樣，在向量基本定理中，若e1，e2是共線向量，則不能用e1，e2表示與它們不共線的向量. 2.在能力思維方法3中，充要條件的證明極易混亂，一定要分清條件和結(jié)論.另外，向量上的箭頭不要丟掉，如把0寫成了0. 第3

11、節(jié) 平面向量的坐標表示要點疑點考點1.平面向量的坐標表示 (1)a(x，y)叫向量的坐標表示，其中x叫a在x軸上的坐標，y叫a在y軸上的坐標. (2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，R. 則a+b(x1+x2，y1+y2)，a-b(x1-x2，y1-y2)，a(x1，y1) (3)ab(b0)的充要條件是x1y2-x2y10 2.線段的定比分點 (1)定義：設(shè)P1、P2是直線l上的兩點，點P是l上不同于P1、P2的任一點，則存在一個實數(shù)，使P1PPP2，叫點P分有向線段P1P2所成的比，點P叫定比分點. (2)公式：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1PPP2，則當1時， 為中

12、點坐標公式. 3.平移 設(shè)原坐標P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐標則1.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的兩點，點P(x，y)的坐標由公式 確定.當R且-1時有( ) (A)P表示直線AB上的所有點 (B)P表示直線AB上除去A的所有點 (C)P表示直線AB上除去B的所有點 (D)P表示直線AB上除去A、B的所有點 課 前 熱 身C2.若對n個向量a1、a2、an，存在n個不全為零的實數(shù)k1、k2、kn，使得k1a1+k2a2+knan=0成立，則稱向量a1、a2、an為“線性相關(guān)”，依此規(guī)定，能使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“線性相關(guān)”的實數(shù)k

13、1、k2、k3依次可取的值是 _(寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況) -4，2，13.三點A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共線的充要條件是( )(A)x1y2-x2y10 (B)(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)(y3-y1)(C)(x2-x1)(y3-y1)(x3-x1)(y2-y1) (D)x1y3-x3y10 CB4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，則c等于( ) 5.函數(shù)y=x2的圖象按向量a=(2,1)平移后得到的圖象的函數(shù)表達式為( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)

14、y=(x+2)2+1 C能力思維方法【解題回顧】任何兩個不共線的向量都可作為基底，i(1，0)，j(0，1)分別是直角坐標系橫、縱兩個方向的單位向量，用i、j表示向量時，xi+yj中的x、y是惟一的，即為向量的(直角)坐標.兩個向量用坐標表示時，當且僅當兩個向量橫、縱坐標分別相等時，兩個向量相等. 1.設(shè)x、y為實數(shù)，分別按下列條件，用xa+yb的形式表示c. (1)若給定a(1，0)，b(0，1)，c(-3，-5)； (2)若給定a(5，2)，b(-4，3)，c(-3，-5). 【解題回顧】設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，若b0，則ab的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.用坐標形式來表示就

15、是abx1y2-x2y10.而x1/x2y1/y2是ab的充分不必要條件. 2.已知在梯形ABCD中，ABCD，A(1，1)，B(3，-2)，C(-3，-7)，若AD(BC-2AB)，求D點坐標. 3.已知三點A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在線段AB上取一點P，過P作直線與BC平行交AC于Q，APQ與梯形PQCB的面積之比是45，求點P的坐標. 【解題回顧】一般地，函數(shù)yf(x)的圖象按a(h，k)平移后所得圖象的解析式為y-kf(x-h)，即yf(x-h)+k.4.若函數(shù)ylog2(2x-4)+1的圖象按a平移后圖象的解析式為ylog22x，求a. 延伸拓展【解題回顧】本題(2)

16、是一道開放題，求解開放題的一般途徑是假定命題成立.解出存在的值(如無解，則不存在)，再驗證求出的解，如不矛盾，則存在. 5.已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OPOA+tAB，試問： (1)t為何值時，P在x軸上?在y軸上?P在第二象限? (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由. 1.利用定比分點解題時，一定要先把定比先明確，的意義是起點到分點的數(shù)量除以分點到終點的數(shù)量，不能算錯. 誤解分析2.利用平移公式解題時，一定要分清原坐標與新坐標之間關(guān)系. 第4節(jié) 平面向量的數(shù)量積要點疑點考點2.平面向量的數(shù)量積的運算律 (1)abba (2)(

