機(jī)器人技術(shù)第5講

1、2022/10/121 第四章 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人是主動(dòng)機(jī)械裝置，原則上，它的每個(gè)自由度都具有單獨(dú)傳動(dòng)。從控制的觀點(diǎn)來(lái)看，機(jī)械手系統(tǒng)是冗余、多變量和本質(zhì)非線性的自動(dòng)控制系統(tǒng)，也是復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)耦合系統(tǒng)。每個(gè)控制任務(wù)本身就是一個(gè)動(dòng)力學(xué)任務(wù)。因此研究機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題就是為了進(jìn)一步討論控制問(wèn)題。為使機(jī)器人連桿加速，驅(qū)動(dòng)器必須有足夠大的力和力矩來(lái)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)，以使他們能以期望的加速度和速度運(yùn)動(dòng)，否則連桿將因運(yùn)動(dòng)遲緩而損失機(jī)器人的位置精度。因此必須建立決定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系方程，用來(lái)計(jì)算每個(gè)驅(qū)動(dòng)器所需的驅(qū)動(dòng)力。2020-02-112第四章機(jī)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)方法：1牛頓歐拉法；2拉格朗日日方法

2、。機(jī)器人動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程可以以確定機(jī)機(jī)器人的的運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際際上除最最簡(jiǎn)單的的情況外外，求解解機(jī)器人人的全部部動(dòng)力學(xué)學(xué)方程幾幾乎是不不可能的的。作用：1確定力和和力矩，以便在在機(jī)器人人連桿和和關(guān)節(jié)上上產(chǎn)生期期望的加加速度；2考察不同同負(fù)載對(duì)對(duì)機(jī)器人人的影響響及根據(jù)據(jù)期望的的加速度度來(lái)考察察某些負(fù)負(fù)載的重重要性；2020-02-113第四章機(jī)機(jī)器器人動(dòng)力力學(xué)牛頓歐拉拉法從運(yùn)運(yùn)動(dòng)學(xué)出出發(fā)求得得加速度度，并消消去各內(nèi)內(nèi)作用力力。拉格格朗日方方法，它它只需要要速度而而不必求求內(nèi)作用用力，是是比較直直接的方方法。對(duì)于動(dòng)力力學(xué)，有有兩個(gè)相相反的問(wèn)問(wèn)題：一一是動(dòng)力力學(xué)的正正問(wèn)題：已知機(jī)機(jī)械手各各關(guān)節(jié)的的作用力力

3、或力矩矩，求各各關(guān)節(jié)的的位移、速度和和加速度度。主要要應(yīng)用于于仿真研研究；二二是動(dòng)力力學(xué)的逆逆問(wèn)題：已知機(jī)機(jī)械手的的運(yùn)動(dòng)軌軌跡，即即各關(guān)節(jié)節(jié)的位移移、速度度、加速速度求各各關(guān)節(jié)所所需要的的驅(qū)動(dòng)力力或力矩矩。主要要是實(shí)時(shí)時(shí)控制的的需要一般機(jī)器器人的動(dòng)動(dòng)態(tài)方程程由6個(gè)個(gè)非線性性微分方方程聯(lián)立立表示，實(shí)際上上除了一一些簡(jiǎn)單單的情況況外，不不可能求求得方程程的一般般解。在在實(shí)際控控制時(shí)往往往對(duì)動(dòng)動(dòng)態(tài)方程程作出某某些假設(shè)設(shè)，進(jìn)行行簡(jiǎn)化處處理。2020-02-1144.1慣性矩首先，在在圖41里通過(guò)把把質(zhì)點(diǎn)的的平移運(yùn)運(yùn)動(dòng)改作作回轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)的分分析，來(lái)來(lái)了解慣慣性矩的的物理意意義。若將力F作用到質(zhì)質(zhì)量為m的質(zhì)

