高三數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線復(fù)習(xí)

1、哈佛北大精英創(chuàng)立 精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：SH434490746 年 級：高三 課 時 數(shù)：3學(xué)員姓名：王港 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：白婷授課類型C直線與圓錐曲線同步C直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用T圓錐曲線綜合提高授課日期及時段2015.9.26 12:50-14:50教學(xué)內(nèi)容圓錐曲線綜合問題一知識點梳理1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系方法一是方程的觀點，即把曲線方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系方程解的個數(shù)為交點個數(shù)（1）首先注意討論直線方程的斜率是否存在，不存在時驗證一下（2）直線斜率存在時，點斜式方程寫出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，先討論二次項系數(shù)能不能為0（3）若為

2、0時，驗證一下是否有解，若有解，這時一個交點，則相交（若是雙曲線，這時的直線與一條漸近線平行，若是拋物線，這時的直線與對稱軸平行）；無解的話就是沒有交點若二次項系數(shù)不為0時，yxFF123453yxFF1234533 = 2 * GB3 相切：直線與雙曲線相切； = 3 * GB3 相離：直線與雙曲線相離方法二是幾何的觀點（以雙曲線為例）直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計

3、2條；區(qū)域：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線【小結(jié)】過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.2 弦長與面積問題（1）弦長 若直線與二次曲線的交點為A()和B ()方法一：聯(lián)立直線與二次曲線方程求出兩交點兩點間距離 方法二：利用弦長公式：= =（2）面積 = 1 * GB3 普通三角形：； = 2 * GB3 焦點三角形：橢圓： ，雙曲線：3距離問題（1）點與圓錐曲線的距離：一般通過兩點間距離公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，注意變量范圍特殊的，當該點為焦點時，橢圓這側(cè)的長軸頂點到該點的距離最小，雙曲線這側(cè)的實軸頂點到該點的距離最小拋物線一般轉(zhuǎn)化為到準

4、線的距離解決（2）到定直線的距離：一般是通過作定直線的平行線與圓錐曲線相切來解決 另外，通過參數(shù)方程也可以解決（3）到圓上點的距離：一般轉(zhuǎn)化為到圓心的距離加減半徑4弦中點問題（1）解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式及參數(shù)法求解（2）點差法：若設(shè)直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”【注意】利用點差法解題一般需要驗算直線與圓錐曲線是否相交.二例題精講【例1】（1）過點與雙曲

5、線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。（2）直線與雙曲線相交于兩點，當為何值時，在雙曲線的同一支上？當為何值時，分別在雙曲線的兩支上？【例2】（1）已知點在橢圓上，求到直線的最短距離.（2）在雙曲線上求一點，使它到直線的距離最短，并求此最短距離【例3】(1)已知橢圓：，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，求弦的長. (2) 已知橢圓及直線若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程【例4】(1)直線l過點M（1，1），與橢圓+=1相交于A、B兩點，若AB的中點為M，試求直線l的方程.(2)過點能否作直線，使它與雙曲線交于兩點，且點恰是線段的中點？如果存在，求此直線的方程；如果不存

6、在，請說明理由；【例5】(1)已知橢圓，求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程. (2)由點向拋物線引弦，求弦的中點的軌跡方程 【例6】求實數(shù)m的取值范圍，使拋物線y2=x上存在兩點關(guān)于直線y=m(x-3)對稱【例7】已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，點滿足（其中為坐標原點），過點作一直線交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值；【例8】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.【例9】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”設(shè)橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，（1）求橢圓及其“準圓”的方

7、程；（2）若橢圓的“準圓”的一條弦與橢圓交于、兩點，試證明：當時，弦的長為定值；【例10】如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于 兩點，的周長為8，且面積最大時，為正三角形（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點試探究： 以為直徑的圓與軸的位置關(guān)系？yxABOF1F2 在坐標平面內(nèi)是否存在定點，使得以yxABOF1F2【例11】已知橢圓的焦點，過作垂直于軸的直線被橢圓所截線段長為，過作直線l與橢圓交于A、B兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若A是橢圓與y軸負半軸的交點，求的面積；（3）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值和直線的方程；若不存在，說明理由

8、三反饋練習(xí)1.橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為_2.過原點與雙曲線交于兩點的直線斜率的取值范圍是 .3.過點和拋物線: 只有一個公共點的直線有_條.4.設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值等于 5.若對任意kR，直線與雙曲線總有公共點，則b范圍 6.過點P(3,4)與雙曲線只有一個交點的直線的條數(shù)為 （ ）A4 B. 3 C7.過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于兩點，則的長是（ ）. . 4 . 8 . 28.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，且在直線上的射影分別為，則等于（ ） . . . 以上都不對9.已知橢圓的兩個焦點為、，是與的等差中項，其中、都是正數(shù)，過點和的直線與原點的

9、距離為（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于另一點，求長度的最大值；（3）已知定點，直線與橢圓交于、相異兩點證明：對任意的，都存在實數(shù)，使得以線段為直徑的圓過點10.已知直線與雙曲線交于、點.（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實數(shù)，使、兩點關(guān)于直線對稱？若存在，請求出的值；若不存在，說明理由.11.已知：曲線上任意一點到點的距離與到直線的距離相等（1）求曲線的方程；（2）過點作直線交曲線于、兩點，若長為，求的方程；（3）設(shè)為坐標原點，如果直線交曲線于、兩點，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由 12.若拋物線上總存在關(guān)

10、于直線對稱的兩點，求的范圍 13.對于雙曲線，定義為其伴隨曲線，記雙曲線的左、右頂點為、.（1）當時，記雙曲線的半焦距為，其伴隨橢圓的半焦距為，若，求雙曲線的漸近線方程；（2）若雙曲線的方程為，過點且與的伴隨曲線相切的直線 交曲線于、兩點，求的面積（為坐標原點）；（3）若雙曲線的方程為，弦軸，記直線與直線的交點為，求動點的軌跡方程.14.已知雙曲線方程為與點,(1)求過點的直線的斜率的取值范圍，使直線與雙曲線有一個交點，兩個交點，沒有交點；(2)過點的直線交雙曲線于兩點，若為弦的中點，求直線的方程；(3)是否存在直線，使為被雙曲線所截弦的中點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.15

11、.已知點，為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程為（1）求雙曲線的方程；（2）過圓上任意一點做切線交雙曲線于，兩個不同的點，中點為，求證：；（3）過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別是，求的值16. 已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點是橢圓上一動點，求直線的中點的軌跡方程；（3）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，且，探究：直線是否過定點，并說明理由17.給定橢圓：，稱圓心在原點、半徑是的圓為橢圓 的“準圓”已知橢圓的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為（1）求橢圓和其“準圓”的方程； （2）過橢圓的“準