七年級數(shù)學(xué)上冊知識點大全

1、不是有理數(shù)；正整數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)a 0 (a 0)aa正整數(shù)整數(shù) 零零分?jǐn)?shù)a (a不是有理數(shù)；正整數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)a 0 (a 0)aa正整數(shù)整數(shù) 零零分?jǐn)?shù)a (a 0)a (a 0)1正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)a有理數(shù)0負(fù)整數(shù)；aa1a0； (4) |a|是重要的非負(fù)數(shù)，即 |a| 0；七年級數(shù)學(xué)上冊知識點匯總1.有理數(shù)：(1) 凡能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)，都是有理數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù) . 注意：0即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)； -a 不一定是負(fù)數(shù)， +a也不一定是正數(shù)；正有理數(shù)(2) 有理數(shù)的分類 : 負(fù)有理數(shù)(3) 自然數(shù) 0 和正整數(shù)； a 0 a 是正數(shù)； a 0 a 是負(fù)數(shù)；a0 a

2、 是正數(shù)或 0 （ a 是非負(fù)數(shù)）； a 0 a 是負(fù)數(shù)或 0（a是非正數(shù)） . （4）最大的負(fù)整數(shù)是 -1，最小的正整數(shù)是 1 2數(shù)軸：數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向、單位長度的一條直線 . 3相反數(shù)：(1) 只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)；如 1.5 的相反數(shù)是 -1.5 ，-12 的相反數(shù)是 12，a的相反數(shù)是 -a,0 的相反數(shù)還是 0；(2) 注意： 的相反數(shù)是 ；a-b 的相反數(shù)是 b-a；a+b的相反數(shù)是 -a-b ；(3) 相反數(shù)的和為 0， 即： a+b=0 a、b互為相反數(shù) . (4) 相反數(shù)的商為 -1（除 0外）. (5 ）相反數(shù)的絕對值相等。4.絕對值

3、：(1) 正數(shù)的絕對值 等于它本身， 例如：|5|=5 ， | -3.14|=0的絕對值是 0，負(fù)數(shù)的絕對值 等于它的相反數(shù)； 例如：|-5|=5 ， ) 注意：絕對值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點離開原點的 距離；a (a 0)(2) 絕對值可表示為： 或 a ；a (a 0)(3) 5.有理數(shù)比大?。海?）正數(shù)永遠(yuǎn)比 0大，負(fù)數(shù)永遠(yuǎn)比 0小； （2）正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；（3）兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。唬?4）數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；6.倒數(shù)：乘積為 1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；例如： 1.2 的倒數(shù)是 5/6，-4/7 的倒數(shù)是 -7/4 注意：0沒有倒數(shù)； 若 ab=1 a、b互為倒

4、數(shù)；等于本身的數(shù)匯總： （1）相反數(shù)等于本身的數(shù)： 0 （2）倒數(shù)等于本身的數(shù)： 1，-1 （3）絕對值等于本身的數(shù)： 正數(shù)和 0 （4）平方等于本身的數(shù)： 0,1 （5）立方等于本身的數(shù)： 0,1，-1. 7. 有理數(shù)加法法則：1 / 25 -2-1=-3 ，（-2-1 可理解為+號省略（7-9 讀為 7與-9 的和）4-（-5）=4+5. 2）任何數(shù)同零相乘都得零；.奇數(shù)個負(fù)數(shù)為負(fù)，偶數(shù)個負(fù)數(shù)為正。0除以任何非零數(shù)都得 -2-1=-3 ，（-2-1 可理解為+號省略（7-9 讀為 7與-9 的和）4-（-5）=4+5. 2）任何數(shù)同零相乘都得零；.奇數(shù)個負(fù)數(shù)為負(fù)，偶數(shù)個負(fù)數(shù)為正。0除以任何

5、非零數(shù)都得 0。（注意：零不a=a.a.a a叫做底數(shù)，相同因數(shù)的個數(shù)2 2 2n例如:（-1） =-1 2 2n23.4 精確到 0.1 或精4.例如：,先算括號,同一級運算 ,從左到右進(jìn)行 . ,但不能用于不是單項式： a/c, (m+n)/2, ab+ac 4nn叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪；是非負(fù)數(shù)，即 |a| ，a0；若(a-2) +|b+4|=0 2n+1（-3） =（-3）（-3）=9； -3 =-33.=-9 a-2=0,b+4=0 (即 a=2,b=-4)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)； (-1) =1 2 22n（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；例如：讀作-2，-1 的

6、和，也可讀作 -2 減 1 ）（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值較大加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；例如：-1+2=1， -2+1=-1, 7-9=-2（3）一個數(shù)與 0相加，仍得這個數(shù) . 8有理數(shù)加法的運算律：（1）加法的交換律： a+b=b+a ；（2）加法的結(jié)合律：（ a+b）+c=a+（b+c）. 9有理數(shù)減法法則 ：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；例如10 有理數(shù)乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；（3）幾個不為零因數(shù)連乘 ，積的符號由負(fù)因式的個數(shù)決定（-6）（-8）12（-9）=-468129 11 有理數(shù)乘法的運算律：（1）乘法的交換律：

7、ab=ba；（2）乘法的結(jié)合律：（ ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律： a（b+c）=ab+ac . （簡便運算）12有理數(shù)除法法則 ：（1）除以一個數(shù)等于 乘以這個數(shù)的倒數(shù)；例如:7(-4/5)=7 （-5/4 ）（2）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；能做除數(shù)，）13有理數(shù)的乘方：（1）求 n個相同因數(shù) a的積的運算，叫做乘方；即（2）乘方中，相同的因數(shù)（3）|a|,a（4）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；例如 :1 =1 （5）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)；（6）（-3） 與-3 的區(qū)別：14科學(xué)記數(shù)法 ：把一個大于 10的數(shù)記成 a10 的形式，其中 a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記

