3bian行列式的展開

1、經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué) 線 性 代 數(shù)第3講 行列式的展開教師：邊文莉 下一步例如一、余子子式與代代數(shù)余子子式 下一步在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數(shù)余子式例如 下一步 下一步定理行列式等等于它的的任一行行（列）的各元元素與其其對應(yīng)的的代數(shù)余余子式乘乘積之和和，即二、行列列式按行行（列）展開法法則證:我們將分分三步來來證明此此結(jié)論，先來證證明它的的特殊情況況，即某某行只有有一個元元素不為為0，而而其余元素為為0時定定理成立立。 下一步（1）當(dāng)?shù)谝恍行兄挥形晃挥诘谝灰恍械谝灰涣械脑丶从杏謴亩ɡ沓闪⒘ⅰ?下一步（2）再證階

2、階行列列式，如如果其中中第行行所有有元素除除外外都為零零，那末末這行列列式等于于與與它的代代數(shù)余子子式的乘乘積，即即例如 下一步得 下一步得 下一步 下一步中的余子式 下一步故得于是有 下一步（3）證明一般般情況把行列式式的第行行的的每個元元素都寫寫成n個數(shù)的和的的形式。然后利利用行列列式的性性質(zhì)，把行列式式拆成n個行列式式的和。 下一步 下一步例1 下一步 下一步 證用數(shù)學(xué)歸歸納法例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式 下一步 下一步n-1階范德蒙蒙德行列列式 下一步推論行列式任任一行（列）的的元素與與另一行行（列）的對應(yīng)應(yīng)元素的的代數(shù)余余子式乘乘積之和和等于零零，即證 下一步同理

3、相同 下一步關(guān)于代數(shù)數(shù)余子式式的重要要性質(zhì) 下一步例 計算行列式解按第一行行展開，得 下一步例計算行列列式解 下一步 下一步1.行行列式式按行（列）展展開法則則是把高高階行列列式的計計算化為為低階行行列式計計算的重重要工具具.三、小結(jié)結(jié) 下一步克萊姆法法則設(shè)線性方方程組則稱此方方程組為為非齊次線性性方程組組;此時稱方方程組為為齊次線性性方程組組.非齊次與與齊次線線性方程程組的概概念 下一步一、克拉拉默法則則如果線性性方程組組的系數(shù)行行列式不不等于零零，即 下一步其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解可以表為

4、下一步證明在把 個方程依次相加，得 下一步由代數(shù)余余子式的的性質(zhì)可可知,于是當(dāng) 時,方程組 有唯一的一個解 下一步由于方程組 與方程組 等價,故也是方程組的 解. 下一步二、齊次線性性方程組組的相關(guān)關(guān)定理定理 如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組 沒有非零解. 下一步 定理 齊次線性方程組 有非零解的充要 條件是它的系數(shù)行列式為零.有非零解解.系數(shù)行列列式 下一步例1用克拉默默則解方方程組解 下一步 下一步 下一步例2 問 取何值時，齊次方程組有非零解？解 下一步齊次方程組有非零解，則所以 或 時齊次方程組有非零解. 下一步1.行行列式式按行（列）展展開法則則是把高高階行列列式的計計算化為為低階行行列式計計算的重重要工具具.小結(jié) 下一步3.用用克拉默默法則解解方程組組的兩個個條件(1)方方程個數(shù)數(shù)等于未未知量個個數(shù);(2)系數(shù)數(shù)