高中三角函數(shù)知識點(diǎn)與常見習(xí)題類型解法

1、11:1三角函數(shù)知識點(diǎn)與常見習(xí)題類型解法1、任意角的三角函數(shù):(1)弧長公式：laR R 為圓弧的半徑，a為圓心角弧度數(shù)，l為弧長。(2)扇形的面積公式:1S 1lR2為圓弧的半徑,l為弧長。(3)同角三角函數(shù)關(guān)系式:倒數(shù)關(guān)系： tan a cot a倒數(shù)關(guān)系： tan a cot a商數(shù)關(guān)系:, sin atana cosa, cosa cot asin a(4)平方關(guān)系：sin2 a cos2 a(4)x函數(shù)sin xcosxtanxcotxasinacosatanacot a2 asinacosatan acot a-a 2cosasinacot atan a所謂奇偶指的是整數(shù) k的奇偶

2、性;誘導(dǎo)公式：(奇變偶不變，符號看象限)一 k22、兩角和與差的三角函數(shù):(1)兩角和與差公式：cos()cosacos sin asinsin(a) sin a cos cosasintana(a) cos()cosacos sin asinsin(a) sin a cos cosasintana(a) tana tan1 tan a tan公式的逆用或者變形】(2)二倍角公式:sin2a2sinacosacos 2acos 2a2.22 c 2cos a sin a 1 2sin a 2costan 2a2 tan a1 tan a從二倍角的余弦公式里面可得出：降哥公式:cos2 a1 c

3、os 2asin2a 1cos2 a2(3)半角公式(可由降騫公式推導(dǎo)出).一 a sin 21 cosaa cos21 cosatan2cosacosasin a1 cosa1 cosasin a3、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：（其中k z）三角函數(shù)y sin xycosxytanx圖像iyLI yLiN )-%,r口Ji1J*QHK*(定義域(-oo, +oo)（-0c,+0)xk22值域-1,1-1,1(-oo, +oo)最小正周期T 2T 2T奇偶性奇偶奇單調(diào)性2k-,2k-單調(diào)遞增2 ,2(2k 1) ,2k 單調(diào)遞增(k5k1）單調(diào)遞增2k-,2k二單調(diào)遞減22(2k ,(2k 1)單調(diào)

4、遞減對稱性對稱軸：x k2對稱中心：（k ,0）對稱軸：x k對稱中心：（k2,0)對稱中心：J0)零值點(diǎn)xkxk2xk最值點(diǎn)xx2k, ymax122k, ymax12x :x (2 k , y max2k 1) ,y1max1無4、函數(shù) y Asin(x）的圖像與性質(zhì)：（本節(jié)知識考察一般能化成形如y Asin（ x）圖像及性質(zhì)）(1)函數(shù) y Asin( x )和 y Acos(x)的周期都是T2 n(2)函數(shù) y Atan( x )和 y Acot(x)的周期都是Tn（3）五點(diǎn)法作y Asin（ x）的簡圖，設(shè)t及對應(yīng)的y值再描點(diǎn)作圖。x ,取0、一、 、232、2來求相應(yīng)x的值以提倡先

5、平移后伸縮。切記每一，卜變換總是對字（4J天 J 1松伸二佰工供口共伸經(jīng)失 閨蟻干核1甲而工供）母x而言，即圖像變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。11、已知 tanx 2 ,求 sin x, cosx 的值.【函數(shù)的平移變換】 y f (x)y f (x a)(a 0)將 y【函數(shù)的平移變換】 y f (x)y f (x a)(a 0)將 yf(x)圖像沿x軸向左(右)平移 a個單位(左加右減) y f (x) y f (x) b(b 0)將 yf(x)圖像沿y軸向上(下)平移 b個單位(上加下減)【函數(shù)的伸縮變換】 y f (x) y f (wx)(w 0)將 y y f (

6、x) y f (wx)(w 0)將 y短，0 w 1伸長) y f (x) y Af(x)(A 0)將 y1，f (x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的 一倍(w 1縮 wf(x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的A倍(A 1伸長，0 A 1縮短)【函數(shù)的對稱變換】 y f (x)y f( x)將y f(x)圖像繞y軸翻折180 (整體翻折) y f (x)(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于 x軸對稱)y f (x) y f (x)將y f(x)圖像繞x軸翻折180 (整體翻折)；(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y軸對稱)yf (x)y f (x)將yf(x)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)