8、數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法 .：一個近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個近似數(shù)的精確到那一位例如：確到十分位， 10（5.78 萬）精確到百位。：從左邊第一個不為零的數(shù)字起 ，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字，都叫這個近似數(shù)的有效數(shù)字0.0403 有三個有效數(shù)字： 4,0,3. 17.混合運算法則： 先乘方，再乘除，后加減；如果有括號注意：不省過程，不跳步驟。18.特殊值法： 是用符合題目要求的數(shù)代入，并驗證題設(shè)成立而進(jìn)行猜想的一種方法證明.常用于填空，選擇。整式的加減19單項式： 表示數(shù)與字母的 乘積的式子，單獨的一個數(shù)或字母也叫單項式。例如：單項式： 3xy, a, -3ab/2, 0, -7, 2 / 25

9、22 222 22 222240冊，若每冊圖書的郵費為書價的 20單項式的系數(shù)與次數(shù)： 單項式中的數(shù)字因數(shù)，稱單項式的系數(shù)；例如： -3 xy, a, -3ab/2,ab的系數(shù)分別是 -3 ，1，-3/2 ，單項式中所有字母指數(shù) 的和，叫單項式的次數(shù) . 例如：-3 xy, a, ab的次數(shù)分別是 2,1,321多項式 ：幾個單項式的和叫多項式 . 22多項式的項數(shù)與次數(shù)： 多項式中所含單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，每個單項式叫多項式的項；多項式里， 次數(shù)最高項的次數(shù) 叫多項式的次數(shù)；例如： -x y+5xy-2x-1 是三次四項式，其中，三次項是 -x y，三次項系數(shù)是 -1 ，二次項是 5

10、xy，二次項系數(shù)是 5，一次項是-2x， 一次項系數(shù)是-2， 常數(shù)項是-1 23單項式與多項式統(tǒng)稱整式 . 24同類項： 所含字母相同，并且 相同字母的指數(shù) 也相同的單項式是同類項 . 25合并同類項法則： 系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變 .不是同類項不能合并。26去（添）括號法則： 把括號和括號前面的符號去掉若括號前邊是“ +”號，括號里的各項都不變號； +（a-b+c）=a-b+c 若括號前邊是“ -”號，括號里的各項都要變號 . - （a-b+c）=-a+b-c 27整式的加減 ：一找（同類項）：（劃線）； 二加（系數(shù)相加） 三合（字母部分不變）28.多項式的升冪和降冪排列： 把一個多項

11、式的各項按某個字母的 指數(shù)從小到大（或從大到?。┡帕衅饋?，叫做按這個字母的升冪排列（或降冪排列） . 經(jīng)典例題透析類型一：用字母表示數(shù)量關(guān)系1填空題：(1) 香蕉每千克售價 3元，m千克售價_元。(2) 溫度由 5上升 t后是_。(3) 每臺電腦售價 x元，降價 10后每臺售價為 _元。(4) 某人完成一項工程需要 a天，此人的工作效率為 _。思路點撥：用字母表示數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是理解題意，抓住關(guān)鍵詞句，再用適當(dāng)?shù)氖阶颖磉_(dá)出來。舉一反三：變式 某校學(xué)生給“希望小學(xué)”郵寄每冊元的圖書5，則共需郵費 _元。類型二：整式的概念2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。(1)x 1；(2)a 2；(3) ；

12、(4)SR2；(5) ；(6) 總結(jié)升華：判斷是不是整式，關(guān)鍵是了解整式的概念，注意整式與等式、不等式的區(qū)別，等式含有等號，不等式含有不等號，而整式不能含有這些符號。舉一反三：變式把下列式子按單項式、多項式、整式進(jìn)行歸類。3 / 25 word x2y， a b， x y25， ， 29， 2ax9b5， 600 xz， axy ， xyz 1， 。分析：本題的實質(zhì)就是識別單項式、多項式和整式。單項式中數(shù)和字母、字母和字母之間必須是相乘的關(guān)系，多項式必須是幾個單項式的和的形式。答案：單項式有： x2y，29,600 xz，axy 多項式有： ab，xy25,2ax9b5，xyz1 整式有：x2

13、y，ab，xy25， 29，2ax9b5,600 xz，axy，xyz1。類型三：同類項3若與是同類項，那么 a,b 的值分別是（ ）（A）a=2, b= 1。 （B）a=2, b=1 。（C）a=2, b= 1。 （D）a=2, b=1 。思路點撥:解決此類問題的關(guān)鍵是明確同類項定義，即字母相同且相同字母的指數(shù)相同，要注意同類項與系數(shù)的大小沒有關(guān)系。解析：由同類項的定義可得： a1=b,且 2a+b=3，解得 a=2, b= 1，故選 A。舉一反三：變式在下面的語句中，正確的有 ( ) a2b3與 a3b2是同類項； x2yz 與zx2y 是同類項； 1與是同類項；字母相同的項是同類項。A、

14、1個 B、2個 C、3個 D、4個解析：中 a2b3與a3b2所含的字母都是 a，b，但 a的次數(shù)分別是 2,3，b的次數(shù)分別是3,2，所以它們不是同類項；中所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，所以 x2yz 與zx2y 是同類項；不含字母的項 (常數(shù)項)都是同類項，正確，根據(jù)可知不正確。故選 B。類型四：整式的加減4化簡 mn（m+n）的結(jié)果是（ ）（A）0。 （B）2m。（C）2n。 （D）2m2n。思路點撥：按去括號的法則進(jìn)行計算，括號前面是“”號，把括號和它前面的“”號去掉，括號里各項都改變符號。解析： 原式=mnmn=2n，故選（ C）。舉一反三：變式 計算：2xy+3xy=_。

