第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析例題詳解

1、 1一帶限信號的頻譜圖如下圖 1所示，若次信號通過圖2所示系統(tǒng)，請畫出A、B、 C 三 點 處 的 信 號 頻 譜 。 理 想 低 通 濾 波 器 的 頻 率 函 數(shù) 為H() ，如圖 3所示。8ABCf(t)y(t)010圖 3解：設(shè) A處的信號為： ，B處的信號為：，C 處的信號為：fffABCf ft)t)Af f t)BA1F () Fj(w30)Fj(w30)2A1F () F j(w30)F j(w30) 2BAA-40 -30 -20020 30 404w4 0 w1. 如圖 （a）所示的系統(tǒng)，帶通濾波器的頻率響應(yīng)如圖（b）所示，其相頻特sin(2t)性)0，若輸入 ft),st

2、)cos(1000t)，求輸出信號yt)。2 tft)ft)t)yt)帶通濾波器st)圖（）) 01s )01圖（b）圖2sin(2t) 1 g )解 F() Ft2 4Ft 1Fft)cos(1000tFft)Ft1 g ( g 444則系統(tǒng)輸出信號的傅里葉變換為Y(j Fft ( )t H j由H(j )的波形圖及相頻特性可得H() g 1000) g 1000)22所以可得1Y(j g) g 4221 g ( ) 42由此可得輸出信號為1yt)Sat)cos(1000t)( )=0。3一理想低通濾波器的頻率響應(yīng)如圖3 示，其相頻特性 若輸入信號t)ft)，求輸出信號的頻譜函數(shù)，并畫出其頻

3、譜圖。t圖 3t)ft)解：信號的頻域表達式為tF(j) g )2Y(j) H j F j g( ) ( ) )2所以輸出頻譜為Y(j) 4如圖 4 所示系統(tǒng)，已知 ft) e,n 0, ， st) t)jntnj , 1.5 /se( /s) ( ) H j30 , 1.5 s/應(yīng)。ft)t)ft)yt)st)圖 4解 ：對和 進行傅立葉變換st)f(t)F() S() 1(w)n( ( w wf(t)s(t) F(jw)*S(jw)( w n( w nnn j0jjY(jw) Ff (t)s(t)H(jw) ( )w e 3 (w e 3 (we 3 jj對Y()取傅立葉逆變換得 ： (

4、) 1y tejte 3 e jte 3 t 12cos( )35已知某 LTI時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)6 /ra dssinte3jwwH()，若輸入 ft)cos6t 。0w 6ra /st解：g 8Sa(4 )8sin 4t8Sa(4t) 2 2g ()t8sin 4tf (t) cos 6t F( j ) 6) 6) g gt288Y( j) H( j)F( j) 4) 4) g ej3g244sin 2(t 3)故 : y(t) cos 4(t 3)t 36周期信號f (t) 4 2cos( t ) sin( t )4336（） 求該周期信號的基波周期 T 和基波角頻率；（） 畫出該周期

5、信號的單邊振幅頻譜圖與相位頻譜圖。 解：(1)T T 6121243信號 f(t)的周期 T 是 T 、T 的最小公倍數(shù)為 24(s)12 (rad /s)T 12基波角頻率 （2） 將 f(t)的表達式改寫為 ft) 42t )cos(4t )36 2 42t )cos(4t )337 求題圖 7 所示鋸齒信號 f t 的傅里葉級數(shù)。0Tt7a 0解 由圖可知，鋸齒波是奇函數(shù)，故。nb 4/TT/2E/n0上式積分需利用分布積分法，令u t, dt, tdt,v t,故由式（1）得T/2b 4E/T t/t T/2 2n00 E/n (n1故 f t E/n n1 1 sintn1 sin

6、E/t1/2sin2t1/3sint1/4sin4t8 已知周期信號 f t 的傅里葉級數(shù)表示為 f t 2 3 cos 4 st2 2 sin(3 30 ) cos(7 150 )（1） 求周期信號 f t 的基波角頻率；（2） 畫出周期信號 f t 的幅度譜和相位譜。解 弦項和并成余弦項，也需要將正弦項化成與余弦項，即其中3 co t2 4 sin 2 5 o s ( 2 5 3. 1 )s i n t3 3 ) ts (3 3 0 9 0 t) co s 3 6 ) cos ( 1 55 0 s t( 7 3 2 5 co s ( 2 5 3.1 )f t tto s (3 6 t )

