專題20 圓錐曲線中的軌跡問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點(diǎn)專題突破（全國通用）（解析版）

1、 專題20 圓錐曲線中的軌跡問題一、單選題1已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上一動點(diǎn)，線段的垂直平分線交于，則動點(diǎn)的軌跡為（ ）A圓B橢圓C雙曲線的一支D拋物線【解析】由題意，圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)榫€段的垂直平分線交于，可得，所以，根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓.故選：B.2動點(diǎn)分別與兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知，則的最小值為（ ）A2B6CD10【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，即：，為的左焦點(diǎn)，設(shè)的右焦點(diǎn)為，則，從而，當(dāng)共線，且在線段上時(shí)取等號，故的最小值為6.故選：B3已知圓：，定點(diǎn)，是圓上的一動點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡的方程是（ ）ABCD【解

2、析】由題可得圓心，半徑為6，是垂直平分線上的點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，故點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.4已知點(diǎn)，直線，為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且，則動點(diǎn)的軌跡的方程為（ ）A BC D【解析】設(shè)點(diǎn)，則，則，即，整理得，動點(diǎn)的軌跡的方程為.故選：A5在平面直角坐標(biāo)系中，有定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，記動點(diǎn)的軌跡為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則面積的值為（ ）ABCD【解析】設(shè)點(diǎn)，則，故根據(jù)得：，整理得：故過且斜率為的直線方程為：，設(shè)，曲線與直線聯(lián)立方程：得：，故，所以，即：，所以，即：，解得：，所以，故過且斜率為的直線方程為：，所以點(diǎn)到直線的距離為：，所以面積為.故選：B.6點(diǎn)

3、、為橢圓長軸的端點(diǎn)，、為橢圓短軸的端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，記動點(diǎn)的軌跡為曲線，若曲線上兩點(diǎn)、滿足面積的最大值為8，面積的最小值為1，則橢圓的離心率為ABCD【解析】由題可設(shè),則因?yàn)?故.化簡得：.故當(dāng)時(shí)面積最大, 面積的最小.故 .故橢圓的離心率.故選：C7已知定點(diǎn)，動點(diǎn)Q在圓O：上，PQ的垂直平分線交直線 OQ于M點(diǎn)，若動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，則m的值可以是（ ）A2B3C4D5【解析】當(dāng)在圓內(nèi)時(shí)，設(shè)與圓的另一交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為弦的中點(diǎn), 則, 線段的中點(diǎn)在線段內(nèi)，則線段的中垂線交線段于點(diǎn)，如圖1 .連接, 則, 所以 ，則，此時(shí)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.當(dāng)在圓上時(shí)，線段的中垂線交線段于圓心.當(dāng)在圓外時(shí)，設(shè)

4、與圓的另一交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為弦的中點(diǎn), 則, 線段的中點(diǎn)在線段內(nèi)，則線段的中垂線交線段的延長線于點(diǎn)，如圖2 .連接, 則, 所以 ，則，此時(shí)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.同理當(dāng)在圓上運(yùn)動時(shí)，還會得到，所以動點(diǎn)的軌跡是雙曲線，則在圓外,所以 ，故選： D8已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足：，直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，則直線，的斜率之積（ ）ABCD不確定【解析】，故，化簡整理得到，故軌跡方程為橢圓，故橢圓方程為：.設(shè)，則，化簡得到，故，.故選：.二、多選題9（多選）設(shè)定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡可能是（ ）A圓B線段C橢圓D直線【解析】由題意知，定點(diǎn)，可得，因?yàn)椋傻?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立當(dāng)時(shí)，可得的，此時(shí)點(diǎn)的軌

5、跡是線段；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是橢圓故選：BC10已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，且AC，BC所在直線的斜率之積等于，則正確的是（ ）A當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是雙曲線B當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去兩個(gè)頂點(diǎn)）C當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C在圓上運(yùn)動D當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C所在的橢圓的離心率隨著m的增大而增大【解析】設(shè)，所以，若，則B正確，A錯(cuò)誤；若，軌跡方程為：，C正確；若，軌跡方程為：，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（不含左右頂點(diǎn)），隨著m的增大而減小，D錯(cuò)誤.故選：BC.11已知定點(diǎn)，定直線l：，動點(diǎn)P點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E則下列說法正確的是（ ）A軌跡E的方程為B軌跡E上的點(diǎn)P到定點(diǎn)

6、F距離的最小值為2C軌跡E上的點(diǎn)P到定直線l：距離的最小值為1D軌跡E上的點(diǎn)到直線l：距離的最小值為【解析】設(shè)，則，化簡得，所以軌跡E的方程是，A正確軌跡E上的點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離為，因?yàn)榛?，所以距離的最小值為1；軌跡E上的點(diǎn)到定直線l：距離的最小值為，B，C不正確設(shè)直線m：與雙曲線E相切，聯(lián)立，得，由，解得，易知切線m：到直線l：的距離最小，當(dāng)時(shí)，解方程得，當(dāng)時(shí)，所以切點(diǎn)即為所求，此時(shí)最小值，D正確故選：AD12已知點(diǎn)是圓：上一動點(diǎn)，點(diǎn)，若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A點(diǎn)的軌跡是橢圓B點(diǎn)的軌跡是雙曲線C當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，的面積D當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，的面積【解析】依題意，因線段的垂直平分