15、分析：按合并同類項的法則進(jìn)行計算，把系數(shù)相加所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。注意不要出現(xiàn) 5x2y2的錯誤。答案：5xy。5（化簡代入求值法）已知 x，y,求代數(shù)式(5x2y2xy23xy)(2xy5x2y2xy2) 思路點撥：此題直接把 x、y的值代入比較麻煩，應(yīng)先化簡再代入求值。解析：原式 5x2y2xy23xy2xy5x2y2xy25xy 4 / 25 word 當(dāng) x，y時，原式 5?？偨Y(jié)升華：求代數(shù)式的值的第一步是“代入”，即用數(shù)值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的運算，計算出結(jié)果。應(yīng)注意的問題是：當(dāng)整式中有同類項時，應(yīng)先合并同類項化簡原式，再代入求值。

16、舉一反三：變式 1 當(dāng) x0，x，x-2 時，分別求代數(shù)式的 2x2x1的值。解：當(dāng) x0時，2x2x1202011；當(dāng) x時，2x2x12；當(dāng) x-2 時，2x2x12（-2）2（-2）124+2111?？偨Y(jié)升華：一個整式的值，是由整式中的字母所取的值確定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；當(dāng)整式中沒有同類項時，直接代入計算，原式中的系數(shù)、指數(shù)及運算符號都不改變。但應(yīng)注意，當(dāng)字母的取值是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時，代入時，應(yīng)將分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)添上括號。變式 2 先化簡，再求值。3(2x2y3xy2)(xy23x2y)，其中 x，y1。解： 3(2x2y 3xy2)(xy23x2y)(6x2y9xy2)xy23

17、x2y 6x2y9xy2xy23x2y9x2y10 xy2。當(dāng) x，y1時，原式 9(1)10(1)2?？偨Y(jié)升華：解題的基本規(guī)律是先把原式化簡為 9x2y10 xy2，再代入求值，化簡降低了運算難度，使計算更加簡便，體現(xiàn)了化繁為簡，化難為易的轉(zhuǎn)化思想。變式 3 求下列各式的值。(1)(2x2 x1)，其中 x(2)2mn(3m)3(2nmn)，其中 mn2，mn3。解析：(1) (2x2 x1)2x2x1x2x3x234x24 當(dāng) x時，原式 44945。(2) 2mn (3m)3(2nmn) 2mn6m6n3mn 5mn6(mn) 當(dāng) mn2，mn3時原式5(3)6227。類型五：整體思想的

18、應(yīng)用6已知 x2x3的值為 7，求 2x22x3的值。思路點撥：該題解答的技巧在于先求 x2x的值，再整體代入求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想。解析：由題意得 x2x37，所以 x2x4，所以 2(x2x)8，即 2x22x8，所以 2x22x3835?？偨Y(jié)升華：整體思想就是在考慮問題時，不著眼于它的局部特征，而是將具有共同特征的某一項或某一類看成一個整體的數(shù)學(xué)思想方法。運用這種方法應(yīng)從宏觀上進(jìn)行分析，抓住問題的整5 / 25 word 體結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征，全面關(guān)注條件和結(jié)論，加以研究、解決，使問題簡單化。在中考中該思想方法比較常見，尤其在化簡題中經(jīng)常用到。舉一反三：變式 1 已知 x2x10，求代

19、數(shù)式 x32x27的值。分析：此題由已知條件無法求出 x的值，故考慮整體代入。解析：x2x10，x21x，x32x27x(1x)2(1x)7xx222x7 -x2-x-5 （-x2-x+1 ）-6 = 6。變式 2 當(dāng) x1時，代數(shù)式 px3qx1的值為 2003，則當(dāng) x1時，代數(shù)式 px3qx1的值為( ) A、2001 B、2002 C、2003 D、2001 分析：這是一道求值的選擇題，顯然 p，q的值都不知道，仔細(xì)觀察題目，不難發(fā)現(xiàn)所求的值與已知值之間的關(guān)系。解析：當(dāng) x1時，px3qx1pq12003，而當(dāng) x1時，px3qx1pq1，可以把 pq看做一個整體，由 pq12003得

20、pq2002，于是pq(pq)2002，所以原式 200212001。故選 A。變式 3 已知 A3x32x1，B3x22x1，C2x21，則下列代數(shù)式中化簡結(jié)果為 3x37x22的是( ) A、AB2C B、AB2C C、AB2C D、AB2C 分析：將 A，B，C的式子分別代入 A，B，C，D四個選項中檢驗，如： AB2C3x32x1(3x22x1)2(2x21)3x32x13x22x14x223x37x22。故選 C。答案：C 變式 4 化簡求值。(1)3(a bc)8(abc)7(abc)4(abc)，其中 b2 (2) 已知 ab2，求 2(ab)ab9的值。分析：(1) 常規(guī)解法是

21、先去括號，然后再合并同類項，但此題可將 abc，abc 分別視為一個“整體”，這樣化簡較為簡便； (2) 若想先求出 a，b的值，再代入求值，顯然行不通，應(yīng)視 ab為一個“整體”。解析：(1) 原式3(abc)7(abc)8(abc)4(abc) 4(abc)4(abc) 4a4b4c4a4b4c8b。因為 b2，所以原式 8216。(2) 原式2(ab)(ab)9 (ab)9 因為 ab2，所以原式 2911。類型六：綜合應(yīng)用7已知多項式 3(ax22x1)(9x26x7)的值與 x無關(guān)，試求 5a22(a23a4)的值。6 / 25 word 思路點撥：要使某個單項式在整個式子中不起作用，