7、co s ( 7 3 0 )故周期信號 f t 可表示為 f t 25cos(2t)t )t )（1）（1） 求基波角頻率。 f t 可表示為 tf t 2 1/ ) 2cos(2 3 / ) 7 / )tt周期 T 應(yīng)該是 2 2 2 / 1/ 。T T rad sf t 可表示為 f t 25cos(2t)2cos(3t )t )（2）（2） 根據(jù)式（2 f t 的單邊幅度譜和相位譜如圖 3-4（）和（b）所示。利用歐拉公式 ，將式（2）的 f t 表示成 f t 25/2eej2t 5/2ejee ej2t j j3tjej e ej ee ej3t j7t j j7t其雙邊幅度譜和相位

8、譜如圖（）和圖（d）所示。t9 求信號 ft)，t 立葉變換。( t2 0 2w題圖 9解 信號 ft)可以表示為s i n2t( 2 )(t 2f S 2 ( 2 ) t 2 )a令f ( t 2S ( 2 t )1a利用對稱性，f (t)的傅立葉變換F(j )如題圖 3-611度的一半等于2 ，途中的h應(yīng)滿足門函數(shù)的面積等于 f (t)中的系數(shù) 2，即1h 2故111h 22由于對稱性：ft) F()F(jt) f )因此，已知時域 ( ) ( )還要乘以 ，故門函數(shù)F()的幅F f 1度還需要乘以 F()的幅度為 1 的門函數(shù)，1表示為F(j)=G )14ft)= f (t2)1根據(jù)時延

9、特性，有F(j F j ej2 G)( )e21410 已知頻譜F(j)=(-2)e f t，求原函數(shù) ( )。 j1202w01w題圖 10解 令F() )2)1F(j)的圖形如圖 3-7（ ( ) 1) 1)b）F j 121所示。 ft) f t1) S t1)eF ()是寬度 2的頻域門函數(shù)，可表示j(t1a2為F (j)= )G22利用對稱性， F ()的原函數(shù) f t)， f t)應(yīng)為S (x)函數(shù)。由于F ()是寬度222a22，面積等于 2 的門函數(shù)，且利用對稱性，由頻譜函數(shù)求時域原函數(shù)時，要1乘以，故112S t) S t)f t)2aa由于故F() F j 1)121f t

10、) f t)e S t)e12a由于F(j F j e)( )j1故1ft) f t1) S t1)ej(t1a 11 已知 F jw F f t ，試求下列各式的傅利葉變換。 t（1） t （2） 1t f 1t解 （1）dft) jwF jwdt由于2 t 利用對稱性，得2() )w故1 jsgn()t根據(jù)卷積定理，得dft) 1 wF()sgn() w F()dt t （3） 由于 1t ft)t1)f t 利用尺度變換， f t F()F()根據(jù)頻域微分性質(zhì)，得根據(jù)時移特性，得() (t)()(t) j() tf t t ff x g t)( ) (12xaa G =F H 。g t

11、解 H =F ( )g t h t f x t t)h ht)a1(x)g( tx2a故xtt( ) (x g) ( ) ( ) x gaattht)a1g( )(x a1g( )22aagt)G( )tg( )aG( )a故1H(j F h t a G ) ( ( )22sin t13 知信號 ft)cos1000t，試計算該信號的能量。t解 信號的能量12E | ( ) |F jd-1002 -1000 -998998 1000 1002題圖 13首先計算信號的頻譜F()。令2 s i t2f (t1 4S ( t )ta則f ( t f ( t) c o s 1 00 01根據(jù)對稱性，可

12、求得 f (t)的頻譜1F() G )14其中G ( )為寬度 4的頻域門函數(shù)。根據(jù)頻移特性，得 ft)的頻譜為411F(j F j ) 1000) F j 1000)2211 1000) 1000) G G44頻譜F()如題圖 3-19所示，由圖可知2d| ( ) | 8 F j2上式表示F()的模|F(j )|的平方后的面積，故1E 214 某 LTI系統(tǒng)，已知其系統(tǒng)函數(shù)| |1| | 3ad /s H(j )3，H(j )0 ,ra/s( )y tt輸入信號 ft) ejn,1,求該系統(tǒng)的輸出。2n103 w題圖 14解 系統(tǒng)函數(shù)H()如題圖 14 | /s的頻率分量才能通過系統(tǒng)。輸入信號 ft)是周期信號，可表示為e eft) 3jt22F ej其復(fù)傅立葉系數(shù)。n信號 ft)的頻譜為F( j F n)n2n e n)