4、點(diǎn)時(shí)時(shí)的平移移運(yùn)動(dòng)，看作是是運(yùn)動(dòng)方方向的標(biāo)標(biāo)量，則則可以表表示為：式中：表表示示加速度度。若把把這一運(yùn)運(yùn)動(dòng)看作作是質(zhì)量量可以忽忽略的棒棒長(zhǎng)為r的回轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)，則則得到加加速度和和力的關(guān)關(guān)系式為為：2020-02-1154.1慣性矩式中，和和N是繞軸回回轉(zhuǎn)的角角加速度度和慣性性力矩，將和和F代入上式式得：令，上式可以變?yōu)闉椋海?1）式（41）是質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)繞固定定軸進(jìn)行行回轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的的運(yùn)動(dòng)方方程式，I相當(dāng)于平平動(dòng)時(shí)的的質(zhì)量，稱為慣慣性矩。求質(zhì)量連連續(xù)分布布物體的的慣性矩矩時(shí)，可可以將其其分割成成假想的的微小物物體，然然后將微微小物體體的慣性性矩加在在一起，這時(shí)，微小物物體的質(zhì)質(zhì)量dm及其微小小物體體體

5、積dV的關(guān)系可可用密度度表示為：2020-02-1164.1慣性矩那么，它它的慣性性矩為：整個(gè)物體體的慣性性矩可用用下式表表示：（42）例4.1求圖42所示示質(zhì)量為為M，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的勻質(zhì)桿桿（粗細(xì)細(xì)忽略），繞其其一端回回轉(zhuǎn)時(shí)的的慣性矩矩I。2020-02-1174.1慣性矩例42試求上例例的桿繞繞重心回回轉(zhuǎn)時(shí)的的慣性矩矩IC。解：由于于該桿是是重心位位于中心心的勻質(zhì)質(zhì)桿，因因此，可可先就桿桿的一半半來(lái)求解解，然后后再加倍倍即可。假定x為離桿中中心的距距離，則則得到：解：微小小物體的的質(zhì)量用用線密度度（M/L）表示，所所以其慣慣性矩為為。因此將將dI在長(zhǎng)度方方向積分分，即可可得到：2020-02-

6、1184.2牛頓、歐歐拉運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程式式圖43所示示的單一一剛體的的運(yùn)動(dòng)方方程式可可用下式式來(lái)表示示：（43）式中，m（標(biāo)量）是是剛體的的質(zhì)量；是繞重心心C的慣性矩矩陣；FC是作用于于重心的的平動(dòng)力力；N是慣性力力矩；Vc是重心的的平移速速度；為角速度。式（43）及式（44）分別被被稱為牛牛頓運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程式式及歐拉拉運(yùn)動(dòng)方方程式。Ic的各元素素表示對(duì)對(duì)應(yīng)的力力矩元素素和角加加速度元元素間的的慣性矩矩。（44）2020-02-1194.2牛頓、歐歐拉運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程式式下面我們們來(lái)求圖圖44所示示1自由由度機(jī)械械手的運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程程式。這這種場(chǎng)合合，由于于關(guān)節(jié)軸軸制約連連桿的運(yùn)運(yùn)動(dòng)，所所以可以以把式（44）的

7、運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程式式看作是是繞固定定軸的運(yùn)運(yùn)動(dòng)。假假定繞關(guān)關(guān)節(jié)軸的的慣性矩矩為I，取垂直紙紙面的方方向?yàn)閆軸，則得得到：2020-02-11104.2牛頓、歐歐拉運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程式式式中：g為重力常常數(shù)；是是在第第三行第第三列上上具有繞繞關(guān)節(jié)軸軸的慣性性矩陣，把這些些公式代代入（44），提取取只有z分量的回回轉(zhuǎn)則得得到：2020-02-11114.2牛頓、歐歐拉運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程式式式中：（45）對(duì)于一般般形式的的連桿，由于I除第三分分量以外外，其它它分量皆皆不為零零，所以以I不是零向向量。I的第1，2分量量成了改改變軸方方向的力力矩，但但在固定定軸的場(chǎng)場(chǎng)合，與與這個(gè)力力矩平衡衡的約束束力生成成式N的第1，2分量