22、一般是使此單項式的系數(shù)為 0即可. 解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。因為原式的值與 x無關(guān)，故 3a90，所以 a3。又因為 5a22(a23a4)5a22a26a83a26a8，所以當(dāng) a3時，原式 33263837?？偨Y(jié)升華：解答此類題目一定要弄清題意，明確題目的條件和所求，當(dāng)題目中的條件或所求發(fā)生了變化時，解題的方法也會有相應(yīng)的變化。舉一反三：變式 1當(dāng)a(x0)為何值時，多項式 3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等為 4。解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。因為(3a9)x244，

23、所以(3a9)x20。又因為 x0，故有 3a90。即 a3，所以當(dāng) a3時，多項式 3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等于 4。變式 2當(dāng)a3時，多項式 3(ax22x1)(9x26x7)的值為多少？解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7 (3a9)x24，當(dāng) a3時，原式 (339)x244。8已知關(guān)于 x的多項式(a1)x5x|b 2| 2xb是二次三項式，則 a_，b_。分析：由題意可知 a10，即 a1，|b2|2，即 b4或 0，但當(dāng) b0時，不符合題意，所以 b4。答案：1，4 舉一反三：變式若關(guān)于的多項式：，化簡后是四次三項式，求 m，n的值答

24、案：m=5，n=-1 一元一次方程29等式： 用“=”號連接而成的式子叫等式 . 30等式的性質(zhì) ：等式性質(zhì) 1：等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式， 所得結(jié)果仍是等式如： 若 a=b，則ac=bc 等式性質(zhì) 2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式 . 如：若 a=b，則 am=bm 或 a/m=b/m (m0) 31方程： 含未知數(shù)的等式，叫方程 . 32方程的解 ：使等式左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解；注意“方程的解就能代入”33移項： 改變符號后，把方程的項從一邊移到另一邊叫移項 .移項的依據(jù)是等式性質(zhì) 1.34一元一次方程 ：只含有一個未知數(shù)，并且

25、未知數(shù)的次數(shù)是 1，并且含未知數(shù)項的系數(shù)不是零的整式方程是一元一次方程 . 35一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式： ax+b=0（x是未知數(shù)， a、b是已知數(shù)，且 a0）. 36一元一次方程解法的一般步驟：（1）化簡方程 - 分子分母同乘以 10或 100. 分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)7 / 25 abc表示一個三位數(shù)，則有 abc 100a 10b c距離=速度時間工作量=工效工時先做的+后做的=完成量順?biāo)烦?逆水路程售價=定價abc表示一個三位數(shù)，則有 abc 100a 10b c距離=速度時間工作量=工效工時先做的+后做的=完成量順?biāo)烦?逆水路程售價=定價售價-進(jìn)價=利潤速度工效幾折10距離時間工作量工時，

26、時間工時利潤率距離速度工作量工效售價 成本成本；100%；（2）去 分母- 等式兩邊 同乘（不漏乘）最簡公分母（3）去 括號- 注意符號變化與不變的兩種情況。（4）移 項- 移動的項要變號（留下靠前）（5）合并同類項 - 合并后符號（6）系數(shù)化為 1- 除最前面的數(shù)37列一元一次方程解應(yīng)用題：（1）讀題分析法 : 多用于“和，差，倍，分問題”仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套 - ”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程 . （2）畫圖分析法 : 多用于“行程問題”利用

27、圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)， 仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖形各部分具有特定的含義， 通過圖形找相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵， 從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系（可把未知數(shù)看做已知量），填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ). 38列方程解應(yīng)用題的常用公式：（1）數(shù)字問題：（2）行程問題：（3）工程問題 ：工程問題常用等量關(guān)系：（4）順?biāo)嫠畣栴}：順流速度 =靜水速度 +水流速度，逆流速度 =靜水速度-水流速度；水流速度=（順?biāo)俣?-逆水速度）2 順?biāo)嫠畣栴}常用等量關(guān)系：（5）商品利潤問題：利潤問題常用等量關(guān)系：（6）配套問題：（7）分配問題：39.列方程解應(yīng)

28、用題解題步驟：審題，特別注意關(guān)鍵的字和詞的意義，弄清相關(guān)數(shù)量關(guān)系，8 / 25 . . 最后逐步把. . . m3m3=1，解得 m=4.或 m3=0，解得 m=3 . . 最后逐步把. . . m3m3=1，解得 m=4.或 m3=0，解得 m=3 1，從而寫成 m=1，這里一定要注意 x的指數(shù)是x22是方程ax（2a3）x+5=0的解，求 a的值. 2設(shè)出未知數(shù)（注意單位），根據(jù)相等關(guān)系列出方程，解這個方程，檢驗并寫出答案（包括單位名稱）一些固定模型中的等量關(guān)系：40.思想方法（本單元常用到的數(shù)學(xué)思想方法小結(jié)）建模思想：通過對實際問題中的數(shù)量關(guān)系的分析，抽象成數(shù)學(xué)模型，建立一元一次方程的思

29、想. 方程思想：用方程解決實際問題的思想就是方程思想化歸思想：解一元一次方程的過程，實質(zhì)上就是利用去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為 1等各種同解變形， 不斷地用新的更簡單的方程來代替原來的方程，方程轉(zhuǎn)化為 x=a的形式. 體現(xiàn)了化“未知”為“已知”的化歸思想數(shù)形結(jié)合思想：在列方程解決問題時，借助于線段示意圖和圖表等來分析數(shù)量關(guān)系，使問題中的數(shù)量關(guān)系很直觀地展示出來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性分類思想：在解含字母系數(shù)的方程和含絕對值符號的方程過程中往往需要分類討論，在解有關(guān)方案設(shè)計的實際問題的過程中往往也要注意分類思想在過程中的運用典型例題例 1. 已知方程 2x +3x=5是一元