17、a)b(ab)a(b) (3)(a+b)cac+bc 1.平面向量的數(shù)量積的定義 (1)設(shè)兩個非零向量a和b，作OAa，OBb，則AOB叫a與b的夾角，其范圍是0，|b|cos叫b在a上的投影. (2)|a|b|cos叫a與b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cos. (3)幾何意義是：ab等于|a|與b在a方向上的投影|b|cos的積. 3.平面向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a、b是非零向量，e是單位向量，是a與e的夾角，則 (1)eaae|a|cos(2)ab ab0(3)ab|a|b|(a與b同向取正，反向取負) (4)aa|a|2 或 |a|aa(5)(6)|ab|a|b| 4.平面向量的數(shù)

18、量積的坐標表示 (1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2+y1y2，|a|2x21+y21，|a|x21+y21，ab x1x2+y1y20 (2)(3)設(shè)a起點(x1，y1)，終點(x2，y2)則1.若向量a、b的坐標滿足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，則ab等于( ) (A)-5 (B)5 (C)7 (D)-1 2.若a、b、c是非零的平面向量，其中任意兩個向量都不共線，則( ) (A)(a)2(b)2=(ab)2 (B)|a+b|a-b| (C)(ab)c-(bc)a與b垂直 (D)(ab)c-(bc)a=0 3.設(shè)有非零向量a, b, c，則以下四個結(jié)論

19、 (1)a(b+c)=ab+ac； (2)a(bc)=(ab)c; (3)a=bac=bc；(4)ab=ab.其中正確的是( ) (A)(1)、(3) (B)(2)、(3) (C)(1)、(4) (D)(2)、(4) 課 前 熱 身AC A4.設(shè)a=(1,0),b=(1,1)，且(a+b)b，則實數(shù)的值是( ) (A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2 5.已知|a|10，|b|12，且(3a)(b/5) -36，則a與b的夾角是( ) (A)60 (B)120 (C)135 (D)150 DB能力思維方法【解題回顧】利用夾角公式待定n，利用垂直充要條件求c. 1.已知a=(1,2),b=

20、(-2,n)，a與b的夾角是45(1)求b； (2)若c與b同向，且c-a與a垂直，求c2.已知xa+b，y2a+b且|a|b|1，ab. (1)求|x|及|y|；(2)求x、y的夾角. 【解題回顧】(1)向量模的計算方法常用的有兩種，一是用距離公式，一是用a2|a|2把模的問題轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積的問題.(2)向量夾角的取值范圍是0，. 【解題回顧】本題中，通過建立恰當?shù)淖鴺讼担x予幾何圖形有關(guān)點與向量具體的坐標，將有關(guān)幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.應(yīng)深刻領(lǐng)悟到其中的形數(shù)結(jié)合思想.此外，題中坐標系建立的恰當與否很重要，它關(guān)系到運算的繁與簡. 3.如圖，P是正方

21、形ABCD的對角線BD上一點，PECF是矩形，用向量法證明：(1)PAEF；(2)PAEF. 【解題回顧】這是一道關(guān)于向量與解析幾何的綜合題，解題的關(guān)鍵在于將問題合理地轉(zhuǎn)化 ，回避了復(fù)雜的計算.4.已知a=(x,0),b=(1,y),且(a+ b)(a- b). (1)求點P(x,y)的軌跡方程C的方程. (2)若直線l:y=kx+m(m0)與曲線C交于A、B兩點，D(0，1)，且有AD=BD,試求實數(shù)m 的取值范圍.延伸拓展5.已知向量a=(x,x-4)，向量b=(x2,3x/2),x-4，2 (1)試用x表示ab (2)求ab的最大值，并求此時a、b夾角的大小. 【解題回顧】本題將向量與三

22、次函數(shù)的最值問題溶于一體，考查知識的綜合應(yīng)用.【解題回顧】(1)是用數(shù)量積給出的三角形面積公式，(2)則是用向量坐標給出的三角形面積公式. 6.在ABC中，(1)若CAa，CBb，求證ABC的面積 (2)若CA(a1，a2 )，CB(b1，b2 )，求證：ABC的面積 1數(shù)量積作為向量的一種特殊運算，其運算律中結(jié)合律及消去律不成立，即a(bc)(ab)c，abac不能推出bc，除非是零向量. 誤解分析2ab的充要條件不能與ab的充要條件混淆，夾角的范圍是0，不能記錯.求模時不要忘了開方，以上是造成不全對的主要原因.第5節(jié) 空間向量及其運算要點疑點考點1.若a、b是空間兩個非零向量，它們的夾角為

23、(0)，則把a、b的數(shù)量積定義為|a|b|cos，記作ab.即ab=|a|b|cos. 2.ab=ba，(a+b)c=ac+bc3.若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，則 ab=x1x2+y1y2+z1z21.在以下四個式子：a+bc，a(bc)，a(bc)，|ab|=|a|b|中正確的有( ) (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)0個2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果a與b為共線向量，則( ) (A)x=1 , y=1 (B)(C) (D)3.已知四邊形ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則EF=_課