8、量，不產(chǎn)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)動(dòng)。由于機(jī)器器人是具具有分布布質(zhì)量的的三維、多自由由度機(jī)構(gòu)構(gòu)，利用用牛頓力力學(xué)建模模非常困困難，拉拉格朗日日力學(xué)成成為主要要的動(dòng)力力學(xué)分析析方法。2020-02-11124.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式僅僅僅包涵涵能量項(xiàng)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)統(tǒng)變量和和時(shí)間的的微分，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單，因因此多數(shù)數(shù)教科書書利用該該方程進(jìn)進(jìn)行動(dòng)力力學(xué)推導(dǎo)導(dǎo)。拉格朗日日力學(xué)以以兩個(gè)方方程為基基礎(chǔ)：一一個(gè)是直直線運(yùn)動(dòng)動(dòng)，另一一個(gè)針對(duì)對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)。2020-02-11134.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式可可表示為為：（46）（47）式中，q是廣義坐坐標(biāo)，是廣義力力，當(dāng)為為直線運(yùn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為力

9、的的單位，當(dāng)為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它為力力矩的單單位。拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式也也可表示示為：這里，L是拉格朗朗日算子子；K是動(dòng)能；P是勢(shì)能。2020-02-11144.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式例：用拉拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式推推導(dǎo)下圖圖所示的的單自由由度系統(tǒng)統(tǒng)力和加加速度的的關(guān)系，車輪的的質(zhì)量忽忽略不計(jì)計(jì)：小車的動(dòng)動(dòng)能為：拉格朗日日算子為為：小車系統(tǒng)統(tǒng)的勢(shì)能能為：2020-02-11154.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式拉格朗日日函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)為為：因此小車車系統(tǒng)的的運(yùn)動(dòng)方方程為：2020-02-11164.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式現(xiàn)就前面面講的1自由度度機(jī)械手手來(lái)具體體求解。假定為廣義坐坐標(biāo)，則則有：由于 （4

10、8）2020-02-11174.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式所以用置換式（46）的廣義義坐標(biāo)后后得到下下式：（49）它與前面面的結(jié)果果完全一一致。下面推導(dǎo)導(dǎo)圖45所示示的2自自由度機(jī)機(jī)械手的的運(yùn)動(dòng)方方程式。在推導(dǎo)時(shí)時(shí)，把1，2當(dāng)作廣廣義坐標(biāo)標(biāo)，1，2當(dāng)作廣廣義力求求拉格朗朗日算子子，代入入式（46）即可得得到。2020-02-11184.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式第1個(gè)連桿的的動(dòng)能K1、勢(shì)能P1可分別表表示為：（410）2020-02-11194.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式式中，是是第i個(gè)連桿質(zhì)質(zhì)量中心心的位置置向量。（411）2020-02-11204.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式應(yīng)該注意意到各連連桿的

11、動(dòng)動(dòng)能可用用質(zhì)量中中心平移移運(yùn)動(dòng)的的動(dòng)能和和繞質(zhì)量量中心回回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的動(dòng)能能之和來(lái)來(lái)表示。由式（411），得到到式（410）中的質(zhì)質(zhì)量中心心速度平平方和為為：利用式（410）和式（412），（413），通過(guò)過(guò)下式（412）（413）2020-02-11214.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式式中：可求出拉拉格朗日日算子L，把它代入入式（46）的拉格格朗日運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程程式，整整理后可可得：2020-02-11224.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式（437）2020-02-11234.3拉格朗日日運(yùn)動(dòng)方方程式是慣性力力；是是離心心力；表表示加加在機(jī)械械手上的的重力項(xiàng)項(xiàng)，g是重力加加速度常常數(shù)。對(duì)于多于于3個(gè)自自由