30、一次方程，則 m=. 解：由一元一次方程的定義可知所以 m=4或m=3 警示：很多同學(xué)做到這種題型時就想到指數(shù)是（m3）. 例 2. 已知解：x=2是方程 ax （2a3）x+5=0的解9 / 25 21x=2代入方程，然后再解關(guān)于為了減少計算最后1 1 121 1 x21 x2x 1x=3. a的一元一次方程就可以了21x=2代入方程，然后再解關(guān)于為了減少計算最后1 1 121 1 x21 x2x 1x=3. a的一元一次方程就可以了 . x 1111333551711. 將 x=2代入方程，得 a （2） （2a3）（2）+5=0 化簡，得 4a+4a 6+5=0 a=8點撥：要想解決這道

31、題目，應(yīng)該從方程的解的定義入手，方程的解就是使方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值，這樣把例 3. 解方程 2（x+1）3（4x3）=9（1x）. 解：去括號，得 2x+212x+9=99x，移項，得 2+99=12x2x9x. 合并同類項，得 2=x，即 x=2. 點撥：此題的一般解法是去括號后將所有的未知項移到方程的左邊，已知項移到方程的右邊，其實，我們在去括號后發(fā)現(xiàn)所有的未知項移到方程的左邊合并同類項后系數(shù)不為正，的難度，我們可以根據(jù)等式的對稱性， 把所有的未知項移到右邊去，已知項移到方程的左邊，再寫成 x=a的形式. 例 4. 解方程8 6 4解析：方程兩邊乘以 8，再移項合并同類項，得6

32、4同樣，方程兩邊乘以 6，再移項合并同類項，得4方程兩邊乘以 4，再移項合并同類項，得2方程兩邊乘以 2，再移項合并同類項，得說明：解方程時，遇到多重括號，一般的方法是從里往外或從外往里運用乘法的分配律逐層去特號，而本題最簡捷的方法卻不是這樣， 是通過方程兩邊分別乘以一個數(shù)， 達(dá)到去分母和去括號的目的。10 / 25 4x 1.50.2(4x 1.5) 20.2 52(4x7x=11，所以 x=2，第二個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以x12x3 4x3x6 x=3. 6=23，12=34，. ? 保險公司制度的報銷1260元，那么此人的實際醫(yī)療費是）報銷率0 5x 0.80.1(5x 0.8) 50.1

33、101.5)11. 5，第三個分?jǐn)?shù)分子x20 x44x 1.50.2(4x 1.5) 20.2 52(4x7x=11，所以 x=2，第二個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以x12x3 4x3x6 x=3. 6=23，12=34，. ? 保險公司制度的報銷1260元，那么此人的實際醫(yī)療費是）報銷率0 5x 0.80.1(5x 0.8) 50.1 101.5)11. 5，第三個分?jǐn)?shù)分子x20 x4 5x3x1.2(1.2 x) 105(5xx30 x5 6x41.x0.8)xxx4. 10(1.2 x1.1.x5)x5x6x1.例 5. 解方程0.5解析：方程可以化為0.5 2整理，得去括號移項合并同類項，得7說

34、明：一見到此方程，許多同學(xué)立即想到老師介紹的方法，那就是把分母化成整數(shù)，即各分?jǐn)?shù)分子分母都乘以 10，再設(shè)法去分母，其實，仔細(xì)觀察這個方程，我們可以將分母化成整數(shù)與去分母兩步一步到位，第一個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以分母都乘以 10. 例 6. 解方程6解析：原方程可化為2 3方程即為2所以有2再來解之，就能很快得到答案：知識：此題如果直接去分母，或者通分，數(shù)字較大，運算煩瑣，發(fā)現(xiàn)分母20=45，30=56，聯(lián)系到我們小學(xué)曾做過這樣的分式化簡題，故采用拆項法解之比較簡便例 7. 參加某保險公司的醫(yī)療保險，住院治療的病人可享受分段報銷，細(xì)則如下表，某人今年住院治療后得到保險公司報銷的金額是（住院醫(yī)療費（

35、元）（%）不超過 500的部分11 / 25 60 80 元 B. 2200 x元，根據(jù)題意列方程，得2200元. 故選 B. . 因. 1元收費；若每月用水超過60 80 元 B. 2200 x元，根據(jù)題意列方程，得2200元. 故選 B. . 因. 1元收費；若每月用水超過5月的用水量為 _3分，平一場得 1分，輸一場得 0分，一支足球隊在14場比賽，得分不低于 29分，就可以達(dá)到預(yù)期的目6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)？元 C. 25757立方米，則超過部分按每立方米元 D. 25252元超過 5001000的部分超過 10003000的部分 A. 2600解析：設(shè)此人

36、的實際醫(yī)療費為5000+50060%+（x500500） 80%=1260. 解之，得 x=2200，即此人的實際醫(yī)療費是點撥：解答本題首先要弄清題意， 讀懂圖表，從中應(yīng)理解醫(yī)療費是分段計算累加求和而得的為 50060%1260200080%，所以可知判斷此人的醫(yī)療費用應(yīng)按第一檔至第三檔累加計算例 8. 我市某縣城為鼓勵居民節(jié)約用水，對自來水用戶按分段計費方式收取水費：若每月用水不超過 7立方米，則按每立方米元收費. 如果某戶居民今年 5月繳納了 17元水費，那么這戶居民今年立方米. 解析：由于 1717，所以該戶居民今年 5月的用水量超標(biāo) . 設(shè)這戶居民 5月的用水量為 x 立方米，可得方程