7、(偶函數(shù)局部翻折)；yf (x)y f(x)保留y f (x)在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上去(局部翻動)5-方法技巧一一 三角函數(shù)恒等變形的基本策略。(1)常值代換：特別是用“1”的代換；如 1 sin 2 a cos2 a tan x cot x tan 45 等。(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊。 TOC o 1-5 h z 222222如分拆項(xiàng)：sin a 2cos a (sin a cos a) cos a 1 cos a；配湊角：()；等。 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 22(3)降次與升次；切化弦法。(4)引入輔助角。y a

8、sin bcosVa2 b2 sin( ) 、a2 b2 cos( )，這里輔助角所在象限由b .a、b的符號確te,角的值由tan一確te。a【典型例題】：3310解：因?yàn)?tan x sin x 2 ,又 sin2 a cos2 a 1 , cosx聯(lián)立得sin x 2cosxsin2 x2cos x2,5,55sin xcosx3-10丁10記sin xcosx3 102,5,55sin xcosx3-10丁10記sin xcosx3 10而10而所以 sin xcosx310法二：因?yàn)閟in x cosxsin x cosx2, TOC o 1-5 h z 25 HYPERLINK l

9、 bookmark125 o Current Document sin x sin x解這個方程組得5,5 cosx cosx 52 求 tan( 120)cos(210)sin( 480 )的值 tan( 690 )sin( 150 )cos(330 )解 原式 tan( 120 180 )cos(18030 )sin( 360 120 ). * tan( 72030o)sin( 150 )cos(36030 )3，. 3.tan60 ( cos30 )( sin120 ) tan30 ( sin150 )cos303，. 3.c sin x cosx3、右2,求 sin xcosx 的值.

10、sin x cosx解：法一：因?yàn)?sinx c0sx 2, sin x cosx所以 sin x cosx 2(sin x cosx)得至1 sinx3cosx ,又sin2 a cos2 a 1,聯(lián)立方程組，解得所以 sin x cosx 2(sin x cosx),所以(sin x cosx)2 4(sin x cosx)2,所以 1 2sinxcosx 4 8sin xcosx,所以有sinxcosx444、求證：tan2 xsin 2 x tan2 x sin2X。證明： 法一：右邊= tan2 x sin2,一2x tan x(tan2 xcos2 x),222.2tan x(1

11、cosx ) tan xsin x ；法二:左邊=tan2 x sin2.2x tanx (1 cos2 x)tan2x tan22xcosx，一 222.2tan x(1 cosx ) tan xsin x5、求函數(shù)yx2sin( 一2冗、-）在區(qū)間0,2 6上的值域。解：因?yàn)?所以由正弦函數(shù)的圖象，得到x 冗y 2sin(2 6)216、求下列函數(shù)的值域.2(1) y sinx cosx2;解：（i）2y sin x=1 cos2x2sin( 21,22 sin xcosx(sin x cosx)cosx 2x cos x 2(cos2 x cos x) 3cosxit 1,1, y21

12、2 131 2 13(t t) 3 (t 2)z (t -)713利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng) 1,13.(2) y 2sinxcosx (sin x cosx)2=(sin x cosx) 1 (sin x cosx)令 t sinx cosx J2 sin(x /)，則 t J2,V245則y t2 t 1,利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng) ,1 J2.47、若函數(shù)y=Asin( 3x +()( w 0,巾0)的圖象的一個最高點(diǎn)為(2, J2),它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖象與x軸交于(6, 0),求這個函數(shù)的一個解析式。1解：由最高點(diǎn)為(2,J2),得到A J2,最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間隔是半個周期，從而與x

13、軸交點(diǎn)的間隔是 -4 TOC o 1-5 h z 我一一 、 ， ，1T1 一冗個周期，這樣求得 -4,T=16,所以 - HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 48又由 亞 V2sin( 2),得到可以取一.y 2 2 sin(x ). HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 84848、已知函數(shù) f (x)=cos 4x 2sin xcosx sin 4x. .1 sin x(I )求f(x)的最小正周期；(陰若* 0,求f (x)的最大值、最小值.數(shù) y 的值域.23 cosx解：(I)因?yàn)?f (

14、x)=cos 4x 2sin xcosxsin4 x=(cos2xsin 2x)(cos 2x + sin 2x) sin2 x(cos2 x sin2 x) sin 2x cos2x sin 2x 、2 sin( 2x)2 sin(2x )44所以最小正周期為（陰若x 0,白則4）二處,所以當(dāng)x=0時，f（x）取最大值為sin（陰若x 0,白則4）4 448f （x）取最小值為22.9、已知 tanJ2,求（1）cos sin;(2) sin2cos sin2sin . cos 2 cos 的值.cos sin解：(1)cossin( sin1cossin1 tan1 tancos2(2)