12、度的的機(jī)械手手，也可可用同樣樣的方法法推導(dǎo)出出運(yùn)動(dòng)方方程式，但隨自自由度的的增多演演算量將將急劇增增加。2020-02-11244.4機(jī)械手動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程在分析了了二連桿桿機(jī)械手手的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，我我們分析析由一組組A變換描述述的任何何機(jī)械手手，求其其動(dòng)力學(xué)學(xué)方程。分以下下5步進(jìn)行推推導(dǎo)：（1）計(jì)算任一一連桿上上任一點(diǎn)點(diǎn)的速度度；（2）計(jì)算各連連桿的動(dòng)動(dòng)能和機(jī)機(jī)械手的的總動(dòng)能能；（3）計(jì)算各連連桿的位位能和機(jī)機(jī)械手的的總位能能；（4）建立機(jī)械械手系統(tǒng)統(tǒng)的拉格格朗日函函數(shù)；（5）對(duì)拉格朗朗日函數(shù)數(shù)求導(dǎo)，以得到到動(dòng)力學(xué)學(xué)方程。2020-02-11254.4機(jī)械手動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程下圖表示示一個(gè)四四連桿機(jī)機(jī)

13、械手的的結(jié)構(gòu)。我們先先從這個(gè)個(gè)例子出出發(fā)，求求得此機(jī)機(jī)械手某某個(gè)連桿桿（例如如連桿3）上某一一點(diǎn)（P）的速度度、質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)和機(jī)械械手的動(dòng)動(dòng)能與位位能、拉拉格朗日日算子，求系統(tǒng)統(tǒng)的動(dòng)力力學(xué)方程程。然后后，由特特殊到一一般，導(dǎo)導(dǎo)出任何何機(jī)械手手的速度度、動(dòng)能能、位能能和動(dòng)力力學(xué)方程程的一般般表達(dá)式式。2020-02-11264.4機(jī)械手動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程2020-02-11274.4.1速度的計(jì)計(jì)算圖中連桿桿3上點(diǎn)P的位置為為：式中，為為基基坐標(biāo)系系中的位位置矢量量；為局部（相對(duì)關(guān)關(guān)節(jié)O3）坐標(biāo)系系中的位位置矢量量；T3為變換矩矩陣，包包括旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)和平移移變換。對(duì)于任一一連桿i上的一點(diǎn)點(diǎn)，其位位置為：202

14、0-02-11284.4.1速度的計(jì)計(jì)算點(diǎn)P的速度為為（4.14）2020-02-11294.4.1速度的計(jì)計(jì)算對(duì)于連桿桿i上任一點(diǎn)點(diǎn)的速度度為：（4.15）P點(diǎn)的加速速度2020-02-11304.4.1速度的計(jì)計(jì)算速度的平平方：對(duì)于任一一機(jī)械手手上一點(diǎn)點(diǎn)的速度度平方為為(4.16)2020-02-11314.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算令連桿3上任一質(zhì)質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為為dm，則其動(dòng)動(dòng)能為：任一機(jī)械械手連桿桿i上位置矢矢量的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)，其其動(dòng)能為為2020-02-11324.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算對(duì)連桿3積分dK3，得連桿3的動(dòng)能為為：式中，積積分稱稱為連桿桿的偽慣慣量矩陣陣，并記記為：202

15、0-02-11334.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算任何機(jī)械械手上任任一連桿桿i的動(dòng)能為為：（4.17)式中，Ii為偽慣量量矩陣，其表達(dá)達(dá)式為：2020-02-11344.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算式中，Ii為偽慣量量矩陣，其表達(dá)達(dá)式為：2020-02-11354.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算物體的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量、矢量量積以及及一階矩矩量為：如果令2020-02-11364.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算于是可把把Ii表示為（4.18)：2020-02-11374.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算具有n個(gè)連桿的的機(jī)械手手總的動(dòng)動(dòng)能為：（4.19)連桿i的傳動(dòng)裝裝置動(dòng)能能為式中，Iai為傳動(dòng)裝裝置的等等效轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣量，對(duì)于平平動(dòng)關(guān)節(jié)節(jié)，Iai為等效質(zhì)質(zhì)量；傳動(dòng)關(guān)節(jié)節(jié)的傳動(dòng)動(dòng)裝置總總動(dòng)能為為2020-02-11384.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算下面計(jì)算算機(jī)械手手的位能能，一個(gè)個(gè)高度為為h，質(zhì)量為為m的物體其其位能為為：Pmgh連桿i上位置處處的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)dm，其位能能為：2020-02-11394.4.2動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算其中，mi為連桿I的質(zhì)量，為為連桿