九章習題課課件

1、第九章 習題課一、基本概念與理論 二、基本方法 四、練習三、例題講析 第九章 習題課一、基本概念與理論 二、基本方法 1.歐幾里得空間的定義和基本性質，度量矩陣 的定義及性質。2.施密特（Schimidt）正交化過程，正交矩陣、 正交變換的定義及性質，線性空間的正交分 解。3.對稱矩陣的標準形理論。 一、基本概念與理論 1.歐幾里得空間的定義和基本性質，度量矩陣一、基本概念與理論二、基本方法 1.歐氏空間有內積，因而具有度量性質：向量 的長度、夾角、正交。2.標準正交基，Schmidt正交化、正交矩陣和正 交補空間。3.掌握歐氏空間的正交變換對稱變換和實數(shù)域 上正交矩陣、對稱矩陣的對應關系。二

2、、基本方法 1.歐氏空間有內積，因而具有度量性質：向九章習題課課件例1 設 是n維歐氏空間V的一個單位向量.定義線性變換 :稱 為一個鏡面反射.證明:(1) 是正交變換;(2) 是第二類的;(3)三、例題講析 例1 設 是n維歐氏空間V的一個單位向量.定義線性變換 證(1)任取故 為正交變換.證(1)任取故 為正交變換.(2)將 擴充為V 的標準正交基 由 的定義從而 即 為第二類的.故 在基 下的矩陣(2)將 擴充為V 的標準正交基 (3)注: 根據(jù)線性變換與矩陣的關系,由(2)也可證 (3)注: 根據(jù)線性變換與矩陣的關系,由(2)也可證 例2 設 是n維歐氏空間V的第二類正交變換.則存在鏡

3、面反射 及第一類正交變換 使分析: 由 知 有特征值 對應的單位特征向量設為 即 將 擴充為標準正交基: 設 在該基下的矩陣為 .則 為正交矩陣且由矩陣與線性變換的關系,拆分 即將例2 設 是n維歐氏空間V的第二類正交變換.則存在鏡面分成與一行列式為1的正交矩陣的積.設由 B, 均為正交矩陣,C 必為正交陣. 且 .C 對應的線性變換即為要求的 .分成與一行列式為1的正交矩陣的積.設由 B, 證:由 知 有特征值 對應的單位特征向量設為 即 將 擴充為V的標準正 交基: 設則 為正交矩陣且 則 證:由 知 有特征值 定義則 為鏡面反射.則 為第一類的.故 命題成立.定義則 為鏡面反射.則 為第

4、一類的.故 例 3 設V為n維歐氏空間,若 為 V 的線性變換,則 為正交變換當且僅當 保持向量間的距離不變.證:故故 為正交變換.例 3 設V為n維歐氏空間,若 為 V 的線性變例4 給定 的標準度量,求出 中所有保持下列正方形(A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1)整體不變(即正方形四條邊上的點經(jīng)過變換后仍落在四條邊上)的正交變換.ABCD例4 給定 的標準度量,求出 中所有分析:根據(jù)題意,求這樣的正交變換,即將標準正交基(在正方形上)變?yōu)槿栽谡叫紊系臉藴收换纯?只可能為解:由 的標準正交基 在正方形上,經(jīng)正交變換后仍在正方形上,且為標準正交基,分析:根據(jù)題意

5、,求這樣的正交變換,即將標準正交基(在正方形上故所求正交變換為:故所求正交變換為:例5 設A是 n 階實對稱矩陣.證明: A正定的充分必要條件為A的特征多項式的根全大于0.分析:由A為實對稱陣,我們可以找到正交陣T使為對角陣,這樣A的特征值就全暴露出來了.證:由A為實對稱陣,存在正交陣T使由A正定, 正定,故由 , 正定,故A正定.例5 設A是 n 階實對稱矩陣.證明: A正定的充分必要條例6 設A、B均為同階實對稱陣, A正定,則存在可逆陣P使 為對交陣.證:A由正定,存在可逆陣Q使 . 對有正交陣T使 為對角陣.取 即可.分析: 因為A正定,我們可先將A合同于E,又正交陣T具有性質 .這樣