15、sinsin cosf （x）取最小值為22.9、已知 tanJ2,求（1）cos sin;(2) sin2cos sin2sin . cos 2 cos 的值.cos sin解：(1)cossin( sin1cossin1 tan1 tancos2(2) sinsin cos22cos2sin sin cos-2sin cos2 cos22 sin2- cossinsincos22 cos說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到） 程簡化。,進(jìn)行弦、切互化，就會使解題過10、求函數(shù) y 1 sin x cosx (sin x cosx)2 的值域。解：設(shè)tsin x cos

16、xV2sin(x -)t2 t 1 (t2)22時,ymax43 ,因?yàn)閠4.2,當(dāng) tJ2,舊,則原函數(shù)可化為123二時，ymin 二，24所以，函數(shù)的值域?yàn)?,3 V2 o41111、已知函數(shù)f(x) 4sin2x 2sin2x 2, x R ； (1)求f (x)的最小正周期、f(x)的最大值及- 一-TT此時x的集合；(2)證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x 對稱。8解：f(x) 4sin2 x 2sin 2x 2 2sin x 2(1 2sin2 x)2sin 2x 2cos2x 2,2sin(2x -)4(1)所以f(x)的最小正周期T兀，因?yàn)閤 R,一- 一- TT -TT所以，

17、當(dāng)2x - 2k，即x42k/口時，f(x)最大值為2J2；8(2)證明：欲證明函數(shù)(2)證明：欲證明函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x一對稱，只要證明對任意x R ,有 8- 冗- 冗，、f ( - x) f ( x)成立,88一一TT因?yàn)閒( 一一TT因?yàn)閒( x)82、.2sin2( - x) - 2、.2sin( - 2x)842f( 8x) 2，2sin2( 8x) 42.2sin( j 2x)272cos2x ,2 x/2 cos2x , ,冗 、 ,冗 、，冗、_ .所以f (x)f (一x)成立，從而函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線x88冗 ,一對稱。812已知函數(shù)y= cos2x+s

18、inx12已知函數(shù)y= cos2x+sinx22 cosx+1(xC R)(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量 x的集合；(2)該函數(shù)的圖像可由 y=sinx(x C R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?AA、1BC、3D、2解：(1) y=1 cos2x+ -3-sinx cosx+1= 1 (2cos 2x 1)+ 1 +2L3 (2sinx cosx) +1= 1cos2x+ 2-3 sin2x+5 1 ，_=_(cos2x sin +sin2x41 .=sin(2x+24-)+564cos -)+ -64所以 y 取最大值時，只需 2x+ =+2kTt, (kCZ),即 x= +k

19、 % , (kCZ)。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量 x的集合為x|x= -+kTt ,k Z（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換:（i ）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移 一，得到函數(shù)y=sin（x+ 一）的圖像;圖像;（ii ）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的（iii ）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin（2x+ 一）的圖像;214-倍2（橫坐標(biāo)不變）6,得到函數(shù) y= sin（2x+ 一）的,一-一.，一，5 * -.（iv ）把得到的圖像向上平移 5個單位長度，得到函數(shù)4y=1 sin(2x+25 ，一）+ 5的圖像。64綜上得至U y=

20、 cos22. 3 .x+ sinxcosx+1的圖像。、選擇題:1、(08 全國 6) y2(sin x cosx)A、最小正周期為2那偶函數(shù)B、最小正周期為2兀的奇函數(shù)C、最小正周期為%的偶函數(shù)最小正周期為冗的奇函數(shù)2、（08全國一 9）為得到函數(shù) ycos-的圖象，只需將函數(shù) y3sin x的圖像（A向左平移工個長度單位6C向左平移壁個長度單位B、向右平移向右平移63、(08 全國二 1)若 sin工個長度單位6切個長度單位6A、第一象限角4、（08全國二10）.函數(shù)0且 tan0是，則 是B、第二象PM角G第三象限角第四象限角f （x） sin x cosx的最大值為（114、(。8卷

21、4) tanx cotx coJ x()5、( 08 卷 8)函數(shù)y sin（2x 一）圖像的對稱軸方程可能是（3B、 x12x 126、( 08 卷 7)函數(shù)y=cosx（x C R）的圖象向左平移一個單位后，得到函數(shù)2y=g（x）的圖象,g（x）的解析式A -sin xB 、sin x、-cos xcosx7、（08卷5）已知函數(shù)f （x）（12cos2x)sinx, x R ,則 f (x)是(A、最小正周期為的奇函數(shù)、最小正周期為的奇函數(shù)2C最小正周期為的偶函數(shù)、最小正周期為的偶函數(shù)28、（08卷11）函數(shù)f (x) cos2x2sinx的最小值和最大值分別為（-3, 1B、- 2,G