37、： 71+2（x7）=17，解得 x=12. 所以，這戶居民 5月的用水量為 12立方米. 例 9. 足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得某個賽季中共需比賽 14場，現(xiàn)已比賽了 8場，輸了 1場，得 17分，請問：前 8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？這支球隊打滿 14場比賽，最高能得多少分？通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿標(biāo)，請你分析一下，在后面的解析：設(shè)這個球隊勝了 x場，則平了（ 81x）場，根據(jù)題意，得12 / 25 （81x）=17. 解得 x=5. 5場. 12分即可. 3（81x）=17. 解得 x=5. 5場. 12分即可. 3場. 設(shè)置了教育儲蓄， 其3年期；? 2. 25%；二

38、年：2. 27%；三年： 3. 24%；五年： 3. 60%. x元. 然后分別計算兩種方案哪種開始存入的本金較少. . 如果長方體盒子的長. 3x+所以，前 8 場比賽中，這個球隊共勝了打滿 14場比賽最高能得 17+（148）3=35分. 由題意知，以后的 6場比賽中，只要得分不低于勝不少于 4場，一定能達(dá)到預(yù)期目標(biāo) . 而勝了 3場，平 3場，正好達(dá)到預(yù)期目標(biāo) . 所以在以后的比賽中，這個球隊至少要勝例 10. 國家為了鼓勵青少年成才， 特別是貧困家庭的孩子能上得起大學(xué)，優(yōu)惠在于，目前暫不征收利息稅 . 為了準(zhǔn)備小雷 5年后上大學(xué)的學(xué)費 6000元，他的父母現(xiàn)在就參加了教育儲蓄，小雷和他

39、父母討論了以下兩種方案：先存一個 2年期，2年后將本息和再轉(zhuǎn)存一個直接存入一個 5年期. 你認(rèn)為以上兩種方案，哪種開始存入的本金較少教育儲蓄（整存整?。┠昀室荒辏航馕觯毫私鈨π畹挠嘘P(guān)知識，掌握利息的計算方法，是解決這類問題的關(guān)鍵，對于此題，我們可以設(shè)小雷父母開始存入2年后，本息和為 x（1+2. 70%2）=1. 054x ；再存 3年后，本息和要達(dá)到 6000元，則 1. 054x （1+3. 24%3）=6000. 解得 x5188. 按第二種方案，可得方程 x（1+3. 60%5）=6000. 解得 x5085. 所以，按他們討論的第二種方案，開始存入的本金比較少例 11. 揚子江藥業(yè)

40、集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示比寬多 4cm，求這種藥品包裝盒的體積 . 13 / 25 14cm，所以一個寬與一個高的和xcm，則高為（7x）cm，因為長比寬多 4cm，所以長為（x+4）13cm，由此可列出方程 . xcm，則高為（ 7x）cm，長為（x+4）cm. 952=90（c）. 5%，由于國際油價上漲，這個月進(jìn)14%. 求這個月的石油價格相對上個月的增長率x. 根據(jù)題意得20%. . 14cm，所以一個寬與一個高的和xcm，則高為（7x）cm，因為長比寬多 4cm，所以長為（x+4）13cm，由此可列出方程 . xcm，則高為（ 7x）cm，長為（x+4）cm. 9

41、52=90（c）. 5%，由于國際油價上漲，這個月進(jìn)14%. 求這個月的石油價格相對上個月的增長率x. 根據(jù)題意得20%. . 設(shè)出未知數(shù)，分別表示出每一個數(shù)量， 列出方程進(jìn). 78分，其中參賽的男選手比女選手多10%，那么女選手的平均分?jǐn)?shù)為 _. . 因此，必須增設(shè)男選手或女選手的人數(shù)為x分，女選手的人數(shù)為 a 人，那么女選手的平均分?jǐn)?shù)為1.5a xa. 3. 50%，1.1x a78，解得x=75，所以 1. 1x=82. 分析：從展開圖上的數(shù)據(jù)可以看出， 展開圖中兩高與兩寬和為為 7cm，如果設(shè)這種藥品包裝盒的寬為cm，根據(jù)展開圖可知一個長與兩個高的和為解：設(shè)這種藥品包裝盒的寬為根據(jù)題意

42、，得（ x+4）+2（7x）=13，解得 x=5，所以 7x=2，x+4=9. 故長為 9cm，寬為 5cm，高為 2cm. 所以這種藥品包裝盒的體積為：例 12. 某石油進(jìn)口國這個月的石油進(jìn)口量比上個月減少了口石油的費用反而比上個月增加了解：設(shè)這個月的石油價格相對上個月的增長率為（1x）（15%）=114% 解得 x=20% 答：這個月的石油價格相對上個月的增長率為點評：本題是一道增長率的應(yīng)用題 . 本月的進(jìn)口石油的費用等于上個月的費用加上增加的費用，也就是本月的石油進(jìn)口量乘以本月的價格行求解. 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找對等量關(guān)系，然用代數(shù)式表示出其中的量，列方程解答例 13. 某市參加省初

43、中數(shù)學(xué)競賽的選手平均分?jǐn)?shù)為而女選手的平均分比男選手的平均分?jǐn)?shù)高解析：總平均分?jǐn)?shù)和參賽選手的人數(shù)及其得分有關(guān)輔助未知數(shù) . 不妨設(shè)男選手的平均分?jǐn)?shù)為1. 1x分，男選手的人數(shù)為 1. 5a人，從而可列出方程1.5a5. 即女選手的平均分?jǐn)?shù)為 82. 5 分. 四、數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)1. 解一元一次方程時，要明確每一步過程都作什么變形，應(yīng)該注意什么問題14 / 25 . 由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要 “抓=速度時間；速度 =；在順?biāo)L(fēng)）速度水流速度 （風(fēng)速）逆水（風(fēng)）相當(dāng)于從排頭走到與排尾的x . 由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要 “抓=速度時間；速度 =；在順?biāo)L(fēng)）速度水流速度 （風(fēng)速）逆水