6、變化后的 A將不再改變.例6 設A、B均為同階實對稱陣, A正定,則存在可逆陣P使 例7 實二次型經(jīng)正交線性替換 化為標準形(1)求a,b及正交陣P；(2)問二次型 f 是否正定?為什么？分析：由于實二次型的矩陣是實對稱陣.由標準形可知矩陣的特征值,從而可求a,b,而P為特征值的特征向量組成的.例7 實二次型經(jīng)正交線性替換 解:(1)二次型的矩陣 的特征多項式由 f 的標準形為 知, A的特征值為將1,0代入 得解得b=1,a=3.解:(1)二次型的矩陣 的特征多項式分別解 得單位特征向量故(2)由標準形知 f 的秩為 2 ,故不正定.分別解 例8 歐氏空間V的對稱變換 稱為正定的,若 滿足對

7、任意的 證明: 正定 在標準正交基下的矩陣為正定陣.證: 設 為V的標準正交基, 在該基下的矩陣為對稱陣A.對任意的 令 則故 ,即A正定. 例8 歐氏空間V的對稱變換 稱為正定的,若 滿任取 ,設 ,則故 ,即 為正定的.例9 設V為 n 維歐氏空間.證明:對V中給定的向量 , V上的函數(shù) 連續(xù).證: 設 為V的標準正交基,設任取 則 , 當 時 , 即 連續(xù).例10 (1)A為 n 階實矩陣.證明存在正交陣T使得 為上三角當且僅當A的特征值全為實數(shù).(2) A為正交陣,特征值全為實數(shù).則A為對角陣.則 , 當 證:對 n 歸納. n=1時顯然成立,設為 n 1時成立.則為 n 時,設 為A

8、的特征值, 為相應的特征向量.將 單位化并擴充為標準正交基 ,令 則 為正交陣且這里 為n-1階實矩陣.特征值全為實數(shù).由假設,存在正交陣Q使得 為上三角,令,則T為正交陣且 為上三角.證:對 n 歸納. n=1時顯然成立,設為 n 1時成立.(2)A的特征值全為 1 , 1 .由(1),存在正交陣T使得對角線上前 s 個為 1 ,后 s 個為 1 ,令, 由這里 為 1 或 1 ,和,可算出故 為對角陣,從而A為對角陣.(2)A的特征值全為 1 , 1 .由(1),存在正交陣T例11且有特征向量1,1,1) .構造一個 3 階實對稱陣A,使其特征值為 2, 1 ,1 .分析:注意對稱矩陣的不

9、同特征值的特征向量正交.解: 設正交陣T使得 即將(1,1,1)擴充為正交基(1,1,1),(0,1, 1 ),(2, 1 , 1 ) 并單位化得 ,令A滿足要求.例11且有特征向量1,1,1) .構造一個 3 階實對稱陣A解：例12 對下列各實對稱矩陣，分別求一正交矩陣 ，使 為對角陣.(1)第一步 求 的特征值解：例12 對下列各實對稱矩陣，分別求一正交矩陣 ，()的基礎解系求出由第二步AxA,0=-Eil()得由對,0,41=-=x4EAl解之得基礎解系 ()得由對,0,12=-=xAEl解之得基礎解系()的基礎解系求出由第二步AxA,0=-Eil()得由對,0()得由對,0,23=-=

10、xA-2El解之得基礎解系將特征向量正交化第三步 將特征向量單位化()得由對,0,23=-=xA-2El解之得基礎解系將特征九章習題課課件得基礎解系()由對,02,21=-=xAEl()得基礎解系由對,04,432=-=xAEll4-=-10-13-l000llEA()(),42ll-=3-l2得基礎解系()由對,02,21=-=xAEl()得基礎解系由九章習題課課件于是得正交陣于是得正交陣 1. 設 是n維歐氏空間V的線性變換,若對任意都有稱 為反對稱變換.證明:矩陣為反對稱矩陣.(1) 為反對稱變換當且僅當 在標準正交基下的(2)若M為 子空間，則 也為 子空間.(3) 的特征值為或純虛數(shù).四、練習 1. 設 是n維歐氏空間V的線性變換,