7、線交直線于點(diǎn)，于是得，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，從而得，由雙曲線的定義知，點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故A錯(cuò)，B對；選項(xiàng)C，點(diǎn)的軌跡方程為，當(dāng)時(shí)，所以，故C對；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，所以，故D對，故選：BCD.三、填空題13設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，由點(diǎn)向軸作垂線，垂足為,且，求點(diǎn)的軌跡的方程_.【解析】設(shè)，則由點(diǎn)向軸作垂線，垂足為,且，故，又點(diǎn)在圓上，14已知動圓與定圓內(nèi)切，且動圓經(jīng)過一定點(diǎn)則動圓圓心的軌跡的方程是_【解析】由可得 ，圓心,半徑，動圓與定圓內(nèi)切，且過 ，.動圓圓心P的軌跡E是以B、A為焦點(diǎn),長軸長為6的橢圓.設(shè)橢圓方程為，則.橢圓的方程為.15給出下列命題：到定點(diǎn)與定直線的距離

8、相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；設(shè)，為兩個(gè)定點(diǎn)，為常數(shù)且，若，則動點(diǎn)的軌跡是雙曲線對任意實(shí)數(shù)，直線總與某一個(gè)定圓相切在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓；方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率其中真命題的序號是_（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）【解析】對于，由于定點(diǎn)在定直線上，可得到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線，不是拋物線，故錯(cuò)誤；對于，設(shè)，為兩個(gè)定點(diǎn)，為常數(shù)且，若，只有當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故錯(cuò)誤；對于，由原點(diǎn)到直線的距離，故對任意實(shí)數(shù)，直線總與圓相切，故正確；對于，在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，只有當(dāng)常數(shù)大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，才是橢圓，故錯(cuò)誤；對

9、于，求出方程的兩個(gè)根： ，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故正確；故答案為：16已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為_.【解析】由圓，圓得到，半徑，半徑，設(shè)動圓的半徑為，圓在圓內(nèi)，動圓只能在內(nèi)與圓內(nèi)切，不能是在動圓內(nèi)，即：，動圓與圓外切，動圓與圓內(nèi)切，即到和到的距離之和為定值，是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以，動圓圓心的軌跡方程為，又圓過點(diǎn)，橢圓也過點(diǎn)，而點(diǎn)顯然不在圓上，所以所求軌跡方程為：.四、解答題17已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，過動點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N，且.（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）若直線與曲線E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）

10、設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為，則，即：，點(diǎn)M的軌跡方程為；（2）將直線方程與曲線方程聯(lián)立，當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線E漸近線平行，滿足當(dāng)時(shí)，直線與曲線E相切，滿足題意，解得綜上，的取值范圍為或.18已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓C：上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線CP交于點(diǎn)E（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；（2）若直線與點(diǎn)E的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)F和Q，且原點(diǎn)總在以FQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】（1）由題意知，所以，所以E的軌跡是以C，A為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓E的方程為，則，所以，所以E的軌跡方程為（2）設(shè)，聯(lián)立，消去y得，由得，所以，因?yàn)樵c(diǎn)總在以FQ為直徑的圓的內(nèi)部，所以，即而，所以，即，所以，且滿足式，所以m

11、的取值范圍是19已知點(diǎn)，直線的斜率之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若拋物線與曲線交于點(diǎn)，設(shè)，求面積最大時(shí)的值.【解析】（1）設(shè)，由題意得，化簡得，所以曲線的軌跡方程為；（2）不妨設(shè)拋物線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線：上，所以，令，令，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，此時(shí)拋物線過點(diǎn)，所以.20在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且.記動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)、.若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求面積的取值范圍.【解析】（1）設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則，所以，所以曲線的方程為；（

12、2）若的斜率為，則與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此的斜率不為.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由得，所以，解得或，由韋達(dá)定理可得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以.所以，可得，解得，滿足，所以，直線的方程為，即或；因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于軸對稱，所以，于是點(diǎn)到直線的距離為，又，所以，因此，面積的取值范圍是.21在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)F(1，0)，D為直線l:x=-1上的動點(diǎn)，過D作l的垂線，該垂線與線段DF的垂直平分線交于點(diǎn)M，記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）若過點(diǎn)F的直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ與直線x=1分別交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【解析】（1）連接，則，則根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線則點(diǎn)的軌跡的方程為（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，直線的方程為，同理：直線的方程為，令得，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以圓的半徑為所以為直徑的圓的方程為展開可得，令，可得，解得或所以以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)和22已知為圓的圓心，是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)，若線段的中垂線與相交于點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方