多元函數(shù)極值與其求法

1、關于多元函數(shù)的極值及其求法第1頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三一、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義第2頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三例1例例(3)(2)(1)第3頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三2、多元函數(shù)取得極值的條件證第4頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三第5頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.駐點偏導數(shù)存在的極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：第6頁，共23頁，2022年，5月20

2、日，19點35分，星期三第7頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三第8頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三例4 求函數(shù)的極值。解求解方程組：得駐點因此，駐點第9頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三因此，駐點因此，駐點第10頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三與一元函數(shù)類似，可能的極值點除了駐點之外，偏導數(shù)不存在的點也可能是極值點。例如，顯然函數(shù)不存在。第11頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三求最值的一般方法： 將函數(shù)在 D 內的所有駐點處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的最大值和最小值相互比

3、較，其中 最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值第12頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三解令第13頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外， 并無其他條件.第14頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三實例：小王有 200 元錢，他決定用來購買兩種急 需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購 買 x 張磁盤， y 盒錄音磁帶達到最佳效果， 效果函數(shù)為 U(x, y) = lnx+lny 設每張磁 盤 8 元，每盒磁帶

4、10 元，問他如何分配這 200 元以達到最佳效果問題的實質：求 在條件 下的極值點三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法第15頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三條件極值：對自變量有附加條件的極值第16頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三求解方程組解出 x, y, z, t 即得可能極值點的坐標.第17頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三解則例6 求表面積為 a2 而體積為最大的長方體的體積. 設長方體的長、寬、高為 x , y，z. 體積為 V .則問題就是條件求函數(shù)的最大值.令下，第18頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35

5、分，星期三則令即由(2), (1)及(3), (2)得第19頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三由(2), (1)及(3), (2)得于是，代入條件，得解得這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知，所以，最大值就在此點處取得。故，最大值最大值一定存在，第20頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三解則由 (1)，(2) 得由 (1)，(3) 得第21頁，共23頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三將 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在這個可能的極值點處取得。故，最大值第