量子力學中的Hilbert空間

1、I三量子力學中的Hilbert空間羅XX(XX大學物理科學學院XX級光X班)摘要解偏微分時，需要解本征值方程，常用的方法是級數法。這時需要有一個函 數空間，其軸是一組正交完備系。由一組正交完備的基底通過線性疊加組成方程 的解。本征解既是在一個具體表象(固定坐標軸)中只有一個軸表示。這個空間 叫做希爾伯特空間。Hilbert空間、態(tài)、態(tài)矢量、表象引言在量子力學的研究中用到了 Hilbert空間來描述微觀系統的態(tài)空間，為研究 帶來了理論基礎及方便。一、對Hilbert空間的描述在數學領域，希爾伯特空間是歐幾里德空間的一個推廣，其不再局限于有限 維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是一個內積

2、空間，其上有距離 和角的概念(及由此引伸而來的正交性與垂直性的概念)。此外，希爾伯特空間 還是一個完備的空間，其上所有的柯西列等價于收斂列，從而微積分中的大部分 概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基于任意正交系上 的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是 泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數學和量子力學的關鍵性概念 之一。1二、量子力學中對Hilbert空間的描述同一個態(tài)可以在不同的表象中用波函數來描述，所取的表象不同，波函數的 形式也不同，但他們描寫同一個態(tài)。這和幾何中一個矢量可以在不同的坐標系中 描寫類似。矢量A可以在直角笛卡爾坐

3、標中用三個分量(A A A)來描寫，也可 以在球極坐標中用三個分量(ArAe A來描寫等等。在量子力學中，我們可以 把狀態(tài)甲看成是一個矢量態(tài)矢*。選取一個特定的Q表象，就相當選取一個 特定的坐標系。Q的本征函數u (x)u (x)u (x)u (x) 是這個表象的基123n矢。這相當于直角坐標系中單位矢量i,j,k。波函數(a(t)a2(t) )是 態(tài)矢量甲在Q表象中沿各基矢方向的“分量”。正如A沿i；j,k三個方向的分量是(AxAyAz)一樣i,j,k是三個相互獨立的方向，說明A所在的空間是普通三維 空間。量子力學中Q的本征函數u1(x)u2(x)u3(x) u (x) 有無限多， 所以態(tài)矢

4、量所在的空間是無限維的函數空間：這種空間在數學中稱為Hilbert 空間。2三、為何要引進Hilbert空間來描述態(tài)矢量所在空間與經典力學不同，量子力學中用波函數來描述微觀粒子的運動。所以在量子 力學中也用不同于經典力學的方法來表示力學量，即用算符來表示微觀粒子的力 學量。而量子力學中算符有其自己的性質：算符都是線性算符，算符有厄米性。 所以量子力學中也稱算符為厄米算符，且厄米算符的本征函數構成了正交、歸一、 完備系。3在量子力學中，算符可以用矩陣表示，公式可以用矩陣表述。矩陣 本身可以看成是一個級數組成的空間。而且一個粒子的態(tài)是又很多個態(tài)疊加而成 的。量子力學的態(tài)空間是一個完備的線性內積空間

5、。在量子力學的研究中，常常 要得到一個本征函數的本征值，且本征函數往往都是一個偏微分方程。在解偏微 分時，需要解本征值方程，常用的方法是級數法。這時需要有一個函數空間，其 軸是一組正交完備系。由一組正交完備的基底通過線性疊加組成方程的解。本征 解既是在一個具體表象(固定坐標軸)中只有一個軸表示。這個空間叫做希爾伯 特空間。量子力學之所以選擇Hilbert空間作為描述微觀系統狀態(tài)的函數空間， 是由態(tài)函數的性質決定的，量子力學使用的數學工具主要是泛函分析。4所以 在量子力學中引入Hilbert空間是非常必要的。結束語在量子力學中引入Hilbert空間方便了對量子力學問題的研究，量子力學也 給Hilbert空間理論很好的物理應用空間。參考文獻1百度百科：Hilbert空間。 HYPERLINK /view/310495.html /view/310495.html2周世勛著，