高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、復(fù)數(shù)1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 內(nèi)可導(dǎo)，若 SKIPIF 1 0，則 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上遞增;若 SKIPIF 1 0 0，則 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上遞減. 注意： SKIPIF 1 0 為正（負(fù)）是函數(shù) SKIPIF 1 0 遞增（減）充分不必要條件。如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)且不是常函數(shù)，上述結(jié)論可以改進(jìn)為：f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0在（a,b）上恒成立；f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞減 SKIP

2、IF 1 0 SKIPIF 1 0 0在（a,b）上恒成立舉例1已知函數(shù) SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的范圍。解析： SKIPIF 1 0 0在 SKIPIF 1 0 上恒成立 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立而 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的最小值為16，故 SKIPIF 1 0 。舉例2已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f/(x)在R上也可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)f/(x)/0，則y=f(x)的圖象可能是下圖中的 （ C ）OxyOxyOxy

3、OxyOxOxyOxy解析：由f/(x)/0知f/(x)在R上遞減，即函數(shù)y=f(x)的圖象上從左到右各點(diǎn)處的切線斜率遞減，不難看出圖象滿足這一要求。舉例3 f(x)是定義在（0，+）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf/(x)+f(x)0,對任意正數(shù)a、b,若ab，則必有 （ ） （07陜西理11）A.af(b) bf(a) B.bf(a) af(b)C.af(a) f(b) D.bf(b) f(a)解析：xf/(x)+f(x)0 SKIPIF 1 0 xf(x)/ 0 SKIPIF 1 0 函數(shù)F(x)= xf(x) 在（0，+）上為常函數(shù)或遞減，又0ab且f(x)非負(fù)，于是有：af(a)bf(b

4、)0 SKIPIF 1 0 兩式相乘得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 af(b) bf(a)，故選A。注：本題的難點(diǎn)在對不等式的設(shè)計(jì)，需要經(jīng)驗(yàn)更需要靈感。鞏固1函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ）上遞增， SKIPIF 1 0 的取值范圍是 。鞏固2設(shè) SKIPIF 1 0 是函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)函數(shù)，將 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 g/(x),若ab，則 （ ）Af(a)g(b) Bg(a)f(b)Cf(a) -f(b) g(a)- g(b)2“極值點(diǎn)”不是“點(diǎn)”，而是方程 SKIPIF 1 0 的根。 SKIPIF 1 0 是

5、函數(shù) SKIPIF 1 0 極值點(diǎn)則 SKIPIF 1 0 ；但是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 未必是極值點(diǎn)（還要求函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 左右兩側(cè)的單調(diào)性相反）；若 SKIPIF 1 0 （或 SKIPIF 1 0 ）恒成立，則函數(shù) SKIPIF 1 0 無極值。舉例1 已知函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 處取得極大值，在 SKIPIF 1 0 處取得極小值，且 SKIPIF 1 0 （1）證明 SKIPIF 1 0 ；（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。解析：函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0

6、（）由函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 處取得極大值，在 SKIPIF 1 0 處取得極小值，知 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的兩個(gè)根所以 SKIPIF 1 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 為增函數(shù)， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 （）在題設(shè)下， SKIPIF 1 0 等價(jià)于 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 化簡得 SKIPIF 1 0 此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫?SKIPIF 1 0 上三條直線： SKIPIF 1 0 所圍成的 SKIP

7、IF 1 0 的內(nèi)部，由“線性規(guī)劃”的知識容易求得： SKIPIF 1 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 0 舉例2 已知函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 處有極值10,則 SKIPIF 1 0 解析： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，此時(shí)函數(shù) SKIPIF 1 0 無極值，舍去；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí) SKIPIF 1 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 處左減右增，

8、有極小值；此時(shí) SKIPIF 1 0 18 。注：在解決“已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參變量”的問題時(shí)，為避免“增根”，需將求出的參變量的值代入 SKIPIF 1 0 檢驗(yàn)其是否為完全平方式，若是則函數(shù)無極值（單調(diào)），否則有極值；也可以對 SKIPIF 1 0 再次求導(dǎo)，看 SKIPIF 1 0 的值，為0則無極值，為正則有極小值，為負(fù)則有極大值。鞏固1已知 SKIPIF 1 0 在區(qū)間0,1上是增函數(shù),在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上是減函數(shù),又 SKIPIF 1 0 ()求 SKIPIF 1 0 的解析式; ()若在區(qū)間 SKIPIF 1 0 (m0)上恒有 SKIPIF 1 0 x成立,求m的取值

9、范圍.舉例2設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 證明：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 0 沒有極值點(diǎn)；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 0 有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值（07高考山東文21）3.求 SKIPIF 1 0 在閉區(qū)間內(nèi)的最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 （2）求導(dǎo)數(shù)方程 SKIPIF 1 0 =0的根（3）檢查 SKIPIF 1 0 在根的左右值的符號，列表求得極值；也可通過解不等式 SKIPIF 1 0 0及 SKIPIF 1 0 0確定函數(shù) SKIPIF 1 0 在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)情況，再確定函數(shù)

10、的極值；最后將極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較以確定最值。舉例1 設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 時(shí)取得極值（）求a、b的值；（）若對于任意的 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 成立，求c的取值范圍解析：（） SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （） SKIPIF 1 0 在0，3上恒成立即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由（）可知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIP

11、IF 1 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 0，1上遞增，1，2上遞減，2，3上遞增；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 取得極大值 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 故當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 于是有： SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 0 。舉例2 已知定義在

12、正實(shí)數(shù)集上的函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 設(shè)兩曲線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同用 SKIPIF 1 0 表示 SKIPIF 1 0 ，并求 SKIPIF 1 0 的最大值；解析：設(shè) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 在公共點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的切線相同 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由題意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 （舍

13、去）即有 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 于是當(dāng) SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 為增函數(shù)，在 SKIPIF 1 0 為減函數(shù)， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 鞏固1 設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 的最大值和最小值鞏固2 已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，其圖象為

14、曲線C直線l:y=x+1與曲線C相切于x軸上一點(diǎn)，求的a、b的值（2）是否存在實(shí)數(shù)a、b，使f(x)在-1、2上取得最大值為3，最小值為-29。若存在，求出a、b的值，并指出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；若不存在，請說明理由。4復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)是虛部為0的復(fù)數(shù)；-1的“平方根”為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 = -1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 =1， SKIPIF 1 0 ；復(fù)數(shù)運(yùn)算遵循有理式的運(yùn)算法則；復(fù)數(shù)的商一般將分母“實(shí)數(shù)化”（分子分母同乘分母的共扼復(fù)數(shù)）；兩個(gè)虛數(shù)不能比較大??；兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部相等，虛部也相等；復(fù)數(shù) S

15、KIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 R， SKIPIF 1 0 R）在復(fù)平面內(nèi)唯一對應(yīng)點(diǎn)（ SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ）。舉例1 設(shè) SKIPIF 1 0 是實(shí)數(shù)，且 SKIPIF 1 0 是實(shí)數(shù)，則 SKIPIF 1 0 （ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 解析： SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 R，則 SKIPIF 1 0 1舉例2 已知 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 是虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方

16、程 SKIPIF 1 0 的兩個(gè)根，那么 SKIPIF 1 0 的值分別是（）A SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解析：分別將 SKIPIF 1 0 代入方程得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 對整理得： SKIPIF 1 0 ；解得： SKIPIF 1 0 。本題也可以用“韋達(dá)定理”求解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 對整理得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 。鞏固1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z= SKIPIF 1 0 對應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限鞏固2 設(shè)復(fù)數(shù) SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1