24、前 熱 身AC3a+3b-5c4.在正方體ABCDA1B1C1D1中，下面給出四個命題： (A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2A1C(A1B1-A1A)=0.AD1與A1B的夾角為60此正方體體積為：|ABAB1AD| 則錯誤命題的序號是_(填出所有錯誤命題的序號). 5.若A、B、C三點在同一條直線上，對空間任意一點O，存在m、nR，滿足OC=mOA+nOB，則m+n=_. 、1能力思維方法1.已知三棱錐OABC中，G為ABC的重心，OA=a，OB=b，OC=c，試用a , b , c 來表示OG. 【解題回顧】(1)此例用到的常用結(jié)論為：若AD是ABC的中線，則有(2)此例是

25、常用結(jié)論即重心定理：當OA、OB、OC兩兩垂直時，在空間直角坐標系中，重心坐標公式為：2.已知正三棱錐PABC中，M，N分別是PA，BC的中點，G是MN的中點.求證：PGBC. 【解題回顧】要證PGBC，只要證PGBC=0，應(yīng)選擇適當?shù)幕祝篜A，PB，PC. 3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，AC交BD于O，G為CC1中點. 求證：A1O平面GBD. 【解題回顧】欲證A1O平面GBD，只要證A1O垂直于面BDG中兩條相交直線，易看出A1OBD，而OG與A1O垂直較為易證.(注：此題亦可用空間坐標來證明). 4.沿著正四面體OABC的三條棱OA，OB，OC的方向有大小等于1，2和3的三個

26、力f1，f2，f3，試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦. 【解題回顧】引入OA、OB、OC方向上的三個單位向量是本題得到解決的關(guān)鍵. 延伸拓展5已知三角形的頂點是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C(-1，-1，-2)試求這個三角形的面積. 【解題回顧】本題實際上是給出了三角形的“向量型”面積公式.到目前為止，你一共知道多少種求三角形面積的方法呢? 誤解分析已知|a|=4，|b|=5，|a+b|=21，求ab 【分析】確定兩個向量的夾角，應(yīng)將它們平移，使始點重合，這時這兩個向量間的夾角 才是所要求的角本題中ABC不是a與b的夾角，而是-a與b的夾角(試畫圖觀察)，即

27、a與b的夾角應(yīng)是ABC的補角，所以第6節(jié) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用要點疑點考點2.向量a與b平行的充要條件為：|ab|=|a|b|. 1向量a與b夾角滿足： 若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2則3.向量a與b垂直的充要條件為： ab=0即x1x2+y1y2+z1z2=0 1.四面體每相對兩棱中點連一直線，則此三條直線( ) (A)互不相交(B)至多有兩條直線相交(C)三線相交于一點(D)兩兩相交得三個交點課 前 熱 身C2.在正方體ABCDA1B1C1D1中棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M=AN= a，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( )(A)相交 (B)平行

28、 (C)垂直 (D)不能確定 B3.已知PAO所在的平面，AB為O的直徑，C是圓周上的任意一點(但異于A和B)，則平面PBC垂直于平面_ PAC4.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成的角為( ) (A)arccos (B)arccos(C)arccos (D)arccosD【解題回顧】空間兩條直線之間的夾角是不超過90的角因此，如果按公式計算分子的數(shù)量積為一個負數(shù)，則應(yīng)當取其絕對值，使之變?yōu)檎?，這樣求得的角為銳角，這一說明在以后很多計算問題中經(jīng)常被用到. 5P是二面角-AB-棱上的一點，分別在，平面上引射線PM，PN，如果

29、BPM=BPN=45,MPN=60，那么二面角-AB-的大小為( ) (A)60 (B)70 (C)80 (D)90 D【解題回顧】從本題解法中我們看到，在求二面角時，沒有必要一定要從棱上同一點出發(fā)引垂直于棱的垂線. 【解題回顧】從本題解法中我們看到，在求二面角時，沒有必要一定要從棱上同一點出發(fā)引垂直于棱的垂線. 6設(shè)n是平面的單位法向量，AB是平面的一條斜線，其中A，則AB與平面所成的角為 ；B點到平面的距離為_. ABn能力思維方法【解題回顧】用向量求異面直線所成的角，可能會因為我們選擇向量方向的緣故，而求得該角的補角所以最后作答時要加以確認(取小于或等于90的角作為異面直線所成角). 1.在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值. 【解題回顧】本題中，不失一般性，可以取OB=b=1，OC=c=1，這樣使過程更加清晰.2.三條射線OA，OB，OC，若BOC=, COA=,AOB=，又二面角B-OA-C的大小為，試證這些角之間