44、（風(fēng)）相當(dāng)于從排頭走到與排尾的x 秒，隊伍行進(jìn)（即排頭）速度為3x 米。由追及問題=原來相隔的路程”，有：x=300 y秒，隊伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為 3y+1.5y=450 x+y=300+100=40（秒）90米/分=1.5 米/秒，則1.5yy=100 2. 尋找實際問題的數(shù)量關(guān)系時，要善于借助直觀分析法，如表格法，直線分析法和圖示分析法等. 3. 列方程解應(yīng)用題的檢驗包括兩個方面：檢驗求得的結(jié)果是不是方程的解；是要判斷方程的解是否符合題目中的實際意義一元一次方程應(yīng)用題分類講評事實上，方程就是一個含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有

45、未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。住基本量，找出相等關(guān)系”。行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關(guān)系式為：路程時間=?？蓪ふ业南嗟汝P(guān)系有：路程關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關(guān)系， 而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關(guān)系，航行問題中很多時候還用速度作相等關(guān)系。航行問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發(fā)生變化：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度 +水流速度（風(fēng)速）；逆水（風(fēng)）速度 =靜水（無風(fēng)）速度水流速度（風(fēng)速）。由此可

46、得到航行問題中一個重要等量關(guān)系：速度+水流速度（風(fēng)速） 靜水（無風(fēng)）速度。例某隊伍 450米長，以每分鐘 90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為 3米/秒。問往返共需多少時間？講評：這一問題實際上分為兩個過程：從排尾到排頭的過程是一個追及過程，相當(dāng)于最后一個人追上最前面的人； 從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程，人相遇。在追及過程中，設(shè)追及的時間為排頭行駛的路程為 1.5x 米；追及者的速度為 3米/秒，則追及者行駛的路程為中的相等關(guān)系“追趕者的路程被追者的路程 3x1.5x=450 在相遇過程中，設(shè)相遇的時間為米，返回者行駛的路程為 3y米，由相遇問題中的相等關(guān)系

47、“甲行駛的路程 +乙行駛的路程 =總路程”有：故往返共需的時間為15 / 25 45km，就可6小時，逆流航行需 8小時，已知水流速x km，則順流速度為 km/小時，逆流速度為45km，就可6小時，逆流航行需 8小時，已知水流速x km，則順流速度為 km/小時，逆流速度為 km/小時，由+2 =工作效率工1，此時工12x = 360 x = 96 例2 汽車從 A地到 B地，若每小時行駛 40km，就要晚到半小時：若每小時行駛以早到半小時。求 A、B 兩地的距離。講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時間量，考察兩者的時

48、間關(guān)系，從相隔的時間上找出相等關(guān)系。本題中，設(shè) A、B兩地的路程為 x km，速度為 40 km/小時，則時間為小時；速度為 45 km/小時，則時間為小時，又早到與晚到之間相隔 1小時，故有 = 1 例 3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需度每小時 2 km。求甲、乙兩地之間的距離。講評：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為航行問題中的重要等量關(guān)系有：= 工程問題的基本量有：工作量、工作效率、工作時間。關(guān)系式為：工作量作時間。工作時間 =，工作效率 =。工程問題中，一般常將全部工作量看作整體 1，如果完成全部工作的時間為 t，則工作效率為。常見的相等關(guān)系有兩種： 如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作

49、量之和 =總工作量。如果以時間作相等關(guān)系，完成同一工作的時間差 =多用的時間。在工程問題中，還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時不能看作整體作效率也即工作速度。例 4 加工某種工件，甲單獨作要 20天完成，乙只要 10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在天完成任務(wù)。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？講評：將全部任務(wù)的工作量看作整體 1，由甲、乙單獨完成的時間可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)乙需工作 x 天，則甲再繼續(xù)加工（ 12x）天，乙完成的工作量為，甲完成的工作量為，依題意有 +=1 x =8 例 5 收割一塊麥地，每小時割 4畝，預(yù)計若干小時割完。收割了后 ,改

50、用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來的 1.5 倍。因此比預(yù)計時間提前 1小時完工。求這塊麥地有多少畝？16 / 25 x =36 +1 =銷售價（收入）利=標(biāo)價=本金+利息利息稅。12，那么這種商品的銷售價應(yīng)定多少？25 x =36 +1 =銷售價（收入）利=標(biāo)價=本金+利息利息稅。12，那么這種商品的銷售價應(yīng)定多少？25元，而按定價的九折出售x = 5 4=6畝/小時，割完剩下畝時間為 /6=小時，則實際用的時間為（ +）小時，依題意“比預(yù)計時間提前 1小時完工”有（+）=1 例 6. 一水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨開需10小時注滿一池水， 乙單獨開需 6小

51、時注滿一池水，丙單獨開 15小時放完一池水。 現(xiàn)在三管齊開，需多少時間注滿水池？講評：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為、（進(jìn)水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負(fù)數(shù)），設(shè)小時可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為，、，由三水管完成整體工作量 1，有3經(jīng)濟(jì)問題與生活、生產(chǎn)實際相關(guān)的經(jīng)濟(jì)類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的一個突出類型。經(jīng)濟(jì)類問題主要體現(xiàn)為三大類：銷售利潤問題、優(yōu)惠（促銷）問題、存貸問題。這三類問題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時，一定要聯(lián)系實際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質(zhì)，正確列出方程。銷售利潤問題 。利潤問題中有四個基本量：成本（進(jìn)價）、銷售價（收入）、利潤、

52、利潤率?；娟P(guān)系式有：利潤 =銷售價（收入）成本（進(jìn)價）【成本（進(jìn)價）潤】；利潤率 =【利潤=成本（進(jìn)價）利潤率】。在有折扣的銷售問題中，實際銷售價折扣率。打折問題中常以進(jìn)價不變作相等關(guān)系。優(yōu)惠（促銷）問題 。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物（消費）方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數(shù)值為基準(zhǔn)，取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)進(jìn)行檢驗，預(yù)測其變化趨勢。存貸問題 。存貸問題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：利息 =本金利率期數(shù)；利

