(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第03講《不等關(guān)系與一元二次不等式》（解析版）

1、第3講 不等關(guān)系與一元二次不等式思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：abbb，bcaeq avs4al()c；(3)可加性：abaceq avs4al()bc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc; ab0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0aneq avs4al()bn(nN，n1)；(6)可開(kāi)方性：ab0eq r(n,a)eq avs4al() eq r(n,b)(nN，n2)3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表判別式b24ac000)的圖象一元二次方程ax2bx

2、c0(a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx1x|xR ax2bxc0)的解集x|x1xx2eq avs4al()核心素養(yǎng)分析用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生用一元二次函數(shù)認(rèn)識(shí)一元二次方程和一元二次不等式。通過(guò)梳理初中數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性。題型歸納題型1 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【例1-1】（2020春湖北期中）下列命題中，正確的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 B若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

3、0 ，則 SKIPIF 1 0 C若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 D若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷正誤即可【解答】解：對(duì)于 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤；對(duì)于 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤；對(duì)于 SKIP

4、IF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 正確；對(duì)于 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得出 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020玉溪二模）若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】分別根據(jù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

5、，可以排除 SKIPIF 1 0 ，問(wèn)題得以解決【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 為增函數(shù)，可得 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 錯(cuò)； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 對(duì)， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤故選： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】比較大小的方法(1)作差法，其步驟：作差變形判斷差與0的大

6、小得出結(jié)論(2)作商法，其步驟：作商變形判斷商與1的大小得出結(jié)論(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小(4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論題型2 一元二次不等式的解法【例2-1】（2019秋河?xùn)|區(qū)期中）不等式 SKIPIF 1 0 的解集為 【分析】不等式化為 SKIPIF 1 0 ，求出解集即可【解答】解：不等式 SKIPIF 1 0 可化為 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以不等式的解集為 SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 a2(aR)的解集【分析】根據(jù)a的取值分類(lèi)討論.【解答】原不等式可化為12x2

7、axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1eq f(a,4)，x2eq f(a,3).當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為eq blc(rc)(avs4alco1(，f(a,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，)；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為(，0)(0，)；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為eq blc(rc)(avs4alco1(，f(a,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，).【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?jiǎn)|市校級(jí)月考）一元二次不等式 SKIPIF 1 0 的解集為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0

8、 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】一元二次不等式化為 SKIPIF 1 0 ，求出解集即可【解答】解：一元二次不等式 SKIPIF 1 0 可化為 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，所以原不等式的解集為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019秋嘉興期末）已知不等式 SKIPIF 1 0 的解集是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則不等式 SKIPIF 1 0 的解集是 SKIPIF 1

9、 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)不等式 SKIPIF 1 0 的解集得出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是一元二次方程 SKIPIF 1 0 的實(shí)數(shù)根，得出 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的關(guān)系，把不等式 SKIPIF 1 0 化為 SKIPIF 1 0 ，求出解集即可【解答】解：不等式 SKIPIF 1 0 的解集是 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，

10、 SKIPIF 1 0 是一元二次方程 SKIPIF 1 0 的實(shí)數(shù)根，且 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 不等式 SKIPIF 1 0 化為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；化為 SKIPIF 1 0 ；又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 不等式 SKIPIF 1 0 的解集為： SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】1.解一元二次不等式的4個(gè)步驟2.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟(1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則應(yīng)討論

11、參數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；(2)判斷方程根的個(gè)數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系；(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集；確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定不等式的解集題型3 一元二次不等式的恒成立或有解問(wèn)題【例3-1】（2020一卷模擬）已知關(guān)于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有解，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0

12、 【分析】由題意不等式化為 SKIPIF 1 0 ，討論 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 時(shí)，分別求出不等式成立時(shí) SKIPIF 1 0 的取值范圍即可【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)，不等式可化為 SKIPIF 1 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，不等式為 SKIPIF 1 0 ，滿(mǎn)足題意；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，不等式化為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)取等號(hào)，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， S

13、KIPIF 1 0 恒成立；綜上知，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2018秋凌源市期末）不等式 SKIPIF 1 0 對(duì)任意實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 都成立，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 【分析】設(shè) SKIPIF 1 0 ，將不等式恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù) SKIPIF 1 0 圖象始終在 SKIPIF 1 0 軸上方，進(jìn)而根據(jù)判別式處理即可【解答】解：依題意，設(shè) SKIPIF 1 0 ，因?yàn)椴坏仁?SKIPIF 1 0 對(duì)任意實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 都成立，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SK

14、IPIF 1 0 ，故答案為： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春湖北期中）若關(guān)于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 的解集為 SKIPIF 1 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分為0和不為0兩種情況討論，在不為0時(shí)，把解集為 SKIPIF 1 0 化為所對(duì)應(yīng)圖象均在 SKIPIF 1 0 軸上方

15、，列出滿(mǎn)足的條件即可求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍【解答】解：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，不等式化為 SKIPIF 1 0 ，解集為空集，符合要求；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 的解集為 SKIPIF 1 0 ，即所對(duì)應(yīng)圖象均在 SKIPIF 1 0 軸上方， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ；綜上，滿(mǎn)足要求的實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2019秋崇川區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于

16、 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 .【分析】關(guān)于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有解，等價(jià)于 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求出 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的最大值即可【解答】解：關(guān)于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；設(shè) SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 0 取得最大值為 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ；所以實(shí)數(shù) SKIPIF