22、 -3,32D、2,9、（08卷7）將函數(shù)y sin(x )的圖象F向右平移一個單位長度得到圖象3F,若 F的一條對稱軸是直線x ,則的一個可能取值是（1210、(08 卷 6)函數(shù)f (x)512sin x11121112sin x2sinfA、以4為周期的偶函數(shù)為周期的奇函數(shù)C、以2為周期的偶函數(shù)為周期的奇函數(shù)11、若動直線x a與函數(shù)f(x)sin x和 g(x)cosx的圖像分別交于 M , N兩點(diǎn)，則MN的最大值為12、（08 卷 10）已知 cossin7jt6的值是（B、D、13、 08 卷1) sin330A、A、 tanxSn sinxCo cosxD、 COtX1515、（

23、08卷6）把函數(shù)ysin x（x R）的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動一個單位長度，再把所得圖象3上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）,得到的圖象所表示的函數(shù)是（A 、y sin2xsiny sin2xsin2x16、（08 卷 9）.5sin 7cos7c tan2-7B、 a17、（08 卷 2）函數(shù)（sin x、2cosx）1的最小正周期是（17、（08 卷 2）函數(shù)（sin x、2cosx）1的最小正周期是（3218、（08 卷 7）在同平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)x 3co丐萬）（x1 ,、0,2 ）的圖象和直線y 的交 2點(diǎn)個數(shù)是（A、0二、填空題19、（08 卷 9）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)

24、P（1, 2）,則tan2的值為19、（08 卷 9）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1, 2）,則tan2的值為20、（08 卷 1）cosx 的最小正周期為一，其中 0 ,則6521、（08 卷 16）。,一2,則函數(shù)y 閑x 1的最小值為sin 2x22、（08 卷 12）若 sin（）則 cos2+sin（ 2+x）的最大值是23、（08 卷 6）函數(shù) f（x+sin（ 2+x）的最大值是24、（08卷17）求函數(shù)y 7 4sin xcosx 4cos2 x 4cos4x的最大值與最小值。25、(08卷15)已知函數(shù)f(x) sin2 x 73sin xsin x (0)的最小正周期為冗；(I)2

25、, ，一,一 2 1r ，求 的值；(n)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的取值圍.326、(08卷17)已知函數(shù)f(x) 2co s2 x 2sin xcos x 1( x R,0)的最小值正周期是 一；2(i)求 的值；(n)求函數(shù)f (x)的最大值，并且求使 f (x)取得最大值的x的集合.27、(08 卷 17)已知函數(shù) f (x) cos(2x ) 2sin( x )sin( x ),344(i)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；(n)求函數(shù)f(x)在區(qū)間一,一上的值域12 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark208 o Current D

26、ocument x xx HYPERLINK l bookmark210 o Current Document 28、(08 卷 17)已知函數(shù)f(x) 2sin-cos-2j3sin晶.444.一 _ . 它 (I)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值；(n)令g(x) f x -,判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并3說明理由.參考答案:一、選擇題：1 10: D、C C B、B、A、D、C 9、A、A;1120: 11、G 13、B、14、D 15、C 16、D 17、B 18、C;二、填空題： TOC o 1-5 h z 19、420、10 21 、V322 、工 23、2。 HYPERLINK

27、l bookmark214 o Current Document 325三、解答題：24、 解： y 7 4sin xcosx 4cos2x 4cos4 x HYPERLINK l bookmark182 o Current Document 227 2sin 2x 4cos x 1 cos x HYPERLINK l bookmark198 o Current Document 2. 27 2sin 2x 4cos xsin x27 2sin 2x sin 2x21 sin 2x 6 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark101 o Current Docume

28、nt 22由于函數(shù)z u 16在 1,1中的最大值為：zmax1 16 102最小值為：zmin1 16 6故當(dāng)sin 2x 1時y取得最大值10,當(dāng)sin 2x 1時y取得最小值6【點(diǎn)評】：此題重點(diǎn)考察三角函數(shù)基本公式的變形，配方法，符合函數(shù)的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降哥，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的圍是關(guān)鍵;25、解：(I) 25、解：(I) f (x)1 cos 2 x 3 . sin 2 x22- sin 2 x 1cos2 x 22. o冗sin 2 x 一 6因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為 冗，且 0,2所以2冗，解得 1.2 TOC o 1-5 h z _1(n)由(I)得 f(x) sin 2x -. HYPERLINK l bookmark142 o Current Document 62 冗- 冗7 7t1冗/所以一 W2x- ，所以 一0 sin 2x - 1 ,6662613 3一一 一TT因此 00 sin 2x 61 一一 一TT因此 00 sin 2x 6 HYPERLINK l bookmark18 o Current Docume