53、息稅 =利息稅率；本息和（本利）例 7.某商店先在以每件 15元的價格購進(jìn)某種商品 10件，后來又到以每件 12.5 元的價格購進(jìn)同樣商品 40件。如果商店銷售這種商品時，要獲利講評：設(shè)銷售價每件 x 元，銷售收入則為（ 10+40）x元，而成本（進(jìn)價）為（ 510+4012.5），利潤率為 12，利潤為（ 510+4012.5）12。由關(guān)系式有（10+40）x（510+4012.5）=（510+4012.5）12例 8.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠將賺 20元。問這種商品的定價是多少？17 / 25 x = 300 504.32 元。問半年前勇同學(xué)共存入多少元？2.

54、16x20 x = 500 x 元買卡與不買卡效果一樣，買卡x元，故有買卡消費的花費為 x = 300 504.32 元。問半年前勇同學(xué)共存入多少元？2.16x20 x = 500 x 元買卡與不買卡效果一樣，買卡x元，故有買卡消費的花費為： 200+802000=1800（元）此時買卡消費的花費為： 200+80800=840（元）此300克20的酒精多95的酒精多少克？溶劑兩個關(guān)鍵量， 并結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行分析， 就不難找到相等 x = 1000 講評：設(shè)定價為 x元，七五折售價為 75x，利潤為25元，進(jìn)價則為 75x（25）=75x+25；九折銷售售價為 90 x，利潤為 20元，進(jìn)價為

55、 90 x20。由進(jìn)價一定，有 75x+25=90 x20 例 9. 勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16。取款時扣除 20利息稅。勇同學(xué)共得到本利2.16x，利息稅為 202.16x，由存貸問題 中關(guān)系式有例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡， 花 200元買這種卡后，憑卡可在這家商店 8折購物，什么情況下買卡購物合算？講評：購物優(yōu)惠 先考慮“什么情況下情況一樣”。設(shè)購物花費金額為（ 200+80 x）元，不買卡花費金額為200+80 x = x 當(dāng) x 1000時，如 x=2000 不買卡花費為： 2000（元 ）買卡購物合算。當(dāng) x 100

56、0時，如 x=800 不買卡花費為：800（元）時買卡不合算。4.溶液（混合物）問題溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關(guān)系式為：溶液 =溶質(zhì)+溶劑（混合物 =純凈物+雜質(zhì)）；濃度 =100=100【純度（含量） =100=100】；由可得到：溶質(zhì) =濃度溶液 =濃度（溶質(zhì) +溶劑）。在溶液問題中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”： “溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系。例11.把 1000克濃度為 80的酒精配成濃度為 60的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了水。試通過計算說明該同學(xué)加水是否過量？如果加水不過量，則應(yīng)

57、加入濃度為少克？如果加水過量，則需再加入濃度為講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、關(guān)系，從而列出方程。18 / 25 1000克，濃度為 80，溶質(zhì)（純酒精）為 100080克；設(shè)加該同學(xué)加水未過量。100080、20y，由混合前后溶質(zhì) y=50 數(shù)位、數(shù)=10a+b；三位數(shù)7，個位上的數(shù)是十1000克，濃度為 80，溶質(zhì)（純酒精）為 100080克；設(shè)加該同學(xué)加水未過量。100080、20y，由混合前后溶質(zhì) y=50 數(shù)位、數(shù)=10

58、a+b；三位數(shù)7，個位上的數(shù)是十x，則個位上的數(shù)字為 3x，百位上的數(shù)字為（ x+7），這個1，如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊， 那么所得的數(shù)等1位，即每個數(shù)位上1后的 5位數(shù)為 10 x+1=10+x 則原數(shù)為 142857 總量以及兩者之間的關(guān)系。 在調(diào)配問題中100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙。由題設(shè)中“從甲書架200本。故設(shè)乙本題中，加水前，原溶液x 克水后，濃度為 60，此時溶液變?yōu)椋?1000+x）克，則溶質(zhì)（純酒精）為（ 1000+x）60克。由加水前后溶質(zhì)未變，有（ 1000+x）60=100080 x = 300 設(shè)應(yīng)加入濃度為 20的酒精 y 克，此時總?cè)芤簽椋?100

59、0+300+y）克，濃度為 60，溶質(zhì)（純酒精）為（ 1000+300+y）60；原兩種溶液的濃度分別為量不變，有（ 1000+300+y）60=100080+20數(shù)字問題是常見的數(shù)學(xué)問題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意位上的數(shù)字、數(shù)值 三者間的關(guān)系：任何數(shù) =（數(shù)位上的數(shù)字位權(quán)），如兩位數(shù)=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時要注意整體設(shè)元思想的運用。例12. 一個三位數(shù)， 三個數(shù)位上的和是 17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大位上的數(shù)的 3倍。求這個數(shù)。講評：設(shè)這個數(shù)十位上的數(shù)字為三位數(shù)則為 100（x+7）+10 x+3x。依題意有（ x+7）+x+3x=17 x=2 100

60、（x+7）+10 x+3x=900+20+6=926 例 13. 一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是于原數(shù)的 3倍，求原數(shù)。講評：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移的數(shù)字被擴大 10倍，可將后五位數(shù)看成一個整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字x，則原數(shù)為 10+x，移動后的數(shù)為 10 x+1，依題意有x = 42857 6.調(diào)配（分配）與比例問題調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。 調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認(rèn)識清楚部分量、主要考慮“總量不變” ；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